Diplom VP Numerik 28. August 2006

Transkript

1 Diplom VP Numerik 8. August 6 Multiple-Choice-Test Punkte) Bei jeder MC-Aufgabe ist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoch bei einer MC-Aufgabe keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese Aufgabe als nicht bearbeitet und wird mit Punkten bewertet. Ansonsten gibt es für jede falsche Antwort.5 Punkte, und für jede korrekte Antwort.5 Punkte, so dass man pro MC-Aufgabe bis Punkte erreichen kann. Da aus dem MC-Test als Ganzes keine negativen Punkte entstehen dürfen, kann man bei MC-Aufgaben insgesamt zwischen und Punkten erreichen. Um Flüchtigkeitsfehlern vorzubeugen, sind durchgängig nur korrekte Aussagen anzukreuzen. MC Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. Die Konditionszahl einer Funktion gibt an, wie stark sich Eingabefehler verstärken, wenn man exakte Arithmetik zur Auswertung benutzt. Die Konditionszahl einer Funktion ist nie größer als. Ein stabiler Algorithmus impliziert eine gute Kondition. Die Konditionszahl einer Funktion gibt an, wie stark sich Eingabefehler aufgrund von Instabilitäten im verwendeten Algorithmus verstärken. MC. Für A R n n mit deta) und b, b, x, x R n mit b sei x die Lösung von A x b und x + x die Lösung von A x + x) b + b. Es sei. eine Vektornorm auf R n bzw. die zugehörige Matrix Norm auf R n n. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. x x x A A b b x A A b b x A b x A b MC. Es sei A R n n eine allgemeine, reguläre Matrix und x, b R n mit A x b. Weiter sei R R n n eine reguläre, obere Dreiecksmatrix und S R n n eine symmetrische, positiv definite Matrix. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen zur Zahl der benötigten Operationen kurz Ops ) nur Multiplikationen und Divisionen) an. Die Lösung von R x b benötigt n + On ) Ops Die Lösung von A x b per Gaußelimination benötigt n + On ) Ops Die Lösung von S x b per Choleskyzerlegung benötigt n + On ) Ops Die Lösung von S x b per Choleskyzerlegung benötigt n 6 + On ) Ops MC. Es seien A R m n und b R m mit RangA) n. Weiter sei Q R m m eine orthogonale Matrix und R R m n eine obere Dreiecksmatrix, so dass Q A R gilt. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. A x b R x Q b für alle x R n A x b QR x b für alle x R n Die Matrix R kann man mittels Givens Rotationen bestimmen Die Matrix R kann man mittels Gauß Elimination bestimmen MC 5. Es sei Φ : R R stetig differenzierbar und x so, dass Φx ) x gilt. Für x R wird die Fixpunktiteration x k+ Φx k ), k,,,... definiert. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. Falls Φ x ) < gilt, so existiert kein x x mit lim k x k x Falls Φ x ) < gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mit x x hinreichend klein Die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration ist in der Regel größer als Falls Φ x ) gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mit x x hinreichend klein, und die Konvergenzordnung ist größer als

2 MC 6. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. Beim Newton Verfahren wird oft eine Dämpfungsstrategie benutzt. Diese dient dazu, die Konvergenzordnung des Verfahrens zu verbessern globale Konvergenz des Verfahrens zu gewährleisten den Einzugsbereich des Verfahrens zu vergrößern den Rechenaufwand pro Iteration zu dämpfen MC 7. Es sei P f x,..., x n ) das Lagrange Interpolationspolynom zu den Daten x, fx )),..., x n, fx n )) mit x <... < x n. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. P Φ x,..., x n ) Φ für alle Polynome Φ P f x,..., x n )x i ) fx i ) für i,,..., n P f x,..., x n )x) fx) für alle x [x, x n ] Der Fehler max x [x,x n] P f x,..., x n )x) fx) wird für wachsendes n immer kleiner MC 8. Es sei I : d c fx) dx, h : d c, m > und x j c + j h m für j,..., m. Wir definieren I m f) : d c P f x,..., x m )x) dx wobei P f x,..., x m ) das Lagrange Interpolationspolynom zu den Daten x, fx )),..., x n, fx m )) mit x <... < x m ist. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. I m f) definiert die Gauß-Quadratur zur Approximation von I I f) h 6 fc) + f d+c ) + fd)) Für alle m gilt: I m f) m i w i fx i ) mit w i Im x k ) d c xk dx für alle k,..., m MC 9. Gegeben sei das Anfangswertproblem y t) + y t) t yt) + e t mit y), y ), y ). Wir setzen zt) z t), z t), z t)) T. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Anfangswertprobleme zu dem obigen Problem äquivalent sind. z t) z t) z t) mit z) t z t) z t) + e t z t) z t) z t) mit z) t z t) z t) + e t z t) z t) z t) mit z) t z t) z t) + e t z t) t z t) z t) z t) + z t) mit z) MC. Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an. Für steife Probleme ist das implizite Euler Verfahren besser geeignet als das explizite Euler Verfahren, weil beim impliziten Verfahren die Konsistenzordnung höher ist Für steife Probleme ist das implizite Euler Verfahren besser geeignet als das explizite Euler Verfahren, weil beim impliziten Verfahren die Konvergenzordnung höher ist Das Stabilitätsintervall des klassischen Runge Kutta Verfahrens ist, ) Das Stabilitätsintervall der Trapezmethode ist, )

3 Aufgabe Es sei A und b.... Punkte) a) Führen Sie eine Zeilenskalierung von A durch. Geben Sie die entsprechende Diagonalmatrix D mit skalierter Matrix B : DA) explizit an. b) Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von B mit Spaltenpivotisierung, d. h. P B LR. Geben Sie die Matrizen P, L und R explizit an. c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax b unter Verwendung aller Matrizen D, P, L, R). a) Zeilenäquilibrierung: D., B : DA b) LR-Zerlegung: B Pivot,,) Pivot,,) also: L P , R.95 Gauss Gauss ,. in welcher Spalte steht jeweils die Eins?, nie als Matrix speichern!). c) Anwendung von P D auf die rechte Seite, Vorwärtseinsetzen, Rückwärtseinsetzen in -stelliger GPA: Db.6667, P Db.6 LRx Ly y.8 Rx x

4 Aufgabe Gegeben sei das lineare Ausgleichsproblem Punkte) Ax b min x IR, ) mit A :, b : a) Lösen Sie das Ausgleichsproblem ) mittels Householder-Spiegelungen. Gehen Sie dabei nicht zu den Normalgleichungen über sonst Punkte!). b) Berechnen Sie die Norm des Residuums. Setzen Sie hierzu nicht die Lösung aus a) in ) ein sonst Punkte!). a) j : alle Zeilen, erste Spalte von [A b]: 8 y :, y 5, v : y + signy ) y e, β : v T v.5, restliche Spalten: R :, h : v T R [ 6 6 ], r : βvh R r ,. ) j : unterer Block in altem R r, davon erste Spalte: ) ).6.87 y :, y.887, v : y + signy ) y e, β : v T v.5, restliche Spalte: R : [. ], h : v T R [.95 ] [, r : βvh R r [ ], ]. ) ), ) wieder zusammenfassen und jeweils signy ) y auf die Hauptdiagonale schreiben: 5.. Q T [A b] Lösung durch Rückwärtseinsetzen im oberen )-Teil x b) Norm des Residuums:... ).685..

5 Aufgabe Gegeben sei die D-Fixpunktgleichung ) x y y π sin π x + y ) : ) F x, y) : F x, y) F x, y) Punkte) a) Zeigen Sie, dass die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach für den Bereich E : [, ] [, ] erfüllt sind. Verwenden Sie die -Norm. Hinweis: Die Funktion fy) : y ist monoton fallend in [, ]. y b) Führen Sie ausgehend vom Startwert x, y ) :.9,.) zwei Fixpunktiterationen durch, d. h. berechnen Sie x, y ). c) Wie viele Iterationsschritte sind ausgehend vom Startwert x, y ) :.9,.) höchstens erforderlich, um den Fixpunkt in der -Norm bis auf einen Fehler von ε : anzunähern? d) Geben Sie eine a posteriori Fehlerabschätzung für x, y ) an unter Verwendung der -Norm. a) i) E ist abgeschlossen und konvex. ii) Selbstabbildung: F hängt nur von y ab, d. h. F F y) und ist monoton fallend) in [, ]. Extrema können also nur an den Rändern angenommen werden: F ).866 F ). In E gilt x+y und somit sin ). Folglich gilt F x, y) π.87. Insgesamt gilt also Ẽ : F E) [.866, ] [,.87] E F ist selbstabbildend auf E. iii) Kontraktivität: Da E konvex ist, dürfen wir die Ableitung benutzen. Als Jacobi-Matrix ergibt sich F x, y) π π cos ) y y π π cos ) 8 cos ) y y 8 cos F, hängt nur von y ab und ist monoton fallend) in [, ]. Extrema können also nur an den Rändern angenommen werden: F,), F,).887. Wegen cos ) gilt in E ferner Insgesamt folgt F,x, y) F,x, y) 8. max F x, y) max.887, x,y E 8 + ).75 : L < 8 d. h. F ist kontraktiv auf E. Somit sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Bemerkung: In Ẽ gilt.89 cos ) ) ) π.866+ cos π x+y cos π +.87 ).66 und somit max x,y Ẽ F.87 x, y) max, 8.66 max.6,.77 ).75 : L <, d. h..87 durch die kluge Wahl von Ẽ statt E erhält man eine erheblich bessere Kontraktionskonstante. b) Startwert: x : x ) : y ).9. )

6 . Schritt: x :. Schritt: x : x ) ) ).995, x x.95 y ) ) ).99, x x. y..6 x c) Es gilt x x.95 und somit gemäß a-priori-abschätzung n ln ε L) x x ln L ln.75).95 ln Es sind also höchstens n Schritte erforderlich, um eine Genauigkeit von ε : zu erreichen. Bemerkung: Mit L ln.75) folgt n.95 ln.75 d) A-posteriori-Abschätzung: x x.78, d. h. in Wahrheit reichen sogar schon n Schritte. L L x x Bemerkung: Mit L erhält man a-posteriori x x.78.

7 Aufgabe Gegeben sei die Wertetabelle 8 Punkte) x i y i a) Bestimmen Sie an der Stelle x.5 den Wert p.5) des Interpolationspolynoms zweiten Grades, indem Sie das zugehörige Neville-Aitken-Schema aufstellen. Geben Sie p.5) explizit an. b) Geben Sie eine möglichst scharfe Fehlerabschätzung für p.5) unter der Annahme, dass die Werte zu der Funktion yx) : x e t dt gehören, und dass die Nullstellen der vierten Ableitung von yx) bei x und x ±.5 angenommen werden. a) Neville Aitken Tableau: x x.768. x Es ist also y.5) p.5).899 Wert unten rechts im Tableau). b) y x) e x y x) x e x y x) x ) e x Bem.: y ) 8x 8x + x) e x x x ) e x x, x, ±.5) Randwerte und gegebene Nullstellen von y ) einsetzen: y ), y ) e.56, y.5).895. Da y stetig differenzierbar ist, gilt somit max x [,] y x), und man erhält die Fehlerabschätzung p.5) y.5).5 ).5 ).5 ) max! x [,] y x)