Methode der f initen Elemente

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1 r Methode der f initen Elemente Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis Von Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz ord. Professor an der Universität Zürich 3., neubearbeitete Auflage Mit 170 Figuren, 59 Tabellen und zahlreichen Beispielen B. G. Teubner Stuttgart 1991

2 Inhalt 1 Mathematische Grundlagen Typische Problemstellungen Stationäre Feldprobleme Zeitabhängige, instationäre Feldprobleme Probleme der Elastomechanik Extremalprinzipien Stationäre Feldprobleme Statische elastomechanische Probleme Dynamische elastomechanische Probleme Der klassische Ritz-Ansatz Die Methode von Galerkin Generelle Beschreibung der Methode der finiten Elemente 56 2 Elemente und Elementmatrizen Eindimensionale Elemente Linearer Ansatz Quadratischer Ansatz Kubischer Ansatz Ergänzungen und Anwendungen Zweidimensionale Elemente Vorbereitung Linearer Ansatz im Dreieck Quadratischer Ansatz im Dreieck Bilinearer Ansatz im Parallelogramm Quadratischer Ansatz der Serendipity-Klasse im Parallelogramm Quadratischer Ansatz der Langrange-Klasse im Parallelogramm Übersicht über weitere Elementtypen Kubische Ansätze mit partiellen Ableitungen als Knotenvariablen Formfunktionen für zweidimensionale Elemente Natürliche Koordinaten im Dreieck Zusammenstellung von Formfunktionen Direkte Berechnung von Elementmatrizen Direkte Bestimmung von Formfunktionen Krummlinige Elemente Krummlinige Dreieckelemente Krummlinige Viereckelemente 117

3 8 Inhalt Berechnung der Elementmatrizen Randintegrale für krumme Randstücke Einige spezielle Elemente Ebene elastomechanische Elemente Geradlinige Scheibenelemente Krummlinige Scheibenelemente Berechnung der Spannungen in Scheibenelementen Ebener Verzerrungszustand Plattenelemente Konforme Elemente Nichtkonforme Elemente Zur Berechnung der Elementbeiträge Ausblick auf dreidimensionale Elemente Tetraederelemente Parallelepipedelemente Prismenelemente Isoparametrische Elemente Das Gesamtproblem Aufbau der algebraischen Gleichungen Allgemeine Vorbereitungen Kompilation der Gesamtmatrizen Die Berücksichtigung der Randbedingungen Grundsätzlicher Aufbau eines Computerprogramms Zur Struktur der Matrizen Optimale Numerierung der Knotenvariablen Der Algorithmus von Cuthill-McKee Varianten des Algorithmus von Cuthill-McKee Elimination von inneren Freiheitsgraden, Kondensation Statische Kondensation Konstruktion von zusammengesetzten Elementen Kondensation bei Eigenwertaufgaben Behandlung der linearen Gleichungssysteme Klassische Eliminationsmethoden Rechentechniken für Bandmatrizen Hüllenorientierte Rechentechniken Band- und Frontlösungsmethode Blockeliminationsmethoden 238

4 Inhalt Iterative Methoden Die Methode der konjugierten Gradienten Gesamtschrittverfahren und Methode der Überrelaxation Vorkonditionierung Datenstrukturen und Rechentechniken Behandlung der Eigenwertaufgaben Die Eigenwertaufgabe mit vollbesetzten Matrizen Reduktion auf ein spezielles symmetrisches Eigenwertproblem Das zyklische Jacobi-Verfahren Die Methode von Householder Die Eigenwertberechnung für tridiagonale Matrizen Berechnung der Eigenvektoren von tridiagonalen Matrizen Vergleich des Rechenaufwandes Vektoriteration Die einfache Vektoriteration Die simultane Vektoriteration Praktische Durchführung der Vektoriteration Indefinite Matrix A Bisektionsmethode Die Reduktion einer quadratischen Form Lokalisierung der Eigenwerte Der Reduktionsalgorithmus für Bandmatrizen Der Reduktionsalgorithmus für Matrizen mit Hüllenstruktur Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Das Verfahren von Lanczos Grundlagen des Verfahrens Eigenschaften des Lanczos-Algorithmus Praktische Variante des Lanczos-Verfahrens Rayleigh-Quotient-Minimierung Der Grundalgorithmus Vorkonditionierung des Minimierungsalgorithmus Neuformulierung des Algorithmus Höhere Eigenwerte und Vorkonditionierung Simultane Rayleigh-Quotient-Minimierung Anwendungen mit Resultaten Stationäre Probleme Stationäre Temperaturverteilung 357 L

5 r 10 Inhalt Räumliche Fachwerke Einfache Rundkuppel Radarkuppel Räumliche Rahmenkonstruktionen Radarkuppel aus Balkenelementen Belasteter Hochspannungsmast Scheibenprobleme Testscheibe Gabelschlüssel Plattenbeispiele Testplatte Brückenplatte Schwingungsaufgaben Akustische Eigenfrequenzen eines Autoinnenraumes Maschinentisch mit Maschinengruppe Schwingende Stimmgabel Eigenschwingungen einer Dreieckplatte Eigenschwingungen eines Hochspannungsmastes Instationäre Temperaturverteilung 417 Literatur 422 Sachverzeichnis 432