Einstiegsvoraussetzungen 3. Semester

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1 Einstiegsvoraussetzungen 3. Semester Wiederholung vom VL Bereich: Zahlen und Maße Fehlerrechnung kennen Fehler in der Darstellung von Zahlen und können Ergebnisse auf sinnvolle Art runden. verstehen die Begriffe absoluter und relativer Fehler. Logarithmus kennen die logarithmischen Rechengesetze. können diese anwenden. Übungsbeispiele: 1. Schreiben Sie die Gleichung in exponentieller Form an und ermitteln Sie x: a) x = log 2 16 b) x = log 3, c) 3 = log 5 x d) 1 = log x 0,1 Lösung: 3; 0; 125; Vereinfachen Sie und berechnen Sie soweit wie möglich: a) log 2 a log 2 b b) log a x log a c) 1 log4 + 3 log6 2 log(3 x ) a Lösung: log 2 ; 0; log3 b 3. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichungen durch Logarithmieren: a) 2 x+1 = 8 b) 10 x = 100 c) (2 x 3 ) x 4 = (2 x 2 ) x 7 d) 4 x+1 = ( 1 8 )2 Lösung: D = R, L = {2}; D = R, L = {}; D = R, L = {1}; D = R, L = { 4}; LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 1 von 10

2 Bereich: Algebra und Geometrie Trigonometrie können den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels im rechtwinkeligen Dreieck als Seitenverhältnisse interpretieren. können allgemeine Dreiecke auflösen. sind in der Lage, Dreiecksberechnungen auf Vierecke zu übertragen. können geometrische Probleme des Fachgebietes behandeln. Terme können Terme vereinfachen und die grundlegenden Rechenoperationen anwenden kennen die binomischen Formeln und können sie anwenden sind in der Lage, Potenzen von Binomen zu berechnen können faktorisieren durch Herausheben, Anwenden bin. Formeln und Polynomdivision kennen die Begriffe Grund- und Definitionsmenge und können sie bestimmen können Bruchterme kürzen, zusammenfassen und vereinfachen Gleichungen und Gleichungssystem kennen die Lösungsfälle quadratischer Gleichungen können quadratische Gleichungen lösen und die Ergebnisse entsprechend interpretieren können einfache Gleichungen mit trigonometrischen, Exponential- und Logarithmusfunktionen des Fachgebietes lösen. können die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen argumentieren können Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen lösen können Aufgabenstellungen des Fachgebietes durch Gleichungen und Gleichungssysteme modellieren Vektoren können Vektoren im R 2 und R 3 verstehen und anwenden. kennen die Bedeutung und Darstellung von Vektoren und den Unterschied zu einem Skalar. können Vektoren angeben und deren Beträge bestimmen. kennen die Begriffe Orts- und Richtungsvektor. kennen die Verknüpfungen von Vektoren (Multiplikation mit einem Skalar, Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, vektorielles Produkt) LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 2 von 10

3 Übungsbeispiele: 1. Gleichschenkeliges Dreieck: a) geg.: a= 160 mm, = 50 ges.:, c, h c, r b) geg.: h a = 50mm, = 70 ges.:, a, c, r, Lösung: a) = 65, c= 135,24 mm, h c = 145,01 mm, = 43,08 mm, r= 88,27 mm b) = 55, a= 53,21 mm, c= 61,04 mm, r= 32,48 mm, = 15,89 mm 2. Trapez: geg.: a= 50cm, b= 35 cm, = 70, = 20 ges.: h, e, f, c, d,, Lösung: h= 11,97cm, e= 20,88 cm, d= 12,74 cm, c= 12,75 cm, f= 47,18 cm, = 110, = Von einer Anhöhe mit der Höhe h sieht man ein Flussufer unter dem Tiefenwinkel Von der anderen Uferseite aus wird der Höhenwinkel zur Anhöhe h. gemessen. Berechnen Sie die Flussbreite b. h=635m =19,7 =18,9 Lösung: 81,19m 4. Steigung einer Straße Eine Alpenstraße überwindet bei einer Horizontalentfernung von 2000m einen Höhenunterschied von 180m. Berechnen Sie die mittlere Steigung dieser Straße, sowie ihren mittleren Steigungswinkel. Lösung: k = 9%, α = 5,1 5. Steigung, Steigungswinkel, Kräfteberechnung Ein Wagen mit einem Gewicht von 1,60 kn steht auf einer Rampe. Berechnen Sie die Steigung der Rampe, ihren Steigungswinkel α, die Normalkraft F N und die Hangabtriebskraft F H, wenn die Höhe der Rampe h = 9,2 m und die Tiefe der Rampe b = 31,4 m ist. Fertigen Sie eine Skizze an, die diesen Sachverhalt beschreibt. Lösung: k = 29 %, α = 16, cos (α) = F N/G 0=> F N = 1,54 kn, sin(α) = F H/G => F H = 0,45 kn LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 3 von 10

4 6. Zwei Kräfte F 1 = 1,18 kn und F 2 = 2,25 kn stehen normal aufeinander. Berechnen Sie ihre Resultierende R und den Winkel zwischen R und F 1. Lösung: R = 2,54 kn 7. Resultierende eines ebenen Kräftesystems Ein ebenes Kräftesystem soll reduziert werden, d.h. die Resultierende der Kräfte nach Betrag und Richtung bestimmt werden. Folgende Angaben liegen vor: F 1 = 200 N, F 2 = 300 N, F 3 = 150 N sowie α 1 = 30, α 2 = 50, α 3 = 60. Lösung: F RX = -94,6 N, F RY = 199,9 N, F R = 221,2 N 8. Berechnen Sie unter Verwendung der binomischen Formeln: a) (a 1 2 )2 = d) (3 1 b )3 = g) (a b )2 = b) ( a )2 = e) ( a 3 2)3 = h) (a 1 2 )2 (a )² = c) ( 2a 1 2 )2 = f) (ab 1 2 )3 = i) (2a b 1 2 )2 = Lösung: a) a²-a+1/4 d) 27-27/b+9/b²-1/b³ g) a²+b²+1/4-2ab+a-b b) a²-1/2a+1/16 e) a³/27-2a²/3-4a-8 h) -2a c) 4a²+2a+1/4 f) a³b³-3/2a²b²+3/4ab-1/8 i) 4a²+b²+1/4-4ab-2a+b 9. Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln: a) x² + 4xy +4y² = d) 16a² + 72a + 81 = b) 4v² + 4v + 1 = e) a² - 0,25 = c) 25y² - 70y + 49 = f) x² - 64y 4 = Lösung: a)(x+2y)²; b) (2v+1)²; c)(5y-7)²; d) (4a+9)²; e) (a+0,5)(a-0,5); f) (x+8y²)(x-8y²) 10. Vereinfachen Sie folgende Bruchterme und bestimmen Sie die Definitionsmenge: a) 2 3x x x x x 2 c) 3+9 3x 2x 1 2 x x 3x+2 x 2 +x b) 7x 4 3x 2 + 2x+3 (x 2)(x+3) x 2 2x x 2 +3x Lösung: 6x+23 a) ; b) 6 (x+2)(2x 3) ; x+3 c) 3x 3 2x 1 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 4 von 10

5 11. Geben Sie die Bedingung für a an, damit die Gleichung 1 2 x2 + 4x + a = 0 a) genau eine Lösung b) zwei Lösungen c) keine reelle Lösung besitzt. d) Geben Sie für a) die Lösung an. Lösung: a) a = 8, b) a < 8, c) a > 8, d) x = Gegeben ist die Gleichung x 2 3ax = 11 5a 2. Geben sie a so an, dass die Gleichung nur eine Lösung besitzt. Berechnen Sie die Lösung. Lösung: a = 2, x = 3 oder a = -2, x = Berechnen sie die fehlenden Koeffizienten und die zweite Lösung der Gleichung x 2 + px + q = 0 a) p = 7, x 1 = 9; b) q = 30, x 1 = 5. Lösung: a) q = -18, x 2 = 2; b) p = 1, x 2 = Gegeben ist ein Gleichungssystem in zwei Variablen. Geben Sie die Variablen a und c so an, dass es keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen gibt. I. 3x 4y = c II. ax + 4y = 15 keine Lösung: genau eine Lösung: unendlich viele Lösungen: Lösung: keine Lösung für a = -3, c -15, unendliche viele Lösungen für a = -3 und c = -15, genau eine Lösung für a -3, c Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: x y + z = 0 4x + 8y = 12-8y 5z = 0 Lösung: x = 1,70, y = 0,65, z = -1,04 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 5 von 10

6 16. Gegeben sind Punkte P(3/6) und Q(-1/5). Berechnen Sie den Betrag des Vektor a PQ und seinen Einheitsvektor a 0 und stellen Sie den Vektor grafisch dar. Lösung: a = ( 4 1 ), a = 17, a 0 = ( 0,97 0,24 ) Gegeben ist der Vektor a. Berechne seinen Betrag und den Winkel α, den er mit der x-achse einschließt. 2 Lösung: a = 3,61, α = 33,7 18. Vom Vektor b ist der Betrag 4 und der Winkel = 38 zur x-achse, von einem anderen Vektor c der Betrag 3 und der Winkel = 130 zur x-achse. Wie lauten die Koordinaten der beiden Vektoren? Lösung: b = ( 3,15 ), c = ( 1,93 2,46 2,30 ) LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 6 von 10

7 Einstiegsvoraussetzungen 3. Semester Bereich: Funktionale Zusammenhänge kennen den Begriff Umkehrfunktion (grafisch als Spiegelung an der 1. Mediane) kennen zentrale Eigenschaften von Funktionen, wie Nullstelle, Monotonie, Polstelle und Asymptoten kennen die Parameter und Eigenschaften wichtiger Funktionen (lineare Funktion, quadratische Funktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen) können sie im rechtwinkeligen Koordinatensystem skizzieren und den Einfluss der Parameter verstehen und anwenden. (y = a f(x + b) +c ) können sie auf technische Fragestellungen anwenden. (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion, Kosten- und Preistheorie, s-t, v-t, a-t-diagramm) kennen die Bedeutung logarithmischer Skalierung und können diese auf Potenz- und Exponentialfunktion anwenden Übungsaufgaben: 1. a) Stellen Sie die Gleichung der Geraden g auf, die durch die Punkte A(-4 5) und B(4 1)geht. b) Ermitteln Sie die Schnittpunkte dieser Geraden mit beiden Koordinatenachsen. c) Geben Sie die Gleichung jener Geraden an, die zu g parallel ist und durch P(-2-2) geht. d) Stellen Sie die Funktion graphisch dar. Lösung: a) y = -0,5 x + 3 b) S y = (0 3); S x = N = (6 0) c) y = -0,5 x 3 d) 2. Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch drei Punkte. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. a) P(2 2), Q(-1-2,5), R(3-4,5) b) A(-2 6), B(-1 3), C(5 27) Lösung: a) y = -2x² +3,5x + 3 b) y = x² + 2 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 7 von 10

8 3. Ermitteln Sie die Gleichung der quadratischen Funktion. a) b) c) Lösung: a) y = (x - 2)² b) y = -(x + 3)² + 2 c) y = 0,5(x 3)² Von einer Aussichtsterrasse H = 150 m wird ein Stein mit der Geschwindigkeit v 0 = 5 m/s emporgeschleudert. Die Höhe zum Zeitpunkt t lässt sich mit der folgenden Formel berechnen: h(t) = H + v 0 t 5t 2 a) Geben Sie die Funktion vollständig an. b) Berechnen Sie die Zeit bis zum Auftreffen des Steins auf dem Boden. c) Berechnen Sie die maximale Höhe des Steins. d) Zeichnen Sie einen Graphen der den Sachverhalt beschreibt. Lösung: a) h(t) = t 5t² b) t = 6 s c) h(0.5) = m d) 5. Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der eine untersuchte Größe auf die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes abnimmt. Das radioaktive Isotop Radon-222 hat eine Halbwertszeit von 3,824 Tagen. Stellen Sie das Zerfallsgesetz auf, wenn zu Beginn 10 9 Atome vorhanden sind. Lösung: N(t) = 10 9 e 0,1813 t LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 8 von 10

9 6. Das Zerfallsgesetz von Radon-220 lautet: N(t) = N 0 e 0,0125 t (t in Sekunden). Berechnen Sie die Halbwertszeit dieses Isotops. Lösung: 55,5 s 7. Ein Stromkreis mit der konstanten Spannung U = 24 V enthält eine Spule der Induktivität L = 0,06 H (Henry) und einen ohmschen Widerstand R = 8Ω. Er wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen. Dann gilt für die Stromstärke: i(t) = U R (1 e t τ) mit τ = L R für t 0 s a) Stellen Sie den Einschaltstrom i als Funktion der Zeit grafisch dar. b) Berechnen Sie, wann der Strom 90 % seines Endwertes erreicht. Lösung: a) b) t 17ms LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 9 von 10

10 8. Geben Sie für folgende vier Kurven richtige Funktionsgleichungen, Asymptoten und die Definitionsmengen an und berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen Lösungen: a) y = (x + 2) 3 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(-3,36/0), Sy(0/-10), D = R, keine Asymptoten; b) y = e x 4 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(4,69/0), Sy(0/-1,98), D = R, Asymptote y = -2 c) y = 1 x+2 + 5, Schnittpunkte mit den Achsen: N(-1,8/0), Sy(0/4,5), D = R \{-2}, Asymptoten x= -2, y = 5 d) y = ln(x + 1) 2, Schnittpunkte mit den Achsen: N(6,39/0), Sy(0/-2), D = ]-1; [, Asymptote x = -1 LITEC HTL Paul Hahn Str. Seite 10 von 10