Mathematik für. Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsaeter Peter Hammond mit Arne Strom Übersetzt und fach lektoriert durch Dr. Fred Böker Professor für Statistik und Ökonometrie an der Georg-August-Universität Göttingen LWAYS LEARNING PEARSON

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur 4. deutschen Auflage 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Die reellen Zahlen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Regeln der Algebra Brüche Potenzen mit gebrochenen Exponenten Ungleichungen Intervalle und Absolutbeträge 50 Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen Gleichungen mit Parametern Quadratische Gleichungen Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten Nichtlineare Gleichungen 72 Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes Summennotation Regeln für Summen, Newtons Binomische Formeln Doppelsummen Einige Aspekte der Logik Mathematische Beweise Wesentliches aus der Mengenlehre Mathematische Induktion 104

3 Kapitel 4 Funktionen einer Variablen Einführung Grundlegende Definitionen Graphen von Funktionen Lineare Funktionen Lineare Modelle Quadratische Funktionen Polynome Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen 154 Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen Verschiebung von Graphen Verknüpfungen von Funktionen Inverse Funktionen Graphen von Gleichungen Abstand in der Ebene. Kreise Allgemeine Funktionen 188 Kapitel 6 Differentialrechnung Steigungen von Kurven Ableitung, Tangenten Monoton wachsende und fallende Funktionen Änderungsraten Exkurs über Grenzwerte Einfache Regeln der Differentiation Summen, Produkte und Quotienten Kettenregel Ableitungen höherer Ordnung Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen 243

4 Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung Implizites Differenzieren Ökonomische Beispiele Ableitung der Inversen Lineare Approximationen Polynomiale Approximationen Taylor-Formel Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen Stetigkeit Mehr über Grenzwerte Zwischenwertsatz. Newton-Verfahren Unendliche Folgen Unbestimmte Formen und Regeln von L'Höspital 304 Kapitel 8 Univariate Optimierung Einführung Einfache Tests auf Extrempunkte Ökonomische Beispiele Der Extremwertsatz Weitere ökonomische Beispiele Lokale Extrempunkte Wendepunkte 343 Kapitel 9 Integralrechnung Unbestimmte Integrale Flächen und bestimmte Integrale Eigenschaften bestimmter Integrale Ökonomische Anwendungen Partielle Integration Integration durch Substitution Integration über unendliche Intervalle Ein flüchtiger Blick auf Differentialgleichungen Separierbare und lineare Differentialgleichungen 398

5 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik Zinsperioden und effektive Raten Stetige Verzinsung Barwert Geometrische Reihen Gesamtbarwert Hypothekenrückzahlungen Interne Ertragsrate Ein flüchtiger Blick auf Differenzengleichungen 435 Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen Funktionen von zwei Variablen Partielle Ableitungen bei zwei Variablen Geometrische Darstellung Flächen und Abstand Funktionen von mehreren Variablen Partielle Ableitungen bei mehreren Variablen Ökonomische Anwendungen Partielle Elastizitäten 476 Kapitel 12 Handwerkszeug für komparativ statische Analysen Eine einfache Kettenregel Kettenregel für n Variablen Implizites Differenzieren entlang einer Höhenlinie Allgemeinere Fälle Substitutionselastizität Homogene Funktionen von zwei Variablen Homogene und homothetische Funktionen Lineare Approximationen Differentiale Gleichungssysteme Differenzieren von Gleichungssystemen 525

6 Kapitel 13 Multivariate Optimierung Zwei Variablen: Notwendige Bedingungen Zwei Variablen: Hinreichende Bedingungen Lokale Extrempunkte Lineare Modelle mit quadratischer Zielfunktion Der Extremwertsatz Drei oder mehr Variablen Komparative Statik und das Envelope-Theorem 570 Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren Interpretation des Lagrange-Multiplikators Mehrere Lösungskandidaten Warum die Methode der Lagrange-Multiplikatoren funktioniert Hinreichende Bedingungen Zusätzliche Variablen und zusätzliche Nebenbedingungen Komparative Statik Nichtlineare Programmierung: Ein einfacher Fall Mehrere Nebenbedingungen in Ungleichheitsform Nichtnegativitätsbedingungen 624 Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra Systeme linearer Gleichungen Matrizen und Matrizenoperationen Matrizenmultiplikation Regeln für die Matrizenmultiplikation Die transponierte Matrix Gauß'sche Elimination Vektoren Geometrische Interpretation von Vektoren Geraden und Ebenen 669

7 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen Determinanten der Ordnung Determinanten der Ordnung Determinanten der Ordnung rt Grundlegende Regeln für Determinanten Entwicklung nach Co-Faktoren Die Inverse einer Matrix Eine allgemeine Formel für die Inverse Cramer'sche Regel Das Leontief-Modell 712 Kapitel 17 Lineare Programmierung Ein grafischer Ansatz Einführung in die Dualitätstheorie Das Dualitätstheorem Eine allgemeine ökonomische Interpretation Komplementärer Schlupf Die Simplexmethode, erklärt an einem einfachen Beispiel Mehr über die Simplexmethode Die Simplexmethode im allgemeinen Fall Dualität mit Hilfe der Simplexmethode Sensitivitätsanalyse 760 Anhang 769 A.l Geometrie 770 A.2 Das Griechische Alphabet 772 Lösungen und Antworten zu den Aufgaben 773 Register 909