6. Gleichungen und Ungleichungen

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1 6. Gleichungen und Ungleichungen 6.Z Zusammenfassung Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T 1 = T 2. Eine Gleichung ohne Variablen entspricht einer Aussage (Behauptung) und kann entweder wahr oder falsch sein. Eine Gleichung mit Variablen (Unbekannten) ist eine Aussageform. Sie wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen einer Grundmenge ersetzt werden. Eine Gleichung lösen heisst, aus einer vorgegebenen Grundmenge G alle Werte zu bestimmen, die die Gleichung (Aussageform) zu einer wahren Aussage machen. Die Grundmenge G einer Gleichung T 1 = T 2 ist die Menge aller Zahlen, welche für die Unbekannte zugelassen sind. Die Definitionsmenge D einer Gleichung T 1 = T 2 ist die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge G, für die T 1 und T 2 definiert sind. Die Definitionsmenge D ist eine Teilmenge der Grundmenge G. Die Lösungsmenge L (Erfüllungsmenge) der Gleichung ist die Menge aller Zahlen aus der Definitionsmenge, welche die Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge der Definitionsmenge. Identische Gleichungen sind Gleichungen, die allgemeine algebraische Wahrheiten enthalten. Für die (eventuell) vorkommenden Variablen dürfen beliebige Werte einer Grundmenge eingesetzt werden. Bestimmungsgleichungen sind Gleichungen, die nur für gewisse Werte der Variablen erfüllt sind. Gleichungen können (abhägig davon welche Funktionen darin vorkommen) in verschiedene Typen eingeteilt werden: Lineare Gleichung, Quadratische, Kubische Gleichung, Exponentialgleichung, Logarithmische Gleichung, Trigonometrische Gleichung etc. Man spricht von einer Äquivalenzumformung, wenn eine Bestimmungsgleichung formal in eine andere Bestimmungsgleichung umgeformt wird, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge der Gleichung ändert. 6.1 Gleichungen Begriff der Gleichung Wir haben in den vorangehenden Kapiteln schon ab und zu eine Gleichung angetroffen. Wie ist jedoch eine Gleichung genau definiert? Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme unter Verwendung des Gleichheitszeichens " = " gleichgesetzt werden: T 1 = T 2. Wir haben schon früher den in dieser Definition benutzten Begriff des Terms kennengelernt:

2 2 Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen (Platzhaltern), Symbolen für mathematische Operationen (+, -,, /) sowie Klammern zur Gruppierung enthält. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Eine Gleichung ohne Variablen entspricht einer Aussage (Behauptung) und kann entweder wahr (eine sogenannte identische Gleichung) oder falsch sein. Beispiel die Gleichung = 5 eine wahre Aussage; und die Gleichung = 6 eine falsche Aussage. Eine Behauptung oder Bedingung oder Gleichung, die mindestens eine Variable enthält heisst Aussageform. Es gibt nun Gleichungen, die für alle Werte der Variablen aus einer Grundmenge zu einer wahren Aussage führen wie zum Beispiel das Kommutativgesetz (a + b = b + a) oder die binomische Formel (Ha + bl 2 = a a b + b 2 ). Diese Gleichungen werden auch identische Gleichungen genannt. Zumeist gilt eine Gleichung jedoch nicht für alle Werte einer Grundmenge und der Wahrheitswert der Aussageform hängt von der Belegung der Variablen ab. Bei einer Gleichung mit Variablen (z.b. 8 - x = 5) kann erst nach Belegung mit konkreten Werten aus einem bestimmten Bereich entschieden werden, ob die Gleichung (Behauptung) wahr oder falsch ist. 8 - x = 5 ist eine Aussageform. Sie geht für x = 3 in eine wahre Aussage über. Sie geht für x = 1 in eine falsche Aussage über. Eine Gleichung mit Variablen (Unbekannten) ist eine Aussageform, Sie wird zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn die Variablen durch Zahlen einer Grundmenge ersetzt werden. Gleichungen mit Variablen, die nur für bestimmte (oder keine) Werte der Variablen zu einer wahren Aussage führen, werden Bestimmungsgleichungen genannt. Beispiele für Bestimmungsgleichungen 8 - x = 5 è!!!!!!!!!!! x - 8 = 13 sinhxl = 0.2 Gleichungen ohne Variablen, die wahre Aussagen sind (z.b. 5-3 = 2) oder Gleichungen mit Variablen, die algebraische Wahrheiten enthalten und bei denen die vorkommenden Variablen beliebige Werte einer Grundmenge annehmen dürfen (z.b. a + b = b + a), werden identische Gleichungen genannt. Beispiele für identische Gleichungen = 9 Ha + bl 2 = a a b + b Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge Eine der wichtigsten Aufgaben in der Mathematik ist das Lösen von Gleichungen. Was heisst dies? Eine Gleichung lösen heisst, aus einer vorgegebenen Grundmenge G alle Werte zu bestimmen, die die Gleichung (Aussageform) zu einer wahren Aussage machen.

3 3 Grundmenge Die Grundmenge G einer Gleichung T 1 = T 2 ist die Menge aller Zahlen, welche für die Unbekannte zugelassen sind. Beispielsweise hat die Gleichung 5 + x = 3 keine Lösung in (d.h. wenn nur natürliche Zahlen zugelassen sind), jedoch eine in (d.h. wenn die ganzen Zahlen zugelassen sind). Nicht für alle Werte einer Grundmenge ist die Gleichung überhaupt definiert. Beispielsweise ist die Gleichung x = 1 nicht definiert. Dies führt auf den Begriff der Definitionsmenge. Definitionsmenge 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x-1 = 5 für Die Definitionsmenge D einer Gleichung T 1 = T 2 ist die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge G, für die T 1 und T 2 definiert sind. Die Definitionsmenge D ist eine Teilmenge der Grundmenge G. Bei einem zusammengesetzten Term (z.b. T 1 = T a T b T c oder T 1 = T a + T b + T c ) ist der Definitionsbereich des Terms die Schnittmenge der Definitionsbereiche aller auftretenden Teilterme. Dabei ist jeweils auch die zulässige Grundmenge zu beachten. Eine Gleichung kann mehrere Lösungen, d.h. Werte die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen, haben. Dies führt auf den Begriff der Lösungemenge. Lösungsmenge Die Lösungsmenge L (Erfüllungsmenge) der Gleichung ist die Menge aller Zahlen aus der Definitionsmenge, welche die Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge der Definitionsmenge. Eine Lösung bzw. die Lösungsmenge einer Gleichung kann auf verschiedene Arten bezeichnet werden (z.b. für die Gleichung x - 2 = 0): L =82< L =8x» x = 2< oder L =8x œ» x = 2< x = 2 Es kann vorkommen, dass eine Gleichung keine Lösung, eine Lösung, mehrere Lösungen oder viele Lösungen hat. Es gibt also nicht immer eine eindeutige Lösung. Beispielsweise gilt: x 3 = -8 keine Lösung in der Grundmenge : L =8< x 3 = -8 eine Lösung in der Grundmenge : L =8-2< x 3 = -8 ÅÅÅÅÅÅ drei Lösungen in der Grundmenge : L =9-2, 2  p 3., 2 - ÅÅÅÅÅÅ Â p 3 = Abs@xD Exp@IArg@xDD ê.solve@x 3 8, xd 9 2, 2 3 π, 2 π 3 = Beispiele ÅÅÅÅ 5-2 = 3 hat auf der Grundmenge die Definitionsmenge D = \80<. Die Lösungsmenge beträgt L =81<. x SolveA 5 2 ==3, xe x 88x 1<<

4 Äquivalenzumformungen Man spricht von einer Äquivalenzumformung, wenn eine Bestimmungsgleichung formal in eine andere Bestimmungsgleichung umgeformt wird, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge und der Definitionsbereich der Gleichung ändert. Äquivalenzumformungen sind: a) Zu beiden Seiten einer Gleichung die gleiche beliebig gewählte Zahl addieren. b) Von beiden Seiten einer Gleichung die gleiche beliebig gewählte Zahl subtrahieren. c) Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen, beliebig gewählten Zahl (ungleich 0) multiplizieren. d) Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen, beliebig gewählten Zahl (ungleich 0) dividieren. Multiplikation mit 0 Gegeben sei die Gleichung x = 1. Diese Gleichung hat die einzige Lösung x = -3. Wenn man jedoch die Gleichung x = 1 auf beiden Seiten mit x - 1 multipliziert, erhält man die Gleichung: H7 + 2 xl Hx - 1L = 1 Hx - 1L H7 + 2 xl Hx - 1L -Hx - 1L =H6 + 2 xl Hx - 1L = 0 Diese Gleichung hat nun die beiden Lösungen x = -3 und x = 1. Durch die Multiplikation mit dem Term x - 1 ist eine neue Lösung (x = 1) dazugekommen. Division durch 0 Wir untersuchen die Gleichung: x x = 0. Diese ist äquivalent zu: xhx + 2L = 0. Diese Gleichung hat (wie man leicht ausrechnen kann) die beiden Lösungen x = 0 und x = -2. Wenn man jedoch die Gleichung xhx + 2L = 0 durch die Unbekannte x dividiert erhält man die Gleichung: x + 2 = 0. Diese Gleichung hat nur noch die eine Lösung x = -2. Durch die Division durch x ist also eine Lösung verloren gegangen. Durch die Division durch x ist die Lösung x = 0 weggefallen. Potenzieren (d.h. É n mit nœ ) Gegeben sei die Gleichung x = 3 mit (offensichtlich) der Lösung L =83<. Wenn man beide Seiten quadriert, erhält man die neue Gleichung x 2 = 9 mit L =8-3, 3<. Wenn man beide Seiten der Gleichung x = 3 zur dritten Potenz nimmt, erhält man die neue Gleichung x 3 = 27 mit L =83<. Das Potenzieren mit einem geradzahligen Exponenten ist keine Äquivalenzumformung, das Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten jedoch schon. Wurzel Ziehen (d.h. É 1 ÄÄÄÄÄ n mit nœ ) Gegeben sei die Gleichung x + 2 = 16 mit der Lösung L =814<.

5 5 Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel erhält man è!!!!!!!!!!! x + 2 = 4 mit der (gleichen) Lösung L =814<. Die Lösungsmenge hat sich nicht verändert, jedoch haben die beiden Gleichungen unterschiedliche Definitionsbereiche. Während die erste Gleichung D = hat, hat die zweite Gleichung D =8x œ» x -2<. Die zwei Gleichungen sind deshalb nicht äquivalent. Schlussfolgerung Wenn beim Umformen von Gleichungen Nich-Äquvialenzumformungen eingesetzt werden, müssen die erhaltenen Lösungen kontrolliert werden, indem sie in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt werden und untersucht wird, ob sie zu einer wahren Aussage führen oder nicht Einteilung der Gleichungen (später) Bestimmungsgleichungen können - je nachdem als Argument welcher Funktionen die Variablen auftreten - unterteilt werden: Algebraische Gleichungen In algebraischen Gleichungen kommen die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln vor. Lineare Gleichungen (Gleichung 1. Grades) haben die Form: a 0 + a 1 x = 0 Quadratische Gleichungen (Gleichung 2. Grades) haben die Form: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 0 Kubische Gleichungen (Gleichung 3. Grades) haben die Form: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 Gleichungen n-ten Grades haben die Form: a 0 + a 1 x a n x n = 0 Bruchgleichung sind Gleichungen, die mindestens eine Unbekannte im Nenner eines vorkommenden Terms beseitzen: z.b. 4 ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 3 = 3 x x + 2 Wurzelgleichung: 1 + è!!!!!!!!!!!! x + 5 = x Betragsgleichungen sind Gleichungen, in denen die Betragsfunktion vorkommt: z.b. x - 5 = x Transzendente Gleichungen In transzendenten Gleichungen kommen für die Unbekannte (neben den algebraischen Operationen) eine oder mehrere der transzendenten Funktionen Exponentialfunktion, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen vor. Beispiele. Exponentialgleichung: x + 2 x = 2 Logarithmische Gleichung: Log@xD + Log@2 xd = 2 Trigonometrische (Goniometrische) Gleichung: Sin@xD - Cos@2 xd = 0.1

6 6 6.2 Ungleichungen Bei Ungleichungen kommt statt des Gleichheitszeichens (=) eines der folgenden Ungleichheitszeichen vor: <,, >,. Bemerkungen Ungleichungen können nur für Zahlen, die sich ordnen lassen, angewandt werden, also nicht für komplexe Zahlen. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen sind Addition bzw. Subtraktion einer beliebigen Zahl sowie Multiplikation und Division mit einer Zahl 0. Bei Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl müssen jedoch zusätzlich die Ungleichheitszeichen umgedreht werden: d.h. < Ø > und Ø und umgekehrt. Durch Ungleichungen werden (in der Regel) Zahlenbereiche (z.b. Intervalle) festgelegt. Beispiele x - 4 < 9 führt mit der Grundmenge auf die Lösungsmenge L =8x œ» x < 13< =H13, L, was man durch die Äquivalenzumformung "Addiere 4 auf beiden Seiten der Gleichung" ableiten kann. x 2 4 führt mit der Grundmenge auf die Lösungsmenge L =8x œ» x < 2< =@-2, 2D. Man muss dabei beachten, dass das Wurzelziehen auf zwei Lösungen führt. 6.3 Systeme von Gleichungen In vielen Fällen der Praxis hat man nicht nur eine Gleichung mit einer Unbekannten, sondern mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Beispiele Die drei Gleichungen (in SI Einheiten, Kinematik) s = ÅÅÅÅ 1 2 a t2 und t = 3 und a = 5 verknüpfen die drei Variablen s, a, t. Die zwei Gleichungen (ein sogenanntes lineares Gleichungssystem) 3 x - 5 y = 10 und 2 x - 3 y = 15 verknüpfen die zwei Variablen x, y. In solchen Situationen müssen Werte für die verschiedenen Variablen gefunden werden, so dass alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt werden. Auch hier kann es keine Lösung... eine Lösung... mehrere Lösungen... unendlich viele Lösungen geben. Von grosser Wichtigkeit sind hier die linearen Gleichungssysteme (wo die Unbekannten nur linear vorkommen): z.b. 3 x + 5 y - 4 z ã 1 4 x - 8 y + 19 z ã 5 8 x + 3 y - 13 z ã 2 Dies führt uns zur Linearen Algebra und dem Rechnen mit Matrizen. Wir werden diese Systeme später noch genauer untersuchen.

7 7 Mathematica Beispiel Gegeben sei das obige lineare Gleichungssystem. Mit Reduce kann sehr einfach die Lösung gefunden werden. eqs = 8 3 x +5 y 4 z 1, 4 x 8 y +19 z 5, 8 x +3 y 13 z 2 <; TableForm@eqsD Reduce@eqs, 8x, y, b<d 3x +5y 4z 1 4x 8y +19z 5 8x +3y 13z 2 z &&x &&y M Gleichungen und Gleichungen lösen mit Mathematica Equal Mathematica benutzt die Funktion "Equal", um eine Gleichung darzustellen: Equal@lhs, rhsd repräsentiert die Gleichung lhs == rhs. Beachten Sie, dass die Funktion Equal auch mit dem Infix Operator == aufgerufen werden kann. Dieser Infix Operator besteht jedoch aus zwei Gleichheitszeichen (x ã 2). Das einfache Gleichheitszeichen steht für die Funktion "Set" (x = 2). lhs steht für "Left Hand Side": d.h. die linke Seite (der Gleichung) rhs steht für "Richt Hand Side": d.h. die rechte Seite (der Gleichung). Bei einer einer Aussage (z.b = 5) gibt Equal den Wahrheitswert der Aussage (d.h. oder False, je nachdem ob die Aussage wahr oder falsch ist) zurück. Bei einer einer Aussageform, die für alle Zahlen gilt (z.b. a + b = b + a) bzw. mathematische Wahrheiten gibt Equal zurück. Bei allgemeinen Aussageformen (z.b = 5) gibt Equal den Ausdruck wie eingegeben zurück. Die mit Equal spezifizierte Gleichung kann jedoch in anderen Funktionen (z.b. Solve) verwendet werden. Aussagen False a +b b +a 5 a +a 6 a

8 8 a b 2 a Ha +bl Aber Ha + bl 2 muss zuerst ausmultipliziert werden: Ha +bl 2 a 2 +2 ab +b 2 Expand@Ha +bl 2 a 2 +2 ab+b 2 Ha +bl 2 a 2 +2ab +b 2 Gleichungen lösen Mathematica kennt viele Funktionen, um Gleichungen (bestimmten Typs) zu lösen. Die wichtigsten Funktionen sind Solve, Reduce, FindRoot, Eliminate, Minimize etc. Solve[equations,vars] Æ Rules Solve versucht die Gleichung(en) nach den spezifizierten Variablen aufzulösen. Solve findet Anwendung vor allem bei Polynomgleichungen. Solve@x 2 2 ==15, xd 99x è!!!!!! 17=, 9x è!!!!!! 17== Reduce[Ausdruck, vars] Æ Logische Ausdrücke Reduce formt den eingegebenen Ausdruck in einen einfacheren um. Der Output beschreibt die genau gleiche Lösungsmenge. Reduce@x 2 2 ==15, xd x è!!!!!! 17»»x è!!!!!! 17 8x, x Start <D FindRoot sucht nach einer numerischen Lösung der Gleichung, wobei für x ein Startwert eingegeben werden muss. FindRoot@x 2 2 ==15, 8x, 3<D FindRoot@x 2 2 ==15, 8x, 3<D 8x `< 8x `< Eliminate[equations,vars] Eliminate eliminiert Variablen in einem Gleichungssystem und reduziert so die Anzahl der Gleichungen. Eliminate@8ax 2 +bxy +cy 2 ==0, x +y ==1<, xd a +2ay by ay 2 +by 2 cy 2