Inhaltsverzeichnis. Zeichenerklärung

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1 Inhaltsverzeichnis Zeichenerklärung XIII 1 Grundlagen Instrumente der Elementarmathematik Zahlbereiche. Zahlendarstellung Rechnen mit Zahlen Bruchrechnung Potenzrechnung Binomische Formeln. Partialdivision Wurzelrechnung Logarithmenrechnung Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen Koordinatensysteme Winkelbeziehungen Komplexe Zahlen Darstellung von Funktionen einer Variablen Formen der Darstellung Operationen mit Funktionen Wichtige spezielle Funktionen Ergänzende Fragen Intervalle Auflösung von Ungleichungen Absolute Beträge Analytische Geometrie Geradengleichungen in der Ebene Geraden und Ebenen im Raum Grafische Darstellung von Ungleichungssystemen Zahlenfolgen und Zahlenreihen Grundbegriffe Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen 64 VII

2 VIII Inhaltsverzeichnis Grenzwerte von Zahlenfolgen Konvergenz von Reihen 69 2 Logik und Mengenlehre Aussagenlogik Aussagen Aussagenverbindungen Quantoren Einfache Schlussweisen Mengenlehre Grundbegriffe Mengenrelationen Mengenoperationen Abbildungen und Funktionen 84 3 Finanzmathematik Zins-und Zinseszinsrechnung Einfache Verzinsung " Zinseszinsrechnung Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung Methoden der mehrperiodigen Investitionsrechnung Gemischte Verzinsung Unteijährige Verzinsung Rentenrechnung Grundbegriffe der Rentenrechnung Vorschüssige Renten Nachschüssige Renten Grundaufgaben der Rentenrechnung Ewige Rente Tilgungsrechnung Grundbegriffe. Formen der Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung Tilgungspläne Renditeberechnung Effektivzinssatz gemäß Preisangabenverordnung Vermischte Aufgaben der Renditeberechnung Lineare Algebra Matrizen. Vektoren. Vektorräume Begriff der Matrix Spezielle Matrizen 125

3 Inhaltsverzeichnis IX Matrizenrelationen Operationen mit Matrizen Lineare Vektorräume Matrizenmultiplikation Skalarprodukt Produkt von Matrizen Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Anwendungen der Matrizenmultiplikation Lineare Gleichungssysteme (LGS) Begriff des linearen Gleichungssystems Darstellungsformen von LGS Begriff der Lösimg eines LGS Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix Elementare Umformungen eines LGS Gauß'scher Algorithmus Anwendung elementarer Umformungen Ablaufplan des Gauß'schen Algorithmus Lösungsdarstellung Numerische Aspekte Zusammenfassende Bemerkungen Lineare Unabhängigkeit Linearkombination Begriff der linearen Unabhängigkeit Basis und Rang Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme Matrizeninversion Definition der inversen Matrix Anwendungen der Matrizeninversion Determinanten Definition der Determinante Eigenschaften von Determinanten Anwendungen der Determinantenrechnung Definitheit von Matrizen Die Cramer'sche Regel Zusammenfassende Bemerkungen Lineare Optimierung Gegenstand der linearen Optimierung Betrachtung einer Modellsituation Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff 200

4 X Inhaltsverzeichnis 5.2 Modellierung und grafische Lösung von LOA Modellierung typischer Problemstellungen Mischungsproblem Grafische Lösung von LOA Theorie der linearen Optimierung Überführung in die Gleichungsform Basislösungen und Eckpunkte Eigenschaften von LOA Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform Grundidee Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen Ablaufplan des Simplexalgorithmus Beispiele. Rechenkontrollen Sonderfälle Zwei-Phasen-Methode Grundidee Mögliche Fälle Beispiele Dualität in der linearen Optimierung Konstruktion der dualen Aufgabe Dualitätsbeziehungen ökonomische Interpretation der Dualvariablen Nicht behandelte Fragen Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Die Ableitung einer Funktion Das Tangentenproblem Differenzial Differenziationsregeln Höhere Ableitungen Taylor-Entwicklung einer Funktion Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen Monotonie und Beschränktheit Extremwerte Wendepunkte. Krümmungsverhalten Kurvendiskussion 299

5 Inhaltsverzeichnis XI Beispiele zur Kurvendiskussion Anwendungen in der Marginalanalyse Numerische Methoden der Nullstellenberechnung Intervallhalbierung Sekantenverfahren. Regula Falsi Newton-Verfahren Funktionen mehrerer Veränderlicher Begriff und Beispiele Funktionsbegriff Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher Grenzwert und Stetigkeit Differenziation von Funktionen mehrerer Veränderlicher Begriff der Differenzierbarkeit Partielle Ableitungen und Elastizitäten Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hesse-Matrix Vollständiges Differenzial Implizite Funktionen Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher Extremwerte ohne Nebenbedingungen Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen Beispiele Extremwerte unter Nebenbedingungen Allgemeine Aufgabenformulierung Die Eliminationsmethode Die Lagrange-Methode Interpretation der Lagrange'schen Multiplikatoren Methode der kleinsten Quadratsumme Problemstellung. Lineare Regression Allgemeinere Ansatzfunktionen Integralrechnung Das unbestimmte Integral Integration von Funktionen einer Veränderlichen Integrationsregeln Das bestimmte Integral Integralbegriff für Funktionen einer Variablen Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale Numerische Integration 396

6 XII Inhaltsverzeichnis Uneigentliche Integrale Doppelintegral Anwendungen der Integralrechnung Untersuchung von Wachstumsprozessen Kurzer Ausblick auf DifFerenzialgleichungen Lösungen zu den Aufgaben Lösungen zu Kapitel 1: Grundlagen Lösungen zu Kapitel 2: Logik und Mengenlehre Lösungen zu Kapitel 3: Finanzmathematik Lösungen zu Kapitel 4: Lineare Algebra Lösungen zu Kapitel 5: Lineare Optimierung Lösungen zu Kapitel 6: Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Lösungen zu Kapitel 7: Funktionen mehrerer Veränderlicher Lösungen zu Kapitel 8: Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher Lösungen zu Kapitel 9: Integralrechnung Klausurbeispiel Klausuraufgaben Klausurlösungen 443 Sachverzeichnis 449