Mathematik I. Algebra für Berufsmaturitätsschulen. Hans Marthaler Benno Jakob. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für den Unterricht und für das Selbststudium

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Christina Gerber
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1 Hans Marthaler Benno Jakob Mathematik I Algebra für Berufsmaturitätsschulen Ein Lehr- und Arbeitsbuch für den Unterricht und für das Selbststudium Mit zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik 126 Abbildungen und 3337 Übungsaufgaben o Lösungen und weitere Informationen zu diesem Buch: Marthaler, Hans Mathematik digitalisiert durch: IDS Luzern

2 VI I Grundlagen und Grundoperationen 1 1. Zahlenmengen, Addition und Subtraktion Zahlen Zahlenmengen Zahlenstrahl Terme Polynome Addition und Subtraktion Aufgaben Multiplizieren Rechengesetze Der binomische Lehrsatz Faktorisieren Aufgaben Dividieren Erweitern und Kürzen von Brüchen Addieren und Subtrahieren von Brüchen Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Polynomdivision Aufgaben 45 II Rechnen mit Potenzen Potenzieren Potenzen Potenzgesetze für natürliche Exponenten Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten Exponentenschreibweise Aufgaben Radizieren Allgemeine Wurzeln Wurzelgesetze Aufgaben 81

3 VII 3. Logarithmieren Logarithmen Definitionen Basisumrechnung Logarithmengesetze Erstes Logarithmengesetz Zweites Logarithmengesetz Drittes Logarithmengesetz Aufgaben 102 III Gleichungen Lineare Gleichungen Einführung Lineare Gleichungen ohne Parameter Lineare Gleichungen mit Parametern Brachgleichungen Aufgaben Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Einführendes Beispiel Herkömmliche Lösungsverfahren Cramersche Regel Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten Herkömmliche Lösungsverfahren Cramersche Regel Aufgaben Quadratische Gleichungen Definition der quadratischen Gleichung Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen Spezielle quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung Lösungsformel für quadratische Gleichungen Anwendungen Aufgaben mit Parametern Substitutionsaufgaben Textaufgaben Aufgaben 191

4 VIII 4. Wurzelgleichungen Grundlagen Festigungsaufgaben Aufgaben Exponential- und logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Einführung Weiterführende Beispiele Logarithmische Gleichungen Aufgaben 228 IV Funktionen Lineare Funktionen Definition und Darstellung einer Funktion Definition einer Funktion Darstellung einer Funktion Lineare Funktionen Senkrechte Geraden Anwendungen von linearen Funktionen Aufgaben Quadratische Funktionen Einführung Scheitelform der quadratischen Funktion Grundform der quadratischen Funktion Anwendungen Berechnung von quadratischen Funktionsgleichungen Schnittpunkte und Tangenten Extremalaufgaben Aufgaben Polynomfunktionen und Hyperbeln Potenzfunktionen Einführung Schieben und Strecken von Potenzfunktionen Polynomfunktionen Hyperbeln Aufgaben 325

5 IX 4. Umkehrfunktionen Einführung Anwendung: Wurzelfunktionen Aufgaben Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktion Einführung Schieben und Strecken von Exponentialfunktionen Exponentielle Prozesse Logarithmusfunktion Aufgaben 384

6 Hans Marthaler Benno Jakob Katharina Schudel Unter Mitarbeit von Reto Reuter und Franziska Stähli Mathematik II Geometrie für Berufsmaturitätsschulen Ein Lehr- und Arbeitsbuch für den Unterricht und für das Selbststudium Mit zahlreichen Beispielen, Abbildungen und Übungsaufgaben Lösungen und weitere Informationen zu diesem Buch:

7 VI I Planimetrie 1 1. Winkel Einführung Definition eines Winkels Messung von Winkeln in Grad (Altgrad) Orientierte Winkel Winkelkategorien Winkel an Geraden Winkel an sich schneidenden Geraden Winkel an geschnittenen Parallelen Winkel am Dreieck Beliebige Dreiecke Spezielle Dreiecke Winkel am Kreis Bezeichnungen Kreiswinkelsätze Satz des Thaies Aufgaben 9 2. Dreiecke Das allgemeine Dreieck Besondere Punkte und Linien am Dreieck Berechnung des Flächeninhalts Dreieck und Kongruenz Satzgruppe des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck Satz von Pythagoras Höhensatz Kathetensatz Anwendungen des Satzes von Pythagoras Spezielle Dreiecke Vermischte Aufgaben Aufgaben Viereck und Vieleck Das allgemeine Viereck Messen und Berechnen von Vierecksflächen Spezielle Vierecke Viereck und Kreis 35

8 VII 3.5 Vielecke Winkelsummen Regelmässige Vielecke Aufgaben 39 Kreis und Kreisteile Kreis Bezeichnungen Kreisumfang Kreisfläche Kreisteile Kreisring Kreisbogen und Kreissektor Kreissegment Aufgaben 52 Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Figuren Ähnlichkeitsabbildungen Ähnliche Figuren Ähnliche Dreiecke Ähnlichkeit am rechtwinkligen Dreieck Teilung von Strecken Teilung einer Strecke Goldener Schnitt Aufgaben 68 II Trigonometrie Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DasBogenmass Bekannte Voraussetzungen aus der Planimetrie Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Definition der Arcusfunktionen Ausgewählte Anwendungen Aufgaben Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck Trigonometrische Funktionen und Einheitskreis Winkel und Einheitskreis Sinus und Cosinus Tangens Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Eigenschaften der Trigonometrischen Funktionen 98

9 VIII 2.2 Sinussatz Cosinussatz Flächensatz Berechnungen am Kreis Kreissektor (auch Kreisausschnitt) Kreissegment (auch Kreisabschnitt) Aufgaben Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen Herleitung der Graphen Eigenschaften der Graphen Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion Kongruenz zwischen Sinus und Cosinus Der Graph der Tangensfunktion Transformationen der Sinusfunktion Allgemeine Sinusfunktion Harmonische Schwingungen Aufgaben Goniometrie Grundlagen Additionstheoreme Das Additionstheorem für den Cosinus Das Additionstheorem für den Sinus Additionstheoreme für Sinus, Cosinus und Tangens Winkelfunktion für doppelte Winkel Summen und Differenzen der Funktionen zweier Winkel Goniometrische Gleichungen Aufgaben 148 III Stereometrie Grundlagen Darstellungsarten von Körpern Schiefe Parallelprojektion Netz oder Abwicklung eines Körpers Punkt, Gerade und Ebene Punktmengen im Raum Lage von Punktmengen Winkel im Raum Grundlagen der Körperberechnungen Oberfläche und Volumen Satz von Cavalieri Aufgaben 158

10 IX 2. Prisma und Zylinder Prisma Quader Würfel Allgemeines Prisma Zylinder Schrägbild und Netz des geraden Kreiszylinders Zylindervolumen und Zylinderoberfläche Aufgaben Spitze Körper Pyramide Definition und Bezeichnungen Herleitung der Volumenformel Schiefe Pyramide Tetraeder Kegel Definition und Bezeichnungen Herleitung der Volumenformel Herleitung der Oberflächenformel Aufgaben Stumpfe Körper Pyramidenstumpf Definition und Begriffe Volumen und Oberflächeninhalt Kegelstumpf Definition und Begriffe Berechnung des Volumens Berechnung der Oberflächeninhalte Aufgaben Kugel und Kugelteile Kugel Berechnung des Kugelvolumens Berechnung der Kugeloberfläche Kugelsegment und Kugelkappe Kugelsektor Kugelschicht und Kugelzone Aufgaben 212

11 X IV Vektorgeometrie Vektorbegriff und Vektoroperationen Zum Vektorbegriff Vektorielle und skalare Grössen Vektoren und Translation Vektoroperationen Multiplikation mit einem Skalar Addition und Subtraktion Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit Linearkombinationen Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Zerlegung von Vektoren Aufgaben Vektoren in Komponentenform Koordinatensysteme Zahlengerade Ebenes kartesisches Koordinatensystem Räumliches kartesisches Koordinatensystem Vektoren als Listen von Zahlen Komponentenschreibweise: Vektoren in der Ebene Verschiebungsvektor Ortsvektor Komponentenschreibweise: Vektoren im Raum Verschiebungsvektor Ortsvektor Gleichheit von Vektoren in Komponentenschreibweise Vektoroperationen in Komponentenschreibweise Multiplikation mit einem Skalar Spezielle Vektoren Vektoraddition und Vektorsubtraktion Rechengesetze Basis und Dimension Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit in Komponentenform Basis und Dimension eines Vektorraums Standardbasis Einheitsvektoren als Standardbasis Komponentenform von Vektoren und Standardbasis Aufgaben 248

12 XI 3. Streckenlängen und Teilpunkte Betrag eines Vektors Einheitsvektoren Basiseinheitsvektoren des Koordinatensystems Einheitsvektoren in Richtung eines beliebigen Vektors Vektor zwischen zwei Punkten Abstand zwischen zwei Punkten Teilpunkt einer Strecke Aufgaben Skalarprodukt Skalarprodukt in Komponentenform Skalarprodukt in geometrischer Form Betrag und Skalarprodukt Rechenregeln für das Skalarprodukt Orthogonalität zweier Vektoren Skalarprodukt und Einheitsvektoren Winkel zwischen Vektoren und Koordinatenachsen Anwendungen des Skalarprodukts Normalprojektion eines Vektors Flächeninhalt eines Parallelogramms Weitere Anwendungen Aufgaben 284 Register 291

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Inhaltsverzeichnis. I Planimetrie. Inhaltsverzeichnis I Planimetrie. Winkel 1.1 Einführung 1.1.1 Definition eines Winkels 1 1.1.2 Messung von Winkeln in Grad (Altgrad) 1 1.1.3 Orientierte Winkel 2 1.1.4 Winkelkategorien 2 1.2 Winkel an