Oberstufenmathematik leicht gemacht

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1 Peter Dörsam Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 1: Differential- und Integralrechnung 5. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben PD-Verlag Heidenau

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 9 2 Folgen und Reihen Grundlagen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Grenzwerte von Folgen 18 3 Funktionen Begriff der Funktion Graphen von Funktionen Geraden (lineare Funktionen) Parabeln zweiten Grades Parabeln n-ter Ordnung /Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Wurzelfunktionen Umkehrfunktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Exponentialfunktion Darstellung des Taschenrechners für sehr große und sehr kleine Zahlen Rechenregeln für Exponenten Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion Rechenregeln für Logarithmen Trigonometrische Funktionen Die Sinusfunktion Winkelmaße - Bogenmaß(rad) und Gradmaß(deg) Cosinus und Tangens Trigonometrische Umkehrfunktionen 49

3 4 Grenzwerte von Funktionen Grenzwerte für x gegen unendlich Grenzwerte gegen eine reelle Zahl Übungsaufgaben 56 5 Steigung von Funktionen Grundlagen Steigung einer Geraden Steigung von Sekante und Tangente Bestimmung der Steigung einer Funktion Ableitungen verschiedener Funktionen Ableitung für Potenzen von x Ableitungen mit Faktoren Ableitungen für Trigonometrische Funktionen Ableitungen von Exponentialfunktionen Ableitung von Umkehrfunktionen Ableitungen von verknüpften Funktionen Ableitungen von Summen und Differenzen Kettenregel Produktregel Quotientenregel Ableitungsübersicht Ableitungsübungen Tangente und Normale Konkave und konvexe Funktionen Newton-Verfahren Grundlagen Berechnung von Nullstellen Konvergenz des Newton-Verfahrens Mittelwertsatz Regel von de 1' Hospital zur Bestimmung von Grenzwerten Grundlagen Schema zur Regel von de 1'Hospital Übungsaufgaben 103

4 6 Kurvendiskussion Einführung Monotonie Stetige und unstetige Funktionen Symmetrie von Funktionen Nullstellen von Funktionen Bestimmung von Hoch-, Tief-und Sattelpunkten Notwendige Bedingung Hinreichende Bedingung für Hoch-und Tiefpunkte Beispiel zur Berechnung von Hoch-und Tiefpunkten Sattelpunkte Schema zur Bestimmung von Extremwerten Randextrema und absolute Extrema Wendepunkte Grundlagen Beispielaufgabe zu Wendepunkten Schema zur Bestimmung von Wendepunkten Weitere Zusammenhänge Wertemengen von Funktionen Kurvendiskussion für eine ganzrationale Funktion Definitionsbereich Symmetrie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Extremwerte Wendepunkte Zeichnung Wertemenge Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen Beispielaufgabe Zusammenfassung der Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen Besonderheiten bei streng monotonen Funktionen Schema zur Kurvendiskussion Weitere Aufgaben zur Kurvendiskussion 160

5 7 Weitere Aufgabentypen zur Differentialrechnung Bestimmung von Funktionsgleichungen Einführung Schema zur Bestimmung von Funktionsgleichungen Übungsaufgaben Extremwerte mit Nebenbedingungen Einführung Schema für Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Übungsaufgaben Schnittpunkte von Funktionen Integralrechnung Grundlagen Berechnung von Integralen Bestimmtes Integral Flächenberechnung Bestimmung von einfachen Integralen Einfache Stammfunktionen Integrale von Funktionen, die addiert oder mit Konstanten multipliziert werden Einfache verkettete Funktionen Komplexere Integrationsmethoden Substitutionsregel Grundlagen Substitution als Umkehrung der Kettenregel Substitution zur Umformung des Integrals Substitution bei bestimmten Integralen Schema zur Integration mittels Substitution Partielle Integration Partialbruchzerlegung Grundlagen Weitere Zusammenhänge Schema zur Partialbruchzerlegung Tabelle wichtiger Stammfunktionen Integralfunktionen Uneigentliche Integrale 229

6 8.10 Berechnung von Summen mittels Integralen 8.11 Rotationskörper 8.12 Übungsaufgaben 9 Anhang Lösungen von Gleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung pq-formel Weitere Zusammenhänge Homogene Gleichungen höherer Ordnung Inhomogene Gleichungen höherer Ordnung Gleichungen mit Quotienten Komplexere Gleichungen Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Nichtlineare Gleichungssysteme Ungleichungen Bruchrechnen Grundlegende Rechenregeln Wurzeln und Potenzen Multiplizieren von Klammern Typische Fehler Formern Bruchrechnen Rechnen mit Exponenten Logarithmen Trigonometrische Funktionen Wichtige Identitäten Ableitungsübersicht Ableitungsregeln Integrationsregeln Tabelle wichtiger Stammfunktionen Mathematische Zeichen Griechisches Alphabet Stichwortverzeichnis