4. Großübung. Lösung linearer Gleichungssysteme
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- Rosa Günther
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1 4. Großübung Lösung linearer Gleichungssysteme Gesucht x, x, x 3, x 4 R, sodass gilt. mit A R 4 4, x R 4, b R 4 x x + 3x 3 + x 4 = 5 6x 3x 7x x 4 = 5 4x + 4x + 5x 3 5x 4 = 3 8x + x + x 3 + x 4 = 8 3 x x x 3 = 5 3 A x = b } 8 {{ } x 4 }{{} 8 }{{} =:A =:x =:b A R n n regulär äquivalent zu: det(a) = 0 Wiederholung HöMa (nur online): rang(a) = n; Rang: Maximale Anzahl linear unabhäniger Spalten bzw. Zeilen. Es existiert A R n n, s.t. A A = A A = I A x = b hat eine eindeutige Lösung für alle b R n A x = 0 hat nur die Lösung x = 0
2 Gauß-Elimination: Ziel: Idee: Erzeuge LGS mit rechter oberer Dreiecksmatrix, um dann Rückwärtseinsetzen durchzuführen. Bilde Linearkombinationen von Zeilen. Manipuliere eine Zeile durch Subtraktion einer skalierten anderen Zeile. Regeln (Konvention) und Hinweise:. Skaliere nicht die eigene Zeile während des Gauss-Algorithmus. (Evtl. aber vorher als Zeilenäquilibrierung.). Erzeuge Nullen unterhalb der Diagonalen. Zunächst in der ersten Spalte, dann in der zweiten, etc.. 3. Zum Erzeugen der Nullen in der iten (z.b. ersten) Spalte wird die zu manipulierende Zeile (>i) nur mit der (iten) erste Zeile kombiniert. 4. Bei allen Operationen auf der Matrix müssen auch die rechten Seiten mit angepasst werden Oft wird LGS dann als erweiterte Matrix aufgeschrieben. 5. Jeder einzelne Schritt (und die Summe dieser Schritte) kann als Matrix-Multiplikation aufgefasst werden A M A, wobei M R n n und M eine normierte untere Dreiecksmatrix ist. 6. Jeder einzelne Rückwärtsschritt (und die Summe dieser Schritte) kann als Matrix- Multiplikation aufgefasst werden A L A, wobei L R n n und L eine normierte untere Dreiecksmatrix ist. 7. Wenn mehr als nur ein Gleichungssystem mit der Matrix A gelöst werden soll, ist es sinnvoll die Koeffizienten (l i,j ) zu speichern (s. später) I Betrachte Spalte I und Zeilen II, III, IV: 3 5 l, I l 3, I l 4, I II Div. + 3 Mult. Div. + 3 Mult. Div. + 3 Mult. + Mult. Mult. Mult.
3 l, = a, a, = 6 = 3 l 3, = a 3, a, = 4 = l 4, = a 4, a, = 8 = 4 Aufwand erster Schritt Matrix: 3 Div. + 9 Mult. [+ 3 Mult.] III 0 0 l 3, II l 4, II Div. + Mult. Div. + Mult. + Mult. Mult. Aufwand zweiter Schritt Matrix: Div. + 4 Mult. [+ Mult.] l 3, = a 3, a, = l 4, = a 4, a, = 6 6 = 6 6 = l 4,3 III Aufwand zweiter Schritt Matrix: Div. + Mult. [+ Mult.] l 4,3 = a 4,3 a 3,3 = = Aufwand j-ter Schritt Matrix: (n j) Div. + (n j) Mult. [+ (n j) Mult.] (für j {,.., n }) Gesamtaufwand Gauss-Algorithmus: 3 n3 [+ n ] Lösung durch Rückwärtseinsetzen: x 4 = 4 8 Aufwand Rückwärtseinsetzen: n = 3 x 3 = 3 ( 5x 4) = x = 0 (4x 4 + x 3 ) = 6 x = 5 (x 4 + 3x 3 x ) = 3 3
4 Mögliche Variante: Andere rechte Seite, aber gleiche Matrix: Ax = b, b = Eine Wiederholung der Gauß-Elimination wäre, abgesehen von der rechten Seite, die selbe Rechnung (nur die rechte Spalte in der erweiterten Matrix wäre anders). Stattdessen: Die Koeffizienten l i,j definieren eine Zerlegung, die verwendet werden kann, denn es gilt A = LR mit: L := , R := Beispiel: Klausuraufgabe VF-3, H00 Die Musterlösung dieser Aufgabe befindet kann von der NumaMB Webseite heruntergeladen werden. LR-Zerlegung Die hier beschriebene Gauß-Elimination bewirkt, sofern durchführbar, eine Faktorisierung der Matrix A mit A = LR L ist eine normierte untere Dreiecksmatrix R ist eine obere Dreiecksmatrix L = (l i,j ) n i,j= mit l i,i =, i =,.., n Die Lösung von Ax = b ergibt sich über die Lösung zweier Dreickssysteme: Ly = b Vorwärtseinsetzen Ax = b L }{{} Rx = b y Ly = b (Vorwärtseinsetzen) Rx = y (Rückwärtseinsetzen) 4
5 y = y = 3 ( 3y ) = 30 y 3 = 6 (y y ) = 8 y 4 = 4 (4y y + y 3 ) = 6 Rx = y Rückwärtseinsetzen Fazit x 4 = x 3 = 8 ( 5x 4) = x = 30 (4x 4 + x 3 ) = 3 6 x = (x 4 + 3x 3 x ) x = 3 = LR-Zerlegung = Gauß-Elimination ohne rechte Seite. Im Vergleich zur Gauß-Elimination entsteht kein Zusatzaufwand, da nur die l i,j behalten werden müssen. Das Verfahren ist sehr effizient bei mehreren rechten Seiten, die am Anfang noch nicht alle bekannt sind. Beispiel hierfür ist das (vereinfachtes) Newton-Verfahen. Zeilenäquilibrierung (Skalierung) und Spaltenpivotisierung Problem Kondition verbessert durch Ersatzproblem Zeilenäquilibrierung Algorithmus Stabilität Spaltenpivotisierung 5
6 Pivotisierung Problem : a j,j 0 ( ) ( ) z.b. m = 5 Stellen x =, x = 0 aber exakt gerechnet erhalten wir: x = 0 6, x = x x ist sehr groß Algorithmus ist instabil. Vertausche Zeilen: ( z.b. m = 5 Stellen x =, x = Fehler im Bereich 0 6. ) ( ) Bemerkung Praxis Pivotisierung und Zeilenäquilibrierung immer zusammen anwenden! (um wahre Pivotelemente zu finden). Statt LR = A zerlege LR = PD z A und löse Optimale Kondition des Problems LRx = PD z b Stabiler Algorithmus (zudem: keine Probleme mit Nulleinträgen) Berechnung Determinante det(a) = det(d z P LR) = det(d z ) }{{} = n i= d i,i det(p ) det(l) }{{}}{{} =( ) #Vertauschungen = det(r) }{{} = n i= r i,i Beispiel: Klausuraufgabe A, H00 Die Musterlösung dieser Aufgabe befindet kann von der NumaMB Webseite heruntergeladen werden. Zusatz: Berechnung Inverse Folie 48 6
7 Gauß-Doolittle Annahme: Zu A existiert eine LR-Zerlegung: A = LR Dann gilt für jede Komponente a i,j = n l i,k r k,j = k= Für i j (Diagonale + rechts-oben) folgt damit: Für i > j (links-unten) folgt damit: min(i,j) l i,k r k,j k= a i,j = i l i,k r k,j + l i,i r i,j k= ( ) i r i,j = a i,j l i,k r k,j / l }{{} i,i k= = a i,j = j l i,k r k,j + l i,j r j,j k= ( ) i l i,j = a i,j l i,k r k,j /r j,j k= Eintrag l i,j bzw. r i,j hängt von den vorherigen Zeileneinträgen (i) in L ab und von den Spalteneinträgen (j) in R. j.... = L... = R i Vorgehensweise um die Charakterisierungen von l i,j und r i,j zur Berechnung von L und R zu nutzen:. Zeile von L ist gegeben.. Zeile von R kann komplett berechnet werden.. Spalte von R ist gegeben.. Spalte von L kann komplett berechnet werden.. Zeile von L ist gegeben.. Zeile von R kann komplett berechnet werden. Gauss-. Spalte von R ist gegeben.. Spalte von L kann komplett berechnet werden. Doolittle hat keine Pivotisierung, funktioniert also nicht für alle reguläre Matrizen. Aber für Spezialfälle. Sonderfall: symmetrisch positiv definite Matrizen A s.p.d. R = D L T 7
8 Setzen wir R = D L T in den Gauss-Doolittle-Algorithmus ein, so ergibt sich folgende Abhängigkeit:. Zeile von L ist gegeben. d kann berechnet werden.. Spalte von R = DL ist gegeben.. Spalte von L kann komplett berechnet werden.. Zeile von L ist gegeben. d kann berechnet werden.. Spalte von R = DL ist gegeben.. Spalte von L kann komplett berechnet werden. Der resultierende Algorithmus (unter Ausnutzung R = DL T ) ist der Cholesky-Algorithmus! Folie 57 8
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