Finite Elemente in Materialwissenschaften

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1 Finite Elemente in Materialwissenschaften Dieter Süss Institut für Festkörperphysik (8. Stock gelb) Vienna University of Technology

2 Outline Geschichte der FEM Grundlagen Berechnung der Zahl π Methode Grundlagen d Beispiel - Wärmeleitungsgleichung Beispiele aus der Mechanik Magnetsimulation

3 FEM Grundlagen Mars Orbiter Laser Altimeter Grundkonzept Zerlegung eines komplexen Objekts in einfache Grundbausteine Diese einfache Idee findet in den verschiedensten Gebieten Anwendung Lego (Spielzeug) Bauwerke Berechnung der Zahl π

4 FEM Grundlagen Normal mode analysis mode mode 5 Grundkonzept Zerlegung eines komplexen Objekts in einfache Grundbausteine Diese einfache Idee findet in den verschiedensten Gebieten Anwendung Lego (Spielzeug) Bauwerke Berechnung der Zahl π

5 FEM Geschichte Berechnen der Fläche eines Kreises Archimedes Museo del Prado, Madrid Jusepe de Ribera Unterteilung eines komplexen Objekts in finite Elemente Lokale Approximation der Lösung Assemblieren der Elementlösungen Erhalten der Lösung Analyse der Lösung

6 Schritte einer finiten Element Berechnung Unterteilung eines komplexen Objekts in finite Element 8 finite Elemente Lokale Approximation der Lösung Assemblieren der Elementlösungen Erhalten der Lösung N = 8, S N =.8 R Analyse der Lösung Verwendung einer Tabellenkalkulation

7 Konvergenz der FEM Lösung

8 FEM Geschichte Minimal Fläche 85 Schellbach: Grundzüge bei der Lösung eines Minimalflächenproblem. FEM mit linearen Dreieckselementen auf einem regelmäßigen Gitter Ritz (908) und Galerkin (95) zur Vorläufer der FEM. FEM ist spezielles Ritz- bzw. Galerkin- Verfahren Späte 90s: Design des Münchner Olympiastadion mit FEM Stadion München

9 Wärmeleitungsgleichung Temperatur Feld Wärmequelle u( x) = ρ( x) x Wärmequelle Euler-Lagrange Gleichung u F( u) = u( x) ρ( x) dx x F u * ( ) = min( F( u)) Lösung u* minimiert Funktional u( A ) = 0 u( B ) = u muss Randbedingungen erfüllen

10 Lineare Approximation Funktion muss parametrisiert werden (Reduktion des Lösungsraumes) T(x) lineare Approximation Annahme exakte Lösung x x x 4 x 3 x finites element x 5 x

11 Basis Funktionen f(x) ϕ 3 ϕ 4 0 x x x 3 x 4 x 5 x x x x : ϕ ( x) = 0 3 x < x x3 x3 < x x4 : : ϕ ( x) = 3 x x x x x ϕ3( x) = x 3 x x x4 < x : ϕ ( x) = 0 3

12 Basis Funktionen f(x) ϕ 3 ϕ 4 0 T(x) x x x 3 x 4 x 5 x T 3 x T x T x T x ( ) approx = 3 ϕ ( ) ( ) ϕ4 T(x) x x x 3 x 4 x 5 x lineare Approximation x exakte Lösung x x x 3 x 4 x 5 x x T ( x) = T ϕ ( x) approx n n n=

13 Basis Funktionen -d ϕ i ( x, y) T ( x, y) = T ϕ ( x, y) approx n n n=

14 Überführen des Funktional u = u = RB 0 Entwickelte Funktion u ( x) = u ϕ ( x) approx n n n= Erinnerung Basisfunktionen Ritz Verfahren: ϕ ( x ) = x ( x ) n n u F( u) = u( x) ρ( x) dx x zu minimierendes Funktional FEM: ϕ ( x ) = n T(x) Funktion mit 4 Unbekannten u F( u, u3, u4, u5) = u( x) ρ( x) dx x x x x 3 x 4 x 5 x x

15 Minimierung der Funktion Wie kann die Funktion minimiert werden? u F( u, u3, u4, u5) = u( x) ρ( x) dx x. Möglichkeit: numerisch direkt Minimieren Steilster Abstieg Konjugierte agradienten. Möglichkeit: Ableitung Null setzen F( u,... u ). u 5 = 0 F( u,... u) = u 0

16 Entwickelte Funktion u ( x) = u ϕ ( x) approx n n n=. Möglichkeit Ableitung Null setzen u F( u) = u( x) ρ( x) dx x ϕn( x) F( u, u3, u4, u5) = un un ϕn( x) ρ( x) dx n= x n= F( u, u3, u4, u5) ϕn( x) ϕi ( x) = un ϕi ( x) ρ( x) dx = 0 u i n= x x

17 Erstellen des FE Gleichungssystems F( u, u3, u4, u5) ϕn( x) ϕi ( x) = un ϕi ( x) ρ( x) dx = 0 u i n= x x ϕn( x) ϕi ( x) un dx = ϕi ( x) ρ( x) dx n= x x Erinnerung F( u,... u ) u i = 0 4 Unbekannte ( u, u, u, u ) ϕ ( x) ϕ ( x) u dx x x dx n n = ϕ( ) ρ( ) n= x x ϕn( x) ϕ3( x) n = ϕ3( ) ρ( ) n= x x u dx x x dx 4 Gleichungen ϕ ( x) ϕ ( x) n 5 un dx = ϕ5( x) ρ( x) dx n= x x

18 Erstellen des FE Gleichungssystems Für kompaktere Schreibweise: ϕ = n ϕ ( ) n x x n n= n n= [ ] u ϕ ( x) ϕ ( x) dx = ϕ ( x) ρ( x) dx n [ ] u ϕ ( x) ϕ ( x) dx = ϕ ( x) ρ( x) dx n n= n [ ] 3 3 u ϕ ( x) ϕ ( x) dx = ϕ ( x) ρ( x) dx n 4 4 Unterschiede zwischen Gleicbungen n n= [ ] u ϕ ( x) ϕ ( x) dx = ϕ ( x) ρ( x) dx n 5 5 Unbekannte

19 Berechnen der Matrixelemente Warum enthält die Systemmatrix Nullelemente? ϕ (x) 0 ϕ ϕ 4 x x x 3 x 4 x 5 x x ( ϕ ϕ ) dx = 0 4 /h 0 -/h x x x 3 x 4 x 5 x h ϕ ϕ h 4 x u = 0 ( ϕ ϕ ) dx ( ϕ ϕ ) dx ( ϕ 3ϕ ) dx ( x) u ϕ ρ( x) dx 0 ( ϕ ϕ 3 ) dx ( ϕ 3ϕ 3 ) dx ( ϕ 4ϕ 3 ) dx 0 0 u 3 = ϕ3( x) ρ( x) dx 0 0 ( ϕ 3ϕ 4 ) dx ( ϕ 4ϕ 4 ) dx ( ϕ 5ϕ 4 ) dx 0 u4 ϕ4( x) ρ( x) dx u ( ϕ 4ϕ 5 ) dx ( ϕ 5ϕ 5 ) dx ( ϕ ϕ 5 ) dx u = ϕ5( x) ρ( x) dx

20 Berechnen der Matrixelemente Einführen homogenes Mesh mit Elementlänge h ( ϕ 3ϕ ) dx = h = h h h ϕ ϕ dx = h ( ) ϕ (x), ϕ (x) 0 /h 0 -/h ϕ ϕ 3 x x x 3 x 4 x 5 x x x x 3 x 4 x 5 x h ϕ ϕ h 3 x x 0 ( ϕ ϕ ) dx ( ϕ ϕ ) dx ( ϕ 3ϕ ) dx ( x) ( x) dx u ϕ ρ 0 ( ϕ ϕ 3 ) dx ( ϕ 3ϕ 3 ) dx ( ϕ 4ϕ 3 ) dx 0 0 u 3 ϕ3( x) ρ( x) dx = 0 0 ( ϕ 3ϕ 4 ) dx ( ϕ 4ϕ 4 ) dx ( ϕ 5ϕ 4 ) dx 0 u4 ϕ4( x) ρ( x) dx u ( ϕ 4ϕ 5 ) dx ( ϕ 5ϕ 5 ) dx ( ϕ ϕ 5 ) dx ϕ5( x) ρ( x) dx

21 Berechnen der Matrixelemente 0 ϕ( x) ρ( x) dx u u 3 ϕ3( x) ρ( x) dx = h u4 ϕ4( x) ρ( x) dx u 5 ϕ5( x) ρ( x) dx Wird in der Mitte Beleuchtet: u(0) u() = u = u u u 3 h / = h u4 h / u 5 0 ρ( x) = 0, x < h ρ( x) =,h x < 3h ρ( x) = 0,3h x

22 Lösen der Systemmatrix u u 3 h / = h u4 h / u 5 0 Mesh Größe: h 4 = h = 0 0 u 0 0 u 3 = u u 5 u = 5 u3 = 5 = 3 ϕ u4 = n= 5 9 u5 = 5 u = u ( x) u ( x) approx n n u = 0

23 Zusammenfassung Lösung Temperatur Feld Wärmequelle u( x) = ρ( x) x Wärmequelle u( A ) = 0 u( B ) = ρ( x) = 0, x < h ρ( x) =,h x < 3h ρ( x) = 0,3h x

24 FEM Beispiele Aufprall einer Dose am Boden Simulation des Aufpralles und die Deformation nach Aufprall - Spannungsanalyse / Materialoptimierung Honig auf Löffel Simulation wie ein Honig von einem Löffel fließt - viskose Flüssigkeitsdynamik / Polymere und Glasschmelze Magnetic recording Simulation der elektromagnetischen Felder während des Schreib und Leseprozesses

25 Aufprall einer Dose Rechteckiges Mesh Für alle Elemente Beziehung zwischen Kraft and Verschiebung Aufsummieren aller Elemente: Lineare Elastizitätstheorie -> Lineares Gleichungssystem K v = f Volumskräfte Finite Element Analysis in Actions Verschiebungen µ v λ + µ v = k ( ) ( ) e e e Laméschen Elastizitätskonstanten

26 Honig von Löffel Sequenz wie ein Honig von einen umgedrehten Löffel fließt Problem ist axialsymmetrisch: D Mesh ausreichend Mesh aus Dreiecken Gleichung für Fluiddynamics + Gravitation Erneutes meshen des Grundgebiets, wenn die Dreiecke zu sehr verzerrt sind time YM Stokes, O Tuck, LW Schwartz Q Jl Mech appl Math 53 (000) 55

27 Honig von Löffel Sequenz wie ein Honig von einen umgedrehten Löffel fließt Problem ist axialsymmetrisch: D Mesh ausreichend Mesh aus Dreiecken Gleichung für Fluiddynamics + Gravitation Erneutes meshen des Grundgebiets, wenn die Dreiecke zu sehr verzerrt sind

28 FEM für magnetische Systeme Zerlegung des Magneten in FE Dreiecke, Tetraeder Entwicklung von J mit Basisfunktionen ϕ J ( x) = nodes i= J ϕ i i ( x) Energy als Funktion von J, J J N E J, J... J ) ( N effektives Feld E( J H k = V k, J J k... J Energie als Funktion von M(r) Effektives Feld auf Knotenpunkte magnetische Momente of den Knotenpunkten N )

29 Magnetfeld Berechnung Magnetisches skalar Potential H stray = U with U(r) = M(r) U = 0 U = 0 r Löse Potential U (FEM) U (r) = M(r) für r Ω in U (r) = 0 für r Ω ext U = M Problem Finite Elemente müssen bis ins Unendliche gelegt werden Randelement Methode (BEM) Randbedingngen werden vom Unendlichen auf Magnetoberfläche transformiert

30 Wechselwirkende Nanodots magnetic quantum cellular automata Magnetische Dots Swiching Dot für Dot Magnetologik kleine Energieabsorption output dot R Cowburn, Science, nm input dot H ext = 5. ka/m

31 Zusammenfassung Finite Element Method Effiziente Methode um eine Vielzahl von partiellen Differentialgleichungen zu Lösen Einfaches Beispiels (-d) die Implementierung FEM Methode kein großes Problem darstellt Methode Bei linearen Differentialgleichungen führt FEM auf lineare Gleichungssysteme Anwendungsbeispiele Randbedingungen können nicht immer einfach berücksichtigt werden. Weitreichende Wechselwirkung Kopplung FEM/BEM führt zu sehr effizienter und vor allem flexibler Methode