Mathematik leicht gemacht

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1 Mathematik leicht gemacht von Prof. Dr.-Ing. H. Kreul, K. Kulke H. Pester, R. Schroedter mit 457 Abbildungen und 781 Aufgaben mit Lösungen 4. Auflage Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main

2 Inhaltsverzeichnis 1. Vorbemerkungen 12 DAS RECHNEN MIT ZAHLEN Der Zahlbegriff Die natürlichen Zahlen Das dekadische Positionssystem Das duale Positionssystem Konstanten und Variablen Aufgaben 1 bis Zur Technik des Zahlenrechnens Bezeichnungen Teilbarkeit von Zahlen Teiler einer Zahl Primzahlen Teilbarkeitsregeln Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache Gewöhnliche Brüche Begriffserklärungen Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen Der Kehrwert eines Bruches Division von Brüchen Doppelbrüche Dezimalbrüche Begriffserklärungen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen Division von Dezimalbrüchen Umwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche und umgekehrt Das Runden von Dezimalbrüchen Potenzen und Wurzeln Quadrate und Kuben Quadrat- und Kubikwurzeln Das Arbeiten mit Zahlentabellen Bedeutung der Zahlentabellen Aufsuchen von Quadratzahlen Aufsuchen von Quadratwurzeln Aufsuchen von Kubikzahlen Aufsuchen von Kubikwurzeln. 43 Aufsuchen der Kehrwerte Weitere Anwendungsmöglichkeiten der Tabelle 44 Interpolation 45 Das Arbeiten mit elektronischen Taschenrechnern 47 Bedeutung der elektronischen Taschenrechner 47 Aufbau elektronischer Taschenrechner 49 Wirkungsweise elektronischer Taschenrechner 52 Funktionsgruppen 52 Tastenfeld 55 Zahleneingabe 56 Zweistellige Rechenoperationen 57 Einstellige Rechenoperationen. 60 Mehrfachbelegung von Funktionstasten 63 Löschoperationen 64 Speicheroperationen 65 Registeraustausch 66 Zahlendarstellung 67 Rechnen mit elektronischen Taschenrechnern 68 Besonderheiten der Taschenrechner mit Umgekehrter Polnischer Notation 73 Funktionsprinzipien 73 Registeroperationen bei Rechnern mit Umgekehrter Polnischer Notation 74 Rechnen mit Taschenrechnern mit Umgekehrter Polnischer Notation 77 Aufgaben 4 bis ARITHMETIK Die Rolle der Sprache in der Mathematik 90 Allgemeine Bemerkungen Aussagen und Aussageformen. 90 Verknüpfung von Aussagen Einführendes Beispiel und..." (Konjunktion) oder..." (Disjunktion bzw. Alternative) 93 Wenn..., so..." (Implikation) 96 Genau wenn..., so..." (Äquivalenz) 97 Aufgabe Grundbegriffe der Mengenlehre 99

3 Inhaltsverzeichnis Der Begriff der Menge. Die Angabe von Mengen Mengenrelationen... Teilmenge Gleichheit zweier Mengen Mengenoperationen... Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Differenz zweier Mengen Aufgaben 84 bis Das Rechnen mit Variablen Die vier Grundrechenarten Einfache Rechenoperationen mit Variablen 112 Die negativen Zahlen 114 Addition und Subtraktion Multiplikation 119 Division 120 Die rationalen Zahlen 122 Das Rechnen mit algebraischen Summen 122 Die Bedeutung der Klammern. 122 Auflösen und Setzen additiver und subtraktiver Klammern Multiplikation von Klammerausdrücken 124 Binomische Formeln 126 Division von Klammerausdrükken 128 Ausklammern gemeinsamer Faktoren 130 Bruchrechnung 131 Erweitern und Kürzen 131 Addition und Subtraktion von Brüchen 132 Multiplikation und Division von Brüchen 134 Doppelbrüche 135 Aufgaben 96 bis Potenzrechnung 147 Begriffserklärungen 147 Potenzgesetze 149 Addition und Subtraktion von Potenzen 149 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Hochzahlen Division von Potenzen mit gleichen Hochzahlen 150 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Grundzahlen Potenzieren einer Potenz Division von Potenzen mit gleichen Grundzahlen Überblick über die Potenzgesetze für Potenzen mit gleichen Grundzahlen Erste Erweiterung des Potenzbegriffes Potenzen mit ganzzahligen negativen Hochzahlen Die Hochzahlen Null und Eins Das Rechnen mit Potenzen mit negativen Hochzahlen Anwendungen der Potenzen Schreibweise rationaler Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen Schreibweise von Maßeinheiten Potenzen von Binomen 158 Aufgaben 150 bis Wurzelrechnung Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens Rationale und irrationale Zahlen Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes) Wurzelgesetze Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Rationalmachen des Nenners Radizieren von Potenzen Radizieren von Wurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten Rückblick auf die Wurzelgesetze 177 Aufgaben 176 bis Logarithmenrechnung Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens Begriffserklärungen Logarithmengesetze Die dekadischen Logarithmen Begriffserklärungen Die Logarithmentafel Die Einrichtung der Logarithmentafel 189

4 Inhaltsverzeichnis Das Aufsuchen der Logarithmen 190 Das Aufsuchen des Numerus Interpolation 191 Bestimmung von Logarithmen mit dem Taschenrechner Bestimmung von Logarithmen. 193 Bestimmung von Numeri Bemerkungen zum logarithmischen Rechnen 194 Ausblick auf andere Logarithmensysteme 194 Aufgaben 208 bis ALGEBRA 202 Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen 202 Vorbemerkungen 202 Begriffserklärungen 206 Umformung von Gleichungen. 210 Äquivalente Umformung von Gleichungen 210 Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen 212 Numerische Lösung von linearen Gleichungen mit einer Variablen 214 Begriff der linearen Gleichung mit einer Variablen 214 Gleichungen einfachster Form. 214 Gleichungen mit Klammerausdrücken 216 Bruchgleichungen 217 Wurzelgleichungen 218 Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich 220 Das Umstellen von Formeln Anwendungen 222 Schlußbemerkungen 224 Das Rechnen mit Ungleichungen 225 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen 229 Aufgaben 244 bis Proportionen 235 Begriffserklärungen 235 Rechengesetze für Proportionen 236 Fortlaufende Proportionen Direkte Proportionalität 239 Umgekehrte Proportionalität Proportionen als Gleichungen. 241 Prozentrechnung Grundbegriffe Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes Promillerechnung Zinsrechnung 247 Aufgaben 258 bis Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Begriffserklärungen Numerische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Das Einsetzverfahren Das Gleichsetzverfahren Das Additionsverfahren Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Schwierigere Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen 263 Aufgaben 270 bis Quadratische Gleichungen Begriffserklärungen Numerische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied Die Normalform x 2 + px + q = 0 der quadratischen Gleichung Die quadratische Ergänzung Die Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung

5 10 Inhaltsverzeichnis Die Diskriminante Der Wurzelsatz von VIETA Produktform quadratischer Terme 285 Aufgaben 284 bis Funktionen Begriffsbestimmungen Der Begriff der Abbildung Der Begriff der Funktion Arten der Darstellung von Funktionen Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle Darstellung einer Funktion durch Graphen Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der ZuOrdnungsvorschrift Darstellung einer Funktion durch eine Gleichung Darstellung einer Funktion durch eine Kurve Das rechtwinklige Koordinatensystem Darstellung von Funktionen durch Kurven Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als Kurven gegeben sind Zusammenhänge zwischen der Gleichung und der Kurve einer Funktion Schnittpunkt zweier Kurven Einige besondere Eigenschaften von Funktionen Monotonie Stetigkeit Gerade Funktionen Ungerade Funktionen Nullstellen von Funktionen Die lineare Funktion Vorbemerkungen Begriffserklärungen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx+ b Grafische Darstellung einer linearen Funktion Grafische Lösung von linearen Gleichungen sowie von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Die quadratische Funktion Begriffserklärungen Die quadratische Funktion y = x Die quadratische Funktion y = x 2 + q Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Die allgemeine quadratische Funktion y = Ax 2 + Bx + C Die Potenzfunktionen y = x* y = x" f. ganzzahliges positives n Die Potenzfunktion y = x y = x" f. ganzzahliges negatives n y = x" f. gebrochene Werte von n Die Exponentialfunktionen y = a* undy = a~" Die logarithmische Funktion Aufgaben 301 bis PLANIMETRIE Grundbegriffe der Geometrie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln, Parallele Geraden Schnitt zweier Geraden Winkel an Parallelen Symmetrie Axiale Symmetrie Zentrale Symmetrie Geometrische Grundkonstruktionen Punktmengen 344 Aufgaben 311 bis Das Dreieck Allgemeines Dreieck Spezielle Dreiecke Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte 348 Aufgabe Das Viereck Allgemeines Viereck Spezielle Vierecke Das Vieleck Unregelmäßiges Vieleck Regelmäßige Vielecke 355

6 Inhaltsverzeichnis Kongruenz Kongruenz im allgemeinen Kongruenz von Dreiecken Ähnlichkeit Ähnlichkeit im allgemeinen Ähnlichkeit von Dreiecken Strahlensätze 360 Aufgaben 316 bis Sätze vom rechtwinkligen Dreieck 363 Aufgaben 321 bis Strecken und Winkel am Kreis Kreis und Gerade Winkel am Kreis Ähnlichkeit am Kreis 373 Aufgaben 351 bis Berechnung von Flächen und Umfangen Verschiedene Vierecke Dreiecke Unregelmäßige Vielecke Regelmäßige Vielecke Kreis und Kreisteile Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Figuren 389 Aufgaben 359 bis GONIOMETRIE Das Bogenmaß Die Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Kurvenbilder der Winkelfunktionen Zahlenwerte der Winkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrie Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Sätze für beliebige Dreiecke Spezielle Berechnungen an beliebigen Dreiecken 424 STEREOMETRIE Einteilung der Körper Ebenflächner Krummflächner Darstellung der Körper Mehrtafelprojektion Axonometrische Projektion Isometrische Projektion Dimetrische Projektion Körperberechnung Berechnungsgrundlagen Ebenflächner Rechtkant und Würfel 447 Aufgaben 569 bis Gerades Prisma 451 Aufgaben 594 bis Satz des CAVALIERI 455 Aufgaben 615 bis T Pyramide 456 Aufgaben 617 bis Pyramidenstumpf 460 Aufgaben 628 bis Krummflächner Kreiszylinder Gerader Voll-und Hohlzylinder 465 Aufgaben 642 bis Schiefer Voll- und Hohlzylinder 470 Aufgaben 684 bis Gerader und schiefer Kegel Aufgaben 687 bis Kegelstumpf 476 Aufgaben 704 bis Kugel und Kugelteile Volumenberechnung Mantelberechnung 489 Aufgaben 723 bis GuLDiNsche Regeln Schlußbemerkungen 501 Lösungen 501 Bezeichnungen auf den Tasten elektronischer Taschenrechner 546 Namen- und Sachwortverzeichnis Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen. 430 Aufgaben 530 bis