Finite Differenzen und Elemente

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1 Dietrich Marsal Finite Differenzen und Elemente Numerische Lösung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen Mit 64 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo 1989

2 Inhaltsverzeichnis Finite Differenzen 0 Allgemeine Grundlagen 0.1 Zur Schreibweise Synonyma des Wortes "Definitionsbereich" Nebenbedingungen Zur Klassifizierung partieller Differentialgleichungen Iteration Matrizen und Gauß-Elimination Gestaffelte Systeme, Dreiecksmatrizen, LR-Zerlegung 9 1 Grundlagen der Differenzenmethode 1.1 Prinzip und einfachste Formeln Die Formel von Taylor Approximation der ersten Ableitung Approximation der zweiten Ableitung Explizite und implizite Systeme Stabile und instabile Systeme Stabilität im Sinne John von Neumanns Elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen Gitter und Randbedingungen 23

3 IX 1.10 Unregelmäßige Gitter. Mehrgitterverfahren Lokale Netzverfeinerung Höhere Ableitungen auf quadratischen Gittern Differenzenformeln hoher Genauigkeit Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Eichung/history matching. Stream weighting Numerische Dispersion Numerische Dispersion Neun-Punkte Formeln für den Laplace Operator Herleitung der Neun-Punkte Formel D(p,u) Praktische Fragen Fehlernormen Diskretisierung der selbstadjungierten Form (Ku x ) x Das Liebmannsche Mittelungsverfahren: Ein elementares klassisches Beispiel der Differenzenmethode Literatur 46 2 Parabolische Gleichungen I 2.1 Zusammenfassung 2.2 Lineare tridiagonale Systeme Das Programm Algorithmus TRIDIA 2.3 Nichtlineare tridiagonale Systeme 2.4 Implizite Lösung von u xx + Q(x,t) = cu ( 2.5 Randbedingungen 2.6 Das Programm implizit.f Die Crank-Nicolson Variante CN. Das Programm cranknic.f Die Gleichung u xx + u + Q(x,y,t) = cu (. ADIP 2.9 Das ADIP-Programm adipr.f77 auf Rechteckgebieten 2.10 Die Gleichung u xx + u yy + u zz + Q(x,y,z,t) = cu t 2.11 Nichtlinearitäten, Nichtrechteckgebiete und Anisotropie 2.12 Explizite Lösung der 2- und 3-diraensionalen Gleichung 2.13 Literatur

4 3 Elliptische Gleichungen 3.1 Zusammenfassung Bandmatrizen Der Gauß-Algorithmus BANDMATRIX Direkte Lösung der Gleichungen von Laplace und Poisson mit hoher Genauigkeit Das Programm poissonl.f Ein einfaches Mehrgitterverfahren für die Gleichungen von Poisson und Laplace Das Programm multigrid.f Die Gleichung von Helmholtz Fehlerabschätzung nach Richardson Die nichtlineare selbstadjungierte elliptischparabolische Gleichung auf inhomogenen, unregelmäßig berandeten Gebieten Die selbstadjungierte elliptische bzw. parabolische Differenzengleichung Die Koeffizienten S und T Die Randbedingungen Das Programm adjung.f Lösung elliptischer Gleichungen mit adjung.f Die Austauschbarkeit elliptischer und parabolischer Programme Douglas-Rachford iterativ (DRI) Die Biharmonische v 4 u=v 2 (v 2 u)so Literatur 87 4 Hyperbolische Gleichungen 4.1 Zusammenfassung Charakteristiken Die Gleichung a(x,y)u xx -c(x,y)u yy =g(x,y)u+f(x,y) mit a(x,y)>0 und c(x,y)> Die Wellengleichungen u tt =uu xx +f, u tt =u(u xx +u )+f und u t t =u(u xx +u yy +u zz )+f mlt u = 2 92

5 XI 4.5 Die Bestimmung der zulässigen Maschenweiten für Wellengleichungen. Das Kriterium von Courant, Friedrichs und Lewy 4.6 Das Programm welle.f77 für 2D-Wellengleichungen 4.7 Die Charakteristiken der quasi 1inearen Gleichung erster Ordnung 4.8 Die Charakteristiken quasi 1inearer Systeme erster Ordnung 4.9 Die Lösung hyperbolischer kanonischer Systeme 4.10 Beweis der Konvergenz der Näherungslösung 4.11 Systeme vom Telegraphengleichungstyp 4.12 Gleichungen und Systeme vom Typ u t = -ß(x,t)v x 4.13 Das Programm utvx.f Numerische Längsdispersion Das Lax-Wendroff Schema 4.16 Das Programm Iaxwf.f Numerische Längsdispersion Integration der Gleichung u x v y " 4.19 Literatur Parabolische Gleichungen II 5.1 Zusammenfassung Die SOR-Methode zur Lösung linearer Gleichungen Die Verfahren von Jacobi und Gauß-Seidel Neun-Punkte Formel des Operators (Tu x ) x + (Tu ) Minimalisierung der numerischen Querdispersion Mehrdimensionale Grundgebiete beliebiger und wechselnder Gestalt. Gitterabtastung. Dreidimensionale Differentialgleichungen auf beliebigen Bereichen Das Generalprogramm gebiet.f77 für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen zweidimensionalen Definitionsbereichen mit Dispers ionsminimalisierung Das Arbeiten mit dem Generalprogramm gebiet.f Die Konvektions-Diffusionsgleichung auf beliebigen dreidimensionalen Definitionsbereichen. e-parameter 131

6 XII 5.8 Numerische Dispersion selbstadjungierter Gleichungen und solcher vom Konvektlons-Diffusionstyp Automatische Zeitschrittwahl und Abschätzung der Stabilität und Dispersion nichtlinearer Gleichungen Iteration nichtlinearer Gleichungen. Das Verfahren von Newton und Raphson Tensorgleichungen. Gleichungen mit gemischten Ableitungen Wandernde Fronten. Streara weighting Freie Ränder. Stream weighting Ein Kurzprogramm für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen dreidimensionalen Bereichen mit allgemeinen Randbedingungen, harmonischer Mittelung und upstream weighting. Lösung explizit Nichtkartesische Koordinaten mit unregelmäßigen Gitterabständen, unendliche Definitionsbereiche, logarithmische Unstetigkeiten und Anfangs-Sprungunstetigkeiten Systeme parabolischer oder elliptischer Gleichungen Eine Bemerkung zu Gleichungen der Form f (v vv., v, V ZZ' V X'V V Z' U =0 t> Zusammengesetzte Medien. Phasenübergänge Literatur 155 ÄÄ y y 6 Große lineare Gleichungssysteme 6.1 Einleitung Vorteile und Nachteile expliziter Lösungsverfahren Vorteile und Nachteile der Mehrgitterverfahren Vorteile und Nachteile von ADIP und Douglas- Rachford iterativ (DRI) Vorteile und Nachteile von SOR Vorteile und Nachteile von Gauß-Seldel (GS) und dem Eliminationsverfahren von Gauß (GE) Vorteile und Nachteile des Verfahrens von Jacobi (J) Gradienten(artlge) Methoden mit ihren Vor- und Nachtellen 162

7 XIII r6.9 Schlußworte zur Besprechung der Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungsverfahren Definitionen: positiv definite, unzerlegbare, diagonal dominierte Matrizen Anwendung auf selbstadjungierte Gleichungen, Konvergenz iterativer Verfahren und Gauß-ElImination Spärlich besetzte Bandmatrizen Das speicherplatzsparende Programm gauss.f Die Gradientenmethode CG (conjugate gradient algorithm) für positiv definite Systeme 173 '6.15 Die Gradientenmethode CGS (conjugate gradlents squared) für Navier-Stokes Gleichungen und andere asymmetrische Probleme Vorkonditionierung (preconditioning) Platzsparendes Abspeichern der Koeffizientenmatrix Einfachindizierung der Gitterpunkte bei Anwendung direkter Verfahren und Gradientenmethoden Literatur 189 Finite Elemente 7 Einführung in die Methode der finiten Elemente 7.1 Finite Elemente und ihre Knoten Variationsaufgaben. Die Verfahren von Ritz und Galerkin Vergleich der Differenzenmethode mit der finiten Elementmethode bei Lösung partieller Differentialgleichungen Die Überführung von Variationsaufgaben in Differentialgleichungen. Natürliche Randbedingungen Der Arbeitsablauf bei der Ritz-Variante Die Berechnung von 3J/3U r Eindimensionale Elemente Die Lösung eindimensionaler Variationsaufgaben Die Entfernung von Innenknoten 208

8 XIV 7.10 Die wichtigsten Eulerschen Gleichungen zu Variationsaufgaben Variationsaufgaben zu gewöhnlichen Differentialgleichungen Variationsaufgaben zu elliptischen Differentialgleichungen in der Ebene und im Raum Literatur Die Lösung von Variationsaufgaben I 8.1 Einleitung Rechteckelemente Dreidimensionale Blockelemente Numerische Integration auf Intervall-, Rechteckund Blockelementen Dreieckelemente Dreieckelemente mit drei oder sechs Knoten Tetraederelemente Die Behandlung nicht 1inearer Randwertprobleme. Minimalflächen Bemerkungen zur Programmierung und Gebietsaufteilung Literatur Die Lösung von Variationsaufgaben II 9.1 Allgemeine finite Elemente Schiefwinklige 4-Knoten-Viereckelemente Windschiefe dreidimensionale Blöcke Die numerische Integration über schiefwinklige Vierecke und windschiefe dreidimensionale Blöcke Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern Dreieckelemente mit einem gekrümmten Rand Integration über krummlinig berandete Dreiecke 252