Inhaltsverzeichnis. Hinweise zur Benutzung des Buches 1

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1 Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung des Buches 1 1 Zur Technik des Zahlenrechnens Der Zahlbegriff Die natürlichen Zahlen Das dekadische Positionssystem Das duale Positionssystem Das römische Zahlensystem Konstante und Variable Das Rechnen mit Zahlen Bezeichnungen Die Teilbarkeit von Zahlen Teiler einer Zahl Teilbarkeitsregeln Primzahlen Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache Gewöhnliche Brüche Begriffserklärungen Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen Der Kehrwert eines Bruches Division von Brüchen Doppelbrüche Zusammenfassung Bruchrechnung Dezimalbrüche Begriffserklärungen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen Division von Dezimalbrüchen Umwandlung von Brüchen Das Runden von Dezimalbrüchen Bruch oder Dezimalzahl? Größenvergleich von Brüchen Rechenhilfsmittel 72 1 Taschenrechner 72.1 Grundrechenarten 73.2 Eingeben, Editieren, Löschen 75.3 Werte abspeichern 77.4 Tenne berechnen 79.5 Funktionentasten 83.6 Verschiedene Arbeitsmodi 86.7 Kaufkriterien für einen Taschenrechner 87 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 x Inhaltsverzeichnis 2 Tabellenkalkulation 2.1 Kurze Einführung in Excel Mathematik mit Excel 89 3 Computeralgebrasystem Anwendungen für Derive 90 4 Funktionenplotter 91 2 Arithmetik Die Rolle der Sprache in der Mathematik Allgemeine Bemerkungen Aussagen und Aussageformen Verknüpfung von Aussagen Einführendes Beispiel Die Konjunktion Die Disjunktion Die Implikation Die Äquivalenz Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Zahlenmengen Die Beschreibung von Mengen Mengenschreibweise Intervallschreibweise Mengenrelationen Teilmengen Gleichheit zweier Mengen Mengenoperationen Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Differenz zweier Mengen Das Rechnen mit Variablen Die vier Grundrechenoperationen Einfache Rechenoperationen mit Variablen Die negativen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Das Rechnen mit algebraischen Summen Über die Bedeutung der Klammern Setzen und Auflösen additiver und subtraktiver Klammern Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern gemeinsamer Faktoren Binomische Formeln Die Quadratische Ergänzung Bruchrechnung Erweitem und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Doppelbriiche

3 Inhaltsverzeichnis xiii 2.4 Potenzrechnung Begriffserklärungen Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren einer Potenz Klammergesetze Erste Erweiterung des Potenzbegriffs Potenzen von Binomen Polynomdivision Ausklammern für Fortgeschrittene Anwendungen der Potenzen Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen Schreibweise von Maßeinheiten Übersicht der Potenzgesetze Wurzelrechnung Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens Der Wurzelbegriff Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen Die Berechnung von Wurzelwerten Die reellen Zahlen Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs Wurzelgesetze Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Teilradizieren Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Rationalmachen des Nenners Radizieren von Potenzen und Wurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze Logarithmenrechnung Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens Der Logarithmusbegriff Logarithmengesetze Spezielle Logarithmensysteme Die dekadischen Logarithmen Die natürlichen Logarithmen Die dualen Logarithmen Weitere Logarithmensysteme Zusammenfassung Algebra Lineare Gleichungen und Ungleichungen Vorbemerkungen und Begriffserklärungen Definitionsbereich Gleichungen Ungleichungen 269

4 xiv Inhaltsverzeichnis Umformung von Gleichungen Äquivalente Umformung von Gleichungen Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen Elektronische Hilfsmittel beim Lösen von Gleichungen Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen Begriffserklärungen Einfache lineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen Gleichungen mit Parametern Gleichungen mit Klammerausdrücken Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich Das Umstellen von Formeln Anwendungen Schlussbemerkungen Das Rechnen mit Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Proportionen Begriffserklärungen Rechengesetze für Proportionen Fortlaufende Proportionen Direkte Proportionalität Indirekte Proportionalität Proportionen als Gleichungen Prozentrechnung Grundbegriffe Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes Verminderter oder vermehrter Grundwert Promillerechnung Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen Das Einsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Schwierigere Gleichungssysteme LGS mit drei und mehr Variablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für LGS mit drei und mehr Variablen LGS mit elektronischen Hilfsmitteln lösen Taschenrechner CAS 363

5 Inhaltsverzeichnis xv 3.5 Quadratische Gleichungen Begriffserklärungen Spezielle Formen der quadratischen Gleichung Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied Die Normalform der quadratischen Gleichung Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung Die Diskriminante Der Wurzelsatz von VIETA Die Produktform quadratischer Terme - Faktorisieren für Profis Quadratische oder höhere Ungleichungen Wurzelgleichungen, Teil Quadratische Gleichungssysteme Biquadratische Gleichungen Polynomgleichungen Gleichungen ohne Absolutglied Kubische Gleichungen Kubische Gleichungen mit Absolutglied Methode des gezielten Ratens Der Einfluss des Leitkoeffizienten Höhere Polynomgleichungen Übersicht Funktionen Begriffsbestimmungen Der Begriff der Abbildung Der Begriff der Funktion Arten der Darstellung von Funktionen Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle Darstellung einer Funktion durch Zuordnungsgraphen Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der Zuordnungsvorschrift Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen Darstellung einer Funktion durch eine Kurve Das rechtwinklige Koordinatensystem Darstellung von Funktionen in Form von Graphen Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als Kurven gegeben sind Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und der zugehörigen Kurve Schnittpunkt zweier Kurven Wichtige Eigenschaften von Funktionen Monotonie Stetigkeit Gerade Funktionen 449

6 xvi Inhaltsverzeichnis Ungerade Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen Lineare Funktionen Vorbemerkungen Begriffserklärungen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx + b Grafische Darstellung der linearen Funktion Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Funktionen Begriffserklärungen Die quadratische Funktion y = x Die quadratische Funktion y = x 2 + q Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q Die allgemeine quadratische Funktion y = ax 2 + bx + e Modellieren quadratischer Funktionen Parabel und Gerade Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Potenzfunktionen y = x" mit ganzzahligem positivem Exponenten Die Potenzfunktion y = x y = x~" mit ganzzahligem negativem Exponenten y = X a mit gebrochenem Wert des Exponenten a Wichtige transzendente Funktionen Die Exponentialfunktionen Die logarithmischen Funktionen Planimetrie Grundbegriffe der Geometrie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln Parallele Geraden Schnitt zweier Geraden Winkel an Parallelen Symmetrie Axiale Symmetrie Zentrale Symmetrie Geometrische Grundkonstruktionen Punktmengen Das Dreieck Allgemeines Dreieck Spezielle Dreiecke Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte Das Viereck Allgemeines Viereck Spezielle Vierecke Das Vieleck Unregelmäßiges Vieleck Regelmäßige Vielecke 517

7 Inhaltsverzeichnis xvii 5.7 Kongruenz Was ist Kongruenz? Kongruenz von Dreiecken Ähnlichkeit Ähnlichkeit im Allgemeinen Ähnlichkeit von Dreiecken Strahlensätze Das rechtwinklige Dreieck Strecken und Winkel am Kreis Kreis und Gerade Winkel am Kreis Ähnlichkeit am Kreis Der Goldene Schnitt Berechnung von Flächen und Umfangen Vierecke Dreiecke Unregelmäßige Vielecke Regelmäßige Vielecke Kreis und Kreisteile Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Flächen Goniometrie Das Bogenmaß Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Kurvenbilder der Winkelfunktionen Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen Die Umkehrung der Winkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrie Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Sätze über beliebige Dreiecke Der Sinussatz Die Flächenformel für Dreiecke Der Kosinussatz Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Stereometrie Einteilung der Körper Ebenflächner Krummflächner Darstellung von Körpern Mehrtafelprojektion Axonometrische Projektion Isometrische Projektion Dimettisene Projektion 637

8 xviji Inhaltsverzeichnis 7.3 Körperberechnung Berechnungsgrundlagen Ebenflächner Quader und Würfel Gerades Prisma Satz des CAVALIERI Pyramide Pyramidenstumpf Krummflächner Kreiszylinder Kegel Kegelstumpf Kugel und Kugelteile Die GULDiN'schen Regeln 694 Anhang - Mathematische Zeichen 703 Anhang-Mathematische Begriffe 709 Lösungen 741 Sachwortverzeichnis 837

9 Aufgabenverzeichnis Die Aufgaben zu den aufgelisteten Abschnitten finden sich jeweils gesammelt auf den angegebenen Seiten. 1 Zur Technik des Zahlenrechnens Das duale Positionssystem Das römische Zahlensystem Teilbarkeit von Zahlen Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache Gewöhnliche Brüche Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen Der Kehrwert eines Bruches Division von Brüchen Doppelbrüche Zusammenfassung Bruchrechnung Dezimalbrüche Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen Division von Dezimalbrüchen Umwandlung von Brüchen Das Runden von Dezimalbrüchen Bruch oder Dezimalzahl? Größenvergleicri von Brüchen 71 1 Taschenrechner 91 2 Tabellenkalkulation 93 3 Computeralgebrasystem 93 2 Arithmetik Verknüpfung von Aussagen Mengen Einfache Rechenoperationen mit Variablen Die negativen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Setzen und Auflösen additiver und subtraktiver Klammern Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern gemeinsamer Faktoren Binomische Formeln Quadratische Ergänzung Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Doppelbrüche 177

10 xx Aufgabenverzeichnis 2.4 Potenzrechnung Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren einer Potenz Klammergesetze Erste Erweiterung des Potenzbegriffs Potenzen von Binomen Polynomdivision Ausklammern für Fortgeschrittene Der Wurzelbegriff Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen Die Berechnung von Wurzelwerten Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Teilradizieren Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Rationalmachen des Nenners Radizieren von Potenzen und Wurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten Logarithmenrechnung Logarithmengesetze Spezielle Logarithmensysteme Algebra Einfache lineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen Gleichungen mit Parametern Gleichungen mit Klammerausdrücken Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Das Umstellen von Formeln Anwendungen Das Rechnen mit Ungleichungen Proportionen Prozentrechnung Zinsrechnung er-LGS er-LGS Quadratische Gleichungen Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Lösungen der allgemeinen Form Die Diskriminante Wurzelsatz von VIETA Produktform quadratischer Terme Quadratische oder höhere Ungleichungen 403

11 Aufgabenverzeichnis xxi Wurzelgleichungen, Teil Quadratische Gleichungssysteme Biquadratische Gleichungen 405 Gemischte Aufgaben zu den quadratischen Gleichungen Polynomgleichungen Funktionen Arten der Darstellung von Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen Lineare Funktionen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx + b Grafische Darstellung der linearen Funktion Grafische Lösungen Quadratische Funktionen Modellieren quadratischer Funktionen Parabel und Gerade Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Potenzfunktionen Wichtige transzendente Funktionen Planimetrie Symmetrie Das Dreieck Das Vieleck Ähnlichkeit Strahlensätze Das rechtwinklige Dreieck Strecken und Winkel am Kreis Vierecke Dreiecke Regelmäßige Vielecke Kreis und Kreisteile Goniometrie Das Bogenmaß Definition der Winkelfunktionen Die Umkehrung der Winkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Stereometrie Quader und Würfel Gerades Prisma Satz des CAVALIERI Pyramide Pyramidenstumpf 656

12 xxii Aufgabenverzeichnis Gerader Voll- und Hohlzylinder Schiefer Voll- und Hohlzylinder Kegel Kegelstumpf Kugel- und Kugelteile Die GULDlN'schen Regeln 700