Numerische Mathematik

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1 Numerische Mathematik Von Martin Hermann 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Oldenbourg Verlag München Wien

2 Vorwort zur ersten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage V VII 1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens Numerische Algorithmen und Fehler Fehlerfortpflanzung, Kondition und numerische Instabilität Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik Aufgaben 28 2 Lineare Gleichungssysteme Auflösung gestaffelter Systeme LfJ-Faktorisierung und Gauß-Elimination Pivot-Strategien und Nachiteration Systeme mit speziellen Eigenschaften Positiv definite Systeme Tridiagonale Gleichungssysteme Die Formel von Sherman und Morrison Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Normen Singulärwertzerlegung, SVD Fehlerabschätzungen, Kondition Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination Iterative Verfahren Konvergenz der Nachiteration Spektralradius und Konvergenz einer Matrix Spezielle Iterationsverfahren Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren Aufgaben 126

3 3 Eigenwertprobleme Eigenwerte und Eigenvektoren Stetigkeitsaussagen Eigenschaften symmetrischer Matrizen Gerschgorin Kreise Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode Das Grundverfahren Inverse Potenzmethode Deflationstechniken Symmetrisches Eigenwertproblem: Qß-Methode Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen Qi?-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme Aufgaben Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen Problemstellung Fixpunkt-Iteration Newton-Verfahren Das Verfahren von Müller Intervall-Verfahren Fehleranalyse der Iterationsverfahren Techniken zur Konvergenzbeschleunigung Globalisierung lokal konvergenter Verfahren Dämpfungsstrategien Homotopieverfahren Nullstellen reeller Polynome Anwendung des Newton-Verfahrens Das QD-Verfahren Aufgaben Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen Newton-Verfahren Quasi-Newton-Verfahren Das Verfahren von Brown Deflationstechniken Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen Aufgaben 275

4 XI 6 Interpolation und Polynom-Approximation Taylor-Polynome Interpolation und Lagrange-Polynome Iterierte Interpolation Dividierte Differenzen Hermite-Interpolation Kubische Spline-Interpolation Trigonometrische Interpolation, DFT und FFT Aufgaben Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate Diskrete Kleinste-Quadrate Approximation Polynomapproximationen Empirische Funktionen Nichtlineare Approximation Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation Polynomapproximation Approximation mit verallgemeinerten Polynomen Harmonische Analyse Konstruktion von Orthogonalsystemen Aufgaben Numerische Differentiation und Integration Numerische Differentiation Beliebige Stützstellenverteilung Äquidistante Stützstellenverteilung Numerische Differentiation mit gestörten Daten Differentiationsformeln ohne Differenzen Extrapolation nach Richardson Numerische Integration Grundformeln zur Integration Zusammengesetzte Quadraturformeln Adaptive Techniken Romberg-Integration Gaußsche Quadraturformeln Aufgaben Kleinste-Quadrate-Lösungen Einführung Eigenschaften der Qi?-Faktorisierung Gram-Schmidt-Verfahren 459

5 XII Inhaltsverzeichnis 9.4 Kleinste Quadrate Probleme Methode der Normalengleichungen LS-Lösung mittels Qß-Faktorisierung LS-Lösung mittels MGS Schnelle Givens LS-Löser Das LS-Problem für eine Matrix mit Rangabfall Aufgaben 490 Literaturverzeichnis 495 Liste der verwendeten Symbole 505 Verzeichnis der Algorithmen 507 Verzeichnis der Matlab-Programme 509 Tabellenverzeichnis 511 Abbildungsverzeichnis 513 Index 515