Hohere Mathematik. fur Ingenieure, Physiker und Mathematiker von Dr. Dr. h.c. Norbert Herrmann Leibniz Universitat Hannover 2., uberarbeitete Auflage

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1 Hohere Mathematik fur Ingenieure, Physiker und Mathematiker von Dr. Dr. h.c. Norbert Herrmann Leibniz Universitat Hannover 2., uberarbeitete Auflage Oldenbourg Verlag MunchenWien

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Numerik linearer Gleichungssysteme Einleitung Zur Losbarkeit linearer Gleichungssysteme Spezielle Matrizen Symmetrische und Hermitesche Matrizen Positiv definite Matrizen Orthogonale Matrizen Permutationsmatrizen Frobeniusmatrizen Diagonaldominante Matrizen Zerfallende Matrizen Vektor- und Matrix-Norm Vektornorm Matrixnorm Fehleranalyse Kondition Vorwartsanalyse und Fehlerabschatzungen Riickwartsanalyse: Satz von Prager und Oettli L-R-Zerlegung Die Grundaufgabe Pivotisierung L-R-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme L-R-Zerlegung und inverse Matrix Q-R-Zerlegung Der Algorithmus Q-R-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme Uberbestimmte lineare Gleichungssysteme Die kleinste Fehlerquadratsumme Q-R-Zerlegung und uberbestimmte lineare Gleichungssysteme Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix Cholesky-Verfahren 73

3 v m INHALTSVERZEICHNIS Cholesky-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme Einige Zusatzbemerkungen Verfahren der konjugierten Gradienten Iterative Verfahren Gesamt- und Einzelschrittverfahren SOR-Verfahren 90 Numerik filr Eigenwertaufgaben Einleitung und Motivation Grundlegende Tatsachen Die allgemeine Eigenwert-Eigenvektoraufgabe Ahnlichkeit von Matrizen Abschatzung nach Gerschgorin Das vollstandige Eigenwertproblem Zuriickfuhrung einer Matrix auf Hessenberggestalt Verfahren von Wilkinson Verfahren von Householder Das Verfahren von Hyman Shift Q-R-Verfahren Verfahren von Jacobi Das partielle Eigenwertproblem Von Mises-Verfahren Rayleigh-Quotient fur symmetrische Matrizen Inverse Iteration nach Wielandt 140 Lineare Optimierung Einfuhrung Die Standardform Graphische Losung im 2D-Fall Losbarkeit des linearen Optimierungsproblems Der Simplex-Algorithmus Der Algorithmus am Beispiel der Transportaufgabe Sonderfalle 152 Interpolation ^gg 4.1 Polynominterpolation Aufgabenstellung ^gg Lagrange-Interpolation J Newton-Interpolation ^ Auswertung von Interpolationspolynomen Der punktweise Fehler jgo Hermite-Interpolation 2g2 4.2 Interpolation durch Spline-Funktionen 185

4 INHALTSVERZEICHNIS IX Arger mit der Polynom-Interpolation Lineare Spline-Funktionen Hermite-Spline-Funktionen Kubische Spline-Funktionen 201 Numerische Quadratur Allgemeine Vorbetrachtung Begriff der Quadraturformel Der Exaktheitsgrad von Quadraturformeln Einige klassische Formeln Interpolatorische Quadraturformeln Newton-Cotes-Formeln Formeln vom MacLaurin-Typ Mehrfachanwendungen Quadratur nach Romberg Gaufi-Quadratur Normierung des Integrationsintervalls Konstruktion einer GauBformel Legendre-Polynome Bestimmung der Stiitzstellen Bestimmung der Gewichte Exaktheitsgrad und Restglied Gaufischer Quadraturformeln Vergleichendes Beispiel Stiitzstellen und Gewichte nach Gaufi 236 Nichtlineare Gleichungen Motivation Fixpunktverfahren Newton-Verfahren Sekanten-Verfahren Verfahren von Bairstow Systeme von nichtlinearen Gleichungen Motivation Fixpunktverfahren Newton-Verfahren fur Systeme Vereinfachtes Newton-Verfahren fur Systeme Modifiziertes Newton-Verfahren fur Systeme 262 Laplace Transformation Einfuhrung Existenz der Laplace-Transformierten Rechenregeln Die inverse Laplace-Transformation Partialbruchzerlegung 279

5 X INHALTSVERZEICHNIS Faltung Zusammenfassung Anwendung auf Differentialgleichungen Einige Laplace-Transformierte Fourierreihen Erklarung der Fourierreihe Berechnung der Fourierkoeffizienten Reelle F-Reihe 4=^ komplexe F-Reihe Einige Satze iiber Fourier-Reihen Sprungstellenverfahren Zum Gibbsschen Phanomen Schnelle Fourieranalyse (FFT) Distributionen Einleitung und Motivation Testfunktionen Regulare Distributionen Singulare Distributionen Limes bei Distributionen Rechenregeln Ableitung von Distributionen Faltung von Testfunktionen Faltung bei Distributionen Anwendung auf Differentialgleichungen Numerik von Anfangswertaufgaben Einfuhrung Warum ein Auto bei Glatte schleudert Explizite Differentialgleichungen n-ter Ordnung DG1 n-ter Ordnung -> DGl-System Aufgabenstellung Zur Existenz und Einzigkeit einer Losung Numerische Einschritt-Verfahren Euler-Polygonzug-Verfahren Verbessertes Euler-Verfahren Implizites Euler-Verfahren Trapez-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Die allgemeinen Runge-Kutta-Verfahren Konsistenz, Stabilitat und Konvergenz bei Einschrittverfahren Konsistenz Stabilitat Konvergenz 378

6 INHALTSVERZEICHNIS XI 10.7 Lineare Mehrschritt-Verfahren Herleitung von Mehrschritt-Verfahren Konsistenz, Stabilitat und Konvergenz bei Mehrschrittverfahren Konsistenz Stabilitat Konvergenz Pradiktor-Korrektor-Verfahren Numerik von Randwertaufgaben Aufgabenstellung Homogenisierung der Randbedingungen Zur Existenz und Einzigkeit einer Losung Kollokationsverfahren Finite Differenzenmethode FDM Verfahren von Galerkin Die schwache Form Sobolev-Raume Konstruktion der Sobolev-Raume Konstruktion der Sobolev-Raume Durchfiihrung des Verfahrens von Galerkin Methode der finiten Elemente Kurzer geschichtlicher Uberblick Algorithmus zur FEM Zur Fehlerabschatzung Exkurs zur Variationsrechnung Einleitende Beispiele Grundlagen Eine einfache Standardaufgabe Verallgemeinerung Belastete Variationsprobleme Verfahren von Ritz Vergleich von Galerkin- und Ritz-Verfahren Partielle Differentialgleichungen Einige Grundtatsachen Klassifizierung Anfangs- und Randbedingungen Korrekt gestellte Probleme Die Poissongleichung und die Potentialgleichung Dirichletsche Randwertaufgabe Neumannsche Randwertaufgabe Numerische Losung mit dem Differenzenverfahren Die Warmeleitungsgleichung Einzigkeit und Stabilitat 482

7 XII INHALTSVERZEICHNIS Zur Existenz Numerische Losung mit dem Differenzenverfahren Die Wellengleichung Die allgemeine Wellengleichung Das Cauchy-Problem Das allgemeine Anfangs-Randwert-Problem Numerische Losung mit dem Differenzenverfahren 505 Literaturverzeichnis 510 Index 513