Numerische Mathematik 1

Transkript

1 Springer-Lehrbuch Numerische Mathematik 1 Bearbeitet von A Quarteroni, R Sacco, F Saleri, L Tobiska 1. Auflage Taschenbuch. xiv, 370 S. Paperback ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 1190 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematische Analysis > Differentialrechnungen und -gleichungen schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort v TEIL I: Ausgangspunkte 1 Grundlagen der linearen Algebra Vektorräume Matrizen Operationen mit Matrizen Inverse einer Matrix Matrizen und lineare Abbildungen Operationen mit Blockmatrizen Spur und Determinante einer Matrix Rang und Kern einer Matrix Spezielle Matrizen Blockdiagonale Matrizen Trapez- und Dreiecksmatrizen Bandmatrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Ähnlichkeitstransformationen Die Singulärwertzerlegung (SVD) Skalarprodukte und Normen in Vektorräumen Matrixnormen Beziehung zwischen Matrixnormen und dem Spektralradius einer Matrix... 26

3 x Inhaltsverzeichnis Folgen und Reihen von Matrizen Positiv definite, diagonaldominante und M-Matrizen Übungen Grundlagen der Numerischen Mathematik Korrektheit und Konditionszahl eines Problems Stabilität numerischer Methoden Beziehungen zwischen Stabilität und Konvergenz A priori und a posteriori Analysis Fehlerquellen in Berechnungsmodellen Computerzahlen Das Positionssystem Das Gleitkommazahlensystem Verteilung von Gleitpunktzahlen IEC/IEEE Arithmetik Runden einer reellen Zahl in Maschinendarstellung Maschinengleitpunktoperationen Übungen TEIL II: Numerische lineare Algebra 3 Direkte Methoden zur Lösung linearer Systeme Stabilitätsanalyse linearer Systeme Die Konditionszahl einer Matrix A priori Vorwärtsanalyse A priori Rückwärtsanalyse A posteriori Analyse Lösung von Dreieckssystemen Implementation der Substitutionsmethoden Rundungsfehleranalyse Inverse einer Dreiecksmatrix Gauß-Elimination (GEM) und LU-Faktorisierung GEM als Faktorisierungsmethode Die Auswirkung von Rundungsfehlern Implementation der LU-Faktorisierung Kompakte Formen der Faktorisierung Andere Arten der Zerlegung LDM T -Faktorisierung Symmetrische und positiv definite Matrizen: Die Cholesky-Faktorisierung Rechteckmatrizen: Die QR-Faktorisierung Pivotisierung Berechnung der Inversen einer Matrix Bandsysteme Tridiagonale Matrizen... 97

4 Inhaltsverzeichnis xi Aspekte der Implementierung Blocksysteme Block-LU-Faktorisierung Inverse einer blockpartitionierten Matrix Blocktridiagonale Systeme Schwachbesetzte Matrizen Cuthill-McKee-Algorithmus Zerlegung in Substrukturen Geschachtelte Zerlegung Die durch die GEM erzielte Genauigkeit der Lösung Approximative Berechnung von K(A) Verbesserung der Genauigkeit der GEM Skalierung Iterative Verbesserung Unbestimmte Systeme Anwendungen Knotenanalyse eines Fachwerkes Regularisierung eines Dreiecksgitters Übungen Iterative Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme Über die Konvergenz iterativer Methoden Lineare iterative Methoden Jacobi-, Gauß-Seidel- und Relaxationsmethoden Konvergenzresultate für Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren Konvergenzresultate für die Relaxationsmethode A priori Vorwärtsanalyse Blockmatrizen Symmetrische Form des Gauß-Seidel- und des SOR- Verfahrens Implementierungsfragen Stationäre und instationäre iterative Verfahren Konvergenzanalysis des Richardson-Verfahrens Vorkonditionierer Das Gradientenverfahren Das Verfahren der konjugierten Gradienten Das vorkonditionierte Verfahren der konjugierten Gradienten Das Verfahren der alternierenden Richtungen Methoden, die auf Krylov-Teilraumiterationen basieren Das Arnoldi-Verfahren für lineare Systeme Das GMRES-Verfahren Das Lanczos-Verfahren für symmetrische Systeme. 180

5 xii Inhaltsverzeichnis 4.5 Das Lanczos-Verfahren für unsymmetrische Systeme Abbruchkriterien Ein auf den Zuwachs basierender Abbruchtest Ein auf das Residuum basiertes Abbruchkriterium Anwendungen Analyse eines elektrischen Netzwerkes Finite Differenzen Analyse der Balkenbiegung Übungen Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren Geometrische Lage der Eigenwerte Stabilität und Analyse der Kondition A priori Abschätzungen A posteriori Abschätzungen Die Methode der Vektoriteration Approximation des betragsmäßig größten Eigenwertes Inverse Iteration Implementierungsaspekte Die QR-Iteration Das Basisverfahren der QR-Iteration Die QR-Methode für Matrizen in Hessenberg-Form Householder- und Givens-Transformationsmatrizen Reduktion einer Matrix in Hessenberg-Form QR-Faktorisierung einer Matrix in Hessenberg-Form Die Basisform der QR-Iteration beginnend mit oberer Hessenberg-Form Implementation der Transformationsmatrizen Die QR-Iteration mit Verschiebungen Die QR-Methode mit einfacher Verschiebung Die QR-Methode mit doppelter Verschiebung Berechnung der Eigenvektoren und die SVD einer Matrix Die inverse Hessenberg-Iteration Berechnung der Eigenvektoren aus der Schur-Form einer Matrix Approximative Berechnung der SVD einer Matrix Das verallgemeinerte Eigenwertproblem Berechnung der verallgemeinerten reellen Schur-Form Verallgemeinerte reelle Schur-Form von symmetrischdefiniten Büscheln Methoden für Eigenwerte symmetrischer Matrizen Die Jacobi-Methode Die Methode der Sturmschen Ketten Das Lanczos-Verfahren Anwendungen Analyse der Knicklast eines Balkens

6 Inhaltsverzeichnis xiii Freie dynamische Schwingungen einer Brücke Übungen TEIL III: Nichtlineare Gleichungen und Optimierung 6 Bestimmung der Wurzeln nichtlinearer Gleichungen Kondition einer nichtlinearen Gleichung Ein geometrisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung Die Bisektionsmethode Das Sehnenverfahren, das Sekantenverfahren, die Regula Falsi und das Newton-Verfahren Das Dekker-Brent-Verfahren Fixpunkt-Iterationen für nichtlineare Gleichungen Konvergenzresultate für einige Fixpunktmethoden Nullstellen algebraischer Gleichungen Das Hornerschema und die Reduktion Das Newton-Horner-Schema Das Muller-Verfahren Abbruchkriterien Nachbearbeitungstechniken für iterative Methoden Aitken-Beschleunigung Techniken für mehrfache Wurzeln Anwendungen Analyse der Zustandsgleichung für reale Gase Analyse einer nichtlinearen elektrischen Schaltung Übungen Nichtlineare Systeme und numerische Optimierung Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Newton-Verfahren und seine Varianten Modifiziertes Newton-Verfahren Quasi-Newton-Verfahren Sekantenähnliche Verfahren Fixpunktmethoden Nichtrestringierte Optimierung Direkte Suchverfahren Abstiegsmethoden Liniensuchverfahren Abstiegsmethoden für quadratische Funktionen Newton-ähnliche Methoden zur Minimierung von Funktionen Quasi-Newton-Verfahren Sekantenähnliche Verfahren Optimierung unter Nebenbedingungen

7 xiv Inhaltsverzeichnis Notwendige Kuhn-Tucker Bedingungen für nichtlineare Optimierung Die Strafmethode Die Methode der Langrangeschen Multiplikatoren Anwendungen Lösung eines nichtlinearen Systems bei der Halbleiterbauteilsimulation Nichtlineare Regularisierung eines Diskretisierungsgitters Übungen Literatur 351 Index der MATLAB Programme 361 Index 363