(Hoch)Schulmathematik

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1 Tobias Glosauer (Hoch)Schulmathematik Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni ~ Springer Spektrum

2 Inhalt Formales Fundament Ein wenig Logik. Aussagenlogik.... Aussagen...2 Junktoren.. "nicht"....4 und"....5 (entweder) oder"...6 wenn..., dann... "..... genau dann, wenn... "..8 Aussagenlogische Formeln..9 Aussagenlogische Äquivalenz. Ausblick auf die Prädikatenlogik..2. Prädikate und Individuen.2.2 Der Allquantor Der Existenzquantor... Beweismethoden Exkurs: Grundwissen über Zahlen Direkter Beweis.... Indirekter Beweis Kontraposition Widerspruchsbeweis Beweis durch vollständige Induktion. Mengen und Abbildungen Mengen Der Mengenbegriff....2 Teilmengen und Mengenoperationen Abbildungen Der Abbildungsbegriff Bild- und Urbildmenge...2. In-, Sur- und Bijektivität..2.4 Verkettung und Umkehrabbildung..2.5 Mächtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen

3 viii INHALT II Anfänge der Analysis 4 Grenzwerte von Folgen und Reihen 4. Folgen Der Grenzwertbegriff Die Grenzwertsätze Exkurs: Die Vollständigkeit von lr Ausblick: Cauchyfolgen Monotone Folgen 4..6 Rekursive Folgen Reihen l Reihen als spezielle Folgen Die geometrische Reihe Die eulersche Zahl Konvergenzkriterien für Reihen Ausblick: Potenzreihen Ausblick: e-funktion und natürlicher Logarithmus 5 Grundwissen Differenzialrechnung 5. Die Ableitung Die Steigung einer Kurve Der Grenzwert der Sekantensteigungen 5.. Die Tangentengleichung 5..4 Lineare Approximation Differenzierbarkeit Ableitungsregeln Faktor- und Summenregel Die Potenzregel Die Ableitung von Sinus und Cosinus Die Produktregel Die Kettenregel Ableitung der Umkehrfunktion 5.2. Die Quotientenregel Vermischte Übungen Ausblick: Ableiten von Potenzreihen. 5.4 Ausblick: Taylorreihen Grundwissen Integralrechnung 6. Stammfunktionen Das bestimmte Integral Die Streifenmethode Das Darboux-Integral Das Riemann-Integral Integral und Fläche.. 6. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 6.4 Uneigentliche Integrale

4 INHALT ix III Rechenfertigkeiten Lösen von (Un)Gleichungen..... Polynom(un)gleichungen Lineare und quadratische Gleichungen..2 Gleichungen höheren Grades... Polynomungleichungen.2 Bruch(un)gleichungen Bruchgleichungen Bruchungleichungen.. Wurzel(un)gleichungen..... Wurzelgleichungen..2 Wurzelungleichungen.4 Betrags(un)gleichungen Betragsgleichungen und Betragsfunktionen..4.2 Betragsungleichungen...5 Exponential(un)gleichungen Exponentialgleichungen Exponentialungleichungen 8 Die Kunst des Integrierens. 8. Produktintegration Integration durch Substitution Die Substitutionsregel Trigonometrische Substitution Hyperbolische Substitution Integration durch Partialbruchzerlegung 8.4 Vermischte Übungen IV Abstrakte Algebra 9 Komplexe Zahlen Überblick über die bekannten Zahlbereiche 9.2 Einführung der komplexen Zahlen C Konstruktion von C Rechnen mit komplexen Zahlen Komplexe Konjugation und Betrag 9. Der Körper der komplexen Zahlen Was ist ein Körper? Unmöglichkeit der Anordnung von C 9.. Ausblick: Der Quaternionenschietkörper 9.4 Polarform komplexer Zahlen 9.4. Polarkoordinaten Eulers Identität Multiplikation in Polarform

5 X INHALT Komplexe Quadratwurzeln Exkurs: Beweis trigonometrischer Identitäten 9.5 Algebraische Gleichungen in C Quadratische Gleichungen Die Kreisteilungsgleichung Ausblick: Der Fundamentalsatz der Algebra 0 Grundzüge der Linearen Algebra Vektorräume Zwei nur auf den ersten Blick verschiedene Beispiele 0..2 Die Vektorraumaxiome Beispiele für Vektorräume 0..4 Untervektorräume Basis und Dimension Lineare Abbildungen Definition und Beispiele linearer Abbildungen Kern und Bild einer linearen Abbildung 0.2. Isomorphie Matrizen Die Matrix einer linearen Abbildung 0..2 Das Matrixprodukt Ausblick: LGS und Determinanten Homogene LGS Die Determinante Inhomogene LGS V Anhang Lösungen zu den Übungsaufgaben. Lösungen zu Kapitel.2 Lösungen zu Kapitel 2. Lösungen zu Kapitel.4 Lösungen zu Kapitel 4.5 Lösungen zu Kapitel 5.6 Lösungen zu Kapitel 6. Lösungen zu Kapitel.8 Lösungen zu Kapitel 8.9 Lösungen zu Kapitel 9.0 Lösungen zu Kapitel