Transkript

1 1 Arithmetik Mengen Aussageformen und logische Zeichen Einteilung der Zahlen Grundrechenarten Grundlegende Rechenregeln Buchstabenrechnen Kehrwert, Quersumme Teilbarkeitsregeln Punktrechnung vor Strichrechnung Potenzrechnung vor Punktrechnung Grundgesetze der Addition und Multiplikation Grundregeln der Klammerrechnung Multiplikation mit Klammern Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen Binomische Formeln Division mit Klammern Bruchrechnung Definitionen Erweitern und Kürzen Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche Multiplizieren von Brüchen Dividieren von Brüchen Potenz-und Wurzelrechnung Definition der Potenz Regeln der Potenzrechnung Definition der Wurzel Regeln der Wurzelrechnung 29 XV

2 XVI Inhaltsverzeichnis 1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen Dezimalsystem Dualsystem i Runden Logarithmen Definition des Logarithmus Spezielle Basen Regeln der Logarithmenrechnung Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen Dekadische Logarithmen Mittelwerte Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quadratisches Mittel Ungleichungen Definitionen und Rechenregeln Absolutbetrag Intervalle Komplexe Zahlen Algebraische Form Trigonometrische Form Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Multiplizieren komplexer Zahlen Dividieren komplexer Zahlen Potenzieren komplexer Zahlen Radizieren komplexer Zahlen Eulersche Formel Beweisprinzipien Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis) Beweis mit vollständiger Induktion 59 2 Gleichungen Gleichungsarten Äquivalente Umformungen Lineare Gleichungen Proportionen Quadratische Gleichungen Definitionen Lösungsverfahren Satz von Vieta für quadratische Gleichungen 77

3 Inhaltsverzeichnis XVII 2.6 Algebraische Gleichungen höheren Grades Kubische Gleichungen Polynomdivision Gleichungen vierten Grades Gleichungen n-ten Grades Satz von Vieta für Gleichungen n-ten Grades Auf algebraische Gleichungen zurückfuhrbare Gleichungen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Trigonometrische Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Definitionen Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen Matrizen und Determinanten Lineare Ungleichungen Definitionen Lineare Ungleichungen mit einer Variablen Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen Planimetrie Geraden und Strecken Winkel Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal Projektion Geometrische Örter Dreiecke Allgemeine Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Besondere Geraden, Strecken und Kreise Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck Kongruenz von Dreiecken Grundkonstruktionen des Dreiecks Vierecke Allgemeine Vierecke Trapeze Parallelogramme 149

4 XVIII Inhaltsverzeichnis Rhomben Rechtecke Quadrate Drachen Sehnenvierecke Tangen tenvierecke Reguläre «-Ecke Polygone Kreise Definitionen Kreissektoren Kreissegmente Kreise und Geraden Winkelsätze am Kreis Eigenschaften von Sekanten und Sehnen Tangentenkonstruktionen Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten Bogenmaß Symmetrie Punktsymmetrie Achsensymmetrie Ähnlichkeit Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Figuren Streckenteilungen Stereometrie Prismen Allgemeine Prismen Parallelepiped und Würfel Zylinder Allgemeine Zylinder Gerade Kreiszylinder Hohlzylinder Pyramiden Allgemeine Pyramiden Gerade quadratische Pyramiden Kegel Allgemeine Kegel Gerade Kreiskegel Cavalierisches Prinzip 187

5 Inhaltsverzeichnis XIX 4.6 Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe Pyramidenstümpfe Kegelstümpfe Platonische Körper Kugeln Definitionen Kugelsegmente Kugelsektoren Kugelschichten Funktionen Definition und Darstellungen von Funktionen Definitionen Funktionsgleichung Graph einer Funktion Wertetabelle einer Funktion Verhalten von Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Beschränkte Funktionen Injektive Funktionen Surjektive Funktionen Bijektive Funktionen Periodische Funktionen Umkehrfunktionen Reelle und komplexe Funktionen Einteilung der elementaren Funktionen Ganze rationale Funktionen Konstante Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Kubische Funktionen Ganze rationale Funktionen n-ten Grades Horner-Schema Gebrochene rationale Funktionen Nullstellen, Pole, Asymptoten Partialbruchzerlegung Irrationale Funktionen Transzendente Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen 248

6 XX Inhaltsverzeichnis 6 Trigonometrie Definition der trigonometrischen Funktionen Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel Beziehungen für den gleichen Winkel Graphen der trigonometrischen Funktionen Reduktionsformeln Additionstheoreme Sinussatz und Kosinussatz Grundaufgaben der Dreiecksberechnung Arkusfunktionen Analytische Geometrie Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Polarkoordinatensystem der Ebene Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Kartesisches Koordinatensystem des Raums Kugelkoordinatensystem des Raums Zylinderkoordinatensystem des Raums Geraden Geradengleichungen Abstände Kreise Kreisgleichungen Berechnung von Kreisen Kreis und Gerade Kugeln Kegelschnitte Ellipsen Hyperbeln Parabeln Anwendungen Graphisches Lösen von Gleichungen Vektoren Definitionen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion zweier Vektoren Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene Komponentendarstellung von Vektoren im Raum Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt 337

7 Inhaltsverzeichnis XXI 8 Differential- und Integralrechnung Folgen Grundbegriffe Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Grenzwert einer Folge Tabelle einiger Grenzwerte Divergente Folgen Reihen Definitionen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Harmonische Reihen Alternierende Reihen Grenzwerte von Funktionen Grenzwert an einer endlichen Stelle Einseitige Grenzwerte Grenzwert im Unendlichen Rechenregeln für Grenzwerte Unbestimmte Ausdrücke Stetigkeit einer Funktion Unstetigkeitsstellen Ableitung einer Funktion Definitionen Differentiationsregeln Höhere Ableitungen Ableitungen einiger algebraischer Funktionen Ableitungen einiger transzendenter Funktionen Sekanten und Tangenten Extremwerte von Funktionen Krümmungsverhalten von Funktionen Wendepunkte von Funktionen Kurvendiskussion Anwendungsbeispiele Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung Integralrechnung Unbestimmtes Integral Integrationsregeln Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen Bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 396

8 XXII Inhaltsverzeichnis Eigenschaften des bestimmten Integrals Einige Anwendungen der Integralrechnung Funktionenreihen Definitionen Potenzreihen Fourier-Reihen Kombinatorik Kombinatorische Grundprinzipien Fakultäten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck Binomischer Lehrsatz Permutationen und Variationen Kombinationen Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung Multinomialsatz Prinzip der Inklusion und Exklusion Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen Stichproben Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen 461 Symbole und Bezeichnungsweisen 465 Mathematische Konstanten 469 Das griechische Alphabet 471 Literaturverzeichnis 473 Sachverzeichnis 475