Kurzform. Choleskyzerlegung. Julia Hoeboer. 13. Mai 2011
|
|
- Mina Berger
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Choleskyzerlegung Julia Hoeboer 13 Mai 2011
2 Inhalt: LDM T Zerlegung LDL T Zerlegung Cholesky Zerlegung Person Berechnung Gaxpy Algorithmus Effektivität
3 LDM T Zerlegung LDM T Zerlegung lässt sich aus LR Zerlegung ableiten A = LR alle Teilmatrizen von A sollen invertierbar sein Sei D = diag(d 1 d n ) Diagonalmatrix (invertierbar) und L und M untere Dreieckseinheitsmatrizen Sei D 1 R = M T A = LR = LD(D 1 R) = LDM T
4 LDM T Zerlegung Angenommen wir kennen die ersten j-1 Spalten von L, die Diagonaleinträge von d 1,, d j 1 von D und die ersten j-1 Zeilen von M (1 j n) Um weitere Einträge zu berechnen, brauchen wir einen Hilfsvektor v
5 LDM T Zerlegung Sei v = DM T e j Dann ist: L(1 : k, 1 : j)v(1 : j) = A(1 : j, j)
6 LDM T Zerlegung Haben wir v können wir d(j) und M(j,i) berechnen: d(j)=v(j) M(j,i)=v(i)/d(i),für 1:j-1 Zum Schluss können wir dann noch L(j+1 : n, j)v(j) = A(j+1 : n, j) L(j+1 : n, 1 : j 1)v(1 : j 1) berechnen
7 LDM T Zerlegung LDM T Algorithmus for j = 1 : n Solve L(1 : j, 1 : j)v(1 : j) = A(1 : j, j) für v(1 : j) for i = 1 : j 1 M(j, i) = v(i)/d(i) end d(j) = v(j) L(j + 1 : n, j) = (A(j + 1 : n, j) L(j + 1 : n, 1 : j 1) v(1 : j 1))/v(j) end
8 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel Sei: A = d m 21 m 31 L = l D = 0 d 2 0 M T = 0 1 m 32 l 31 l d
9 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel j=1 Löse L(1 : 1, 1 : 1)v(1 : 1) = A(1 : 1, 1) für v(1 : 1) 1v(1) = 10 for i = 1 : j 1 Abbruch end d(1) = v(1) = 10 L(1 + 1 : 3, 1) = (A(1 ( ) + 1 ( : 3, 1) ) L(1 + 1 : 3, 1 : 1 1)v(1 : 1 1))/v(1) l21 20 l ( 31 l21 l 31 = ) = /10 30 ) ( 2 3
10 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel j=2 ( Löse L(1 ) ( : 2, ) 1 : 2)v(1 ( ) : 2) = A(1 : 2, 2) für v(1 : 2) l 0 v1 10 = 2 1 v 2 25 ( ) ( ) v1 10 = 2v 1 + v 2 25 ( ) ( ) v1 10 = 5 v 2
11 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel for i = 1 : j 1 M(2, 1 = v(1)/d(1) = = 1 end d(2) = v(2) = 5 L(2 + 1 : 3, 2) = (A(2 + 1 : 3, 2) L(2 + 1 : 3, 1 : 2 1)v(1 : 2 1))/v(2) L(3, 2) = ( )/5 = 4
12 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel j=3 Löse L(1 : 3, 1 : 3)v(1 : 3) = A(1 : 3, 3) für v(1 : 3) v v 2 = v 3 61 v v 1 + v 2 = 40 3v 1 + 4v 2 + v 3 61 v 1 20 v 2 = 0 v 3 1
13 LDM T Zerlegung LDM T Beispiel for i = 1 : j 1 (i = 1) : M(3, 1) = v(1)/d(1) = = 2 (i = 2) : M(3, 2) = v(2)/d(2) = 0 5 = 0 end d(3) = v(3) = 1 L(3 + 1 : 3, 3) = Abbruch
14 LDL T Zerlegung Wenn A = LDM T die LDM T Zerlegung einer invertierbaren, symmetrischen Matrix ist, dann ist L = M
15 LDL T Zerlegung LDL T Algorithmus for j = 1 : n for i = 1 : j 1 v(i) = L(j, i)d(i) end v(j) = A(j, j) L(j, 1 : j 1)v(1 : j 1) d(j) = v(j) L(j + 1 : n, j) = (A(j + 1 : n, j) L(j + 1 : n, 1 : j 1)v(1 : j 1))/v(j) end
16 Cholesky-Zerlegung * 15 Oktober August 1918
17 Cholesky-Zerlegung Bedingungen quadratische Matrix A R nxn symmetrisch: A = A T positiv definit: x T Ax > 0 für alle x 0
18 Cholesky-Zerlegung Ziel G T obere Dreiecksmatrix G untere Dreiecksmatrix dann wird aus: wobei hier G T x = y sein soll A = GG T Ax = b Ax = GG T x = b
19 Cholesky-Zerlegung Ziel Man löst zuerst das Gleichungssystem Gy = b erhalten y Danach löst man das Gleichungssystem erhalten x Gx = y
20 Cholesky-Zerlegung Berechnung Formel: 0, für i < j g ij := a ii i 1 k=1 g2 ik, für i = j 1 g jj (a ij j 1 k=1 g ikg kj ), für i > j
21 Cholesky-Zerlegung Beispiel Matrix A:= g 11 g 12 g 13 Matrix G:= g 21 g 22 g 23 g 31 g 32 g 33 g 11 = a k=1 g2 1k = 1 0 = 1 = 1 g 12 = 0 g 13 = 0
22 Cholesky-Zerlegung Beispiel Matrix A:= Matrix G:= g 21 g 22 g 23 g 31 g 32 g 33 g 21 = 1 g 11 (a k=1 g) = 1 2 = 2 g 22 = a k=1 g2 2k = = 1 = 1 g 23 = 0
23 Cholesky-Zerlegung Beispiel Matrix A:= Matrix G:= g 31 g 32 g 33 g 31 = 1 g 11 (a k=1 g) = 3 1 = 3 g 32 = 1 g 2 2 (a k=1 g 3kg 2k ) = 1(7 (3 2)) = 1 g 33 = a k=1 g2 3k = 26 ( ) = 16 = 4
24 Cholesky-Zerlegung Beispiel Matrix A:= Matrix G:=
25 Cholesky-Zerlegung Nutzen effizientes Lösen des Gleichungssystems Ax=b Test für positive Definitheit eine Matrix Bestimmung der Determinanten det(a) = n G 2 ii i=1 Ausgangsmatrix auf Korrektheit prüfen (naturwissenschaftlich-technische Probleme)
26 Algorithmen Gaxpy-Version Die j-te Spalte von A entsteht beim Multiplizieren von GG T aus: G(1, 1) G(1, 2) G(1, j) G(j, 1) + G(j, 2) + + G(j, j) G(n, 1) G(n, 2) G(n, j) A(:, j) = j k=1 G(j, k)g(:, k)
27 Algorithmen Gaxpy-Version A(:, j) = G(j, j)g(:, j) + j 1 k=1 G(j, k)g(:, k) G(j, j)g(:, j) = A(:, j) j 1 k=1 G(j, k)g(:, k) v G(1, 1) dh G(j, j) = G(n, j) v(1 v(n)
28 Algorithmen Gaxpy-Version Um G(j:n,j) zu erhalten, rechnet man v(j : n)/ v(j) Betracht man das Beispiel j=1 wird schnell klar warum: G(1, 1) G(1, 1) G(2, 1) G(n, 1) = v(1) v(n) G(1, 1)G(1, 1) G(1, 1)G(2, 1) G(1, 1)G(n, 1) = v(1) v(n)
29 Algorithmen Gaxpy-Version aus der ersten Zeile folgt: das heißt für die Zeilen 2:n v(1)g(2, 1) v(2) = v(1))g(n, 1) v(n) G(1 : n, 1) = v(1 : n)/ v(1) G(j : n, j) = v(j : n)/ v(j) G(1, 1) = v(1)
30 Algorithmen Gaxpy-Version for j = 1 : n v(j : n) = A(j : n, j) for k = 1 : j 1 v(j : n) = v(j : n) G(j, k)g(j : n, k) end G(j : n, j) = v(j : n)/ v(j) end
31 Algorithmen Gaxpy-Version Ein Beispiel: Matrix A: j=1 v(1 : 3) = A(1 : 3, 1) also ist hier: 1 v(1:3)= 2 3
32 Algorithmen Gaxpy-Version for k=1:0 Abbruch end G(1 : 3, 1) = v(1 : 3)/ v(1) 1 G(1 : 3, 1) = = 2 3 3
33 Algorithmen Gaxpy-Version Matrix A: j=2 v(2 : 3) = A(2 : 3, 2) ( ) 5 v(2:3)= 7
34 Algorithmen Gaxpy-Version for k=1:1 v(2 ( : 3) ) = v(2 ( : ) 3) ( G(2, ) 1)G(2 : 3, 1) = 2 = end G(2 : 3, 2) = v(2 : 3)/ ( ) ( ) v(2) = = 1 1
35 Algorithmen Gaxpy-Version Matrix A: j=3 v(3 : 3) = A(3 : 3, 3) v(3 : 3) = 26 for k=1:2 k=1 v(3 : 3) = v(3 : 3) G(3, 1)G(3 : 3, 1) = = 17
36 Algorithmen Gaxpy-Version k=2 v(3 : 3) = v(3 : 3) G(3, 2)G(3 : 3, 2) 17 1 = 16 end G(3 : 3, 3) = v(3 : 3)/ v(3) = 16/ 16 = 4
37 Algorithmen Gaxpy-Version Wir erhalten also wieder: G =
38 Algorithmen Gaxpy-Version A direkt überschrieben: forj = 1 : n ifj > i A(j : n, j) = A(j : n, j) A(j : n, 1 : j 1)A(j, 1 : j 1) T end A(j : n, j) = A(j : n, j)/ A(j, j) end
39 Algorithmen Effektivität LR und LDM T Zerlegung benötigen 2n3 3 flops LDL T und GG T Zerlegung benötigen n3 3 flops LR und LDM T Zerlegung doppelt so aufwändig
40 Algorithmen Effektivität
41 Algorithmen Effektivität Quellen: Gene H Golub, Charles F Van Loan: Matrix computations Johns Hopkins University Press, 1996 (3rd edition)
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv
MehrKAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren
KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Beispiel 3.2. Gesucht u(x), das eine Differentialgleichung vom Typ u (x) + λ(x)u(x) = f(x), x [0,], mit den Randbedingungen u(0) = u() = 0
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrVorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel
Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3
MehrLineare Gleichungssysteme. Lineare Gleichungssysteme. LR Zerlegung ohne Pivotsuche. Zerlegung regulärer Matrizen
Heinrich Voss voss@tu-harburg.de Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation Betrachte ein lineares Gleichungssystem Ax = b (1) Es sei A C n n eine gegebene regulär Matrix. Dann
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
Mehr6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte
Numerik I Version: 240608 40 6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Die zwei wichtigsten Aufgaben der linearen Algebra: Lösung linearer Gleichungssysteme: Ax = b, wobei die n
MehrLineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung
Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
Beispiel.5: Funktion von Runge (V) Beispiel Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, NWF III, Institut für Mathematik Martin Arnold: Grundkurs Numerische Mathematik (WiS 27/8) Abbildung.3: Interpolation
MehrLineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen
Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R
MehrLösung des Kleinste-Quadrate-Problems
Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems Computergestützte Statistik Lisakowski, Christof 15.05.2009 Lisakowski, Christof ()Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems 15.05.2009 1 / 34 Themen 1 Problemstellung
MehrLernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis
Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend
MehrLineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus
Zurück Letzter Update 7... Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus In der Mathematik bezeichnet man mit Matrix ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen oder Funktionen angeordnet werden. Hier
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
Mehr1 Lineare Gleichungssysteme
MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden
MehrBerechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrKAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:
KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand
MehrA Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen
A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne
MehrGleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.
Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten
MehrMathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
MehrNumerisches Programmieren
Technische Universität München SoSe 213 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren 2. Programmieraufgabe: Lineare
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrZur Numerik großdimensionaler Eigenwertprobleme. Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau
Zur Numerik großdimensionaler Eigenwertprobleme Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau Ilmenau, den 8.11.2004 1 Einführung 1 Zusammenfassung Der
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
Mehr16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrKryptografische Algorithmen
Kryptografische Algorithmen Lerneinheit 2: Kryptoanalyse klassischer Kryptosysteme Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Wintersemester 2015/2016 21.9.2015 Einleitung Inhalt
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrOptimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz
Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
Mehr7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme
7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:
MehrZur Numerik linearer Gleichungssysteme. Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau
Zur Numerik linearer Gleichungssysteme Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau Ilmenau, den 1.11.2004 1 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme
MehrMathematik III für Ingenieure
Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen
MehrPraktische Informatik I Der Imperative Kern Mathematiknachhilfe
Praktische Informatik I Der Imperative Kern Mathematiknachhilfe Prof. Dr. Stefan Edelkamp Institut für Künstliche Intelligenz Technologie-Zentrum für Informatik und Informationstechnik (TZI) Am Fallturm
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
MehrMatrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.
Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und
MehrNumerische Behandlung des Eigenwertproblems
Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden
MehrUntersuchung dünnbesetzter QR-Verfahren bei der Berechnung dünnbesetzter approximativer Inverser
Technische Universität München Institut für Informatik Untersuchung dünnbesetzter QR-Verfahren bei der Berechnung dünnbesetzter approximativer Inverser Diplomarbeit im Fach Informatik Andreas Roy Aufgabensteller
MehrDistributed Graph Layout for Sensor Networks
Distributed Graph Layout for Sensor Networks Ausarbeitung zum Seminar Zeichnen von Graphen (WS04/05) Prof. Dr. Ulrik Brandes Basierend auf dem gleichnamigen Artikel von C. Gotsman und Y. Koren, Proceedings
MehrWeiterführendes Programmieren Finden von Fehlern und Entwickeln eines Programmes für die LU-Zerlegung Aufgabenblatt 2 Abgabe am 01.
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph. D. Dominik Jürgens Sommersemester 2009 April 14, 2009 Weiterführendes Programmieren Finden von
MehrSchnelle Lösung großer Gleichungssysteme
Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme Anton Schüller 1 Ulrich Trottenberg 1,2 Roman Wienands 2 1 Fraunhofer-Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI 2 Mathematisches Institut der Universität
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen
MehrÜbungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrOPERATIONS-RESEARCH (OR)
OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrBeispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.
Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2
MehrWortproblem für kontextfreie Grammatiken
Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure IV. Volker John
Höhere Mathematik für Ingenieure IV Volker John Sommersemester 2007 Inhaltsverzeichnis I Weiterführende Integralrechung 2 1 Kurvenintegrale 3 11 Kurven 3 12 Skalares Kurvenintegral 4 13 Vektorielles Kurvenintegral
MehrOhne Mathematik undenkbar!
Die tägliche - Suche: Ohne Mathematik undenkbar! Dipl.-Wirt.Math. Jan Maruhn FB IV - Mathematik Universität Trier 29. März 2006 29. März 2006 Seite 1 Gliederung Einleitung und Motivation Das Internet als
MehrTechnische Universität Berlin Institut für Mathematik. Bachelorarbeit im Studiengang Technomathematik
Technische Universität Berlin Institut für athematik Bachelorarbeit im Studiengang Technomathematik Vorkonditionierte Krylov-Unterraum-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme arkus Wolff 323994
Mehr5. Verschiedene Repräsentanten
5. Verschiedene Repräsentanten 5.1. Die Sätze Hall und König Sei I := {1,...,n}, und sei A(I) = (A 1,...,A n ) eine Familie von Teilmengen einer endlichen Menge E. Zu K I seien A(K) := (A i : i K) und
MehrOpenMP am Beispiel der Matrizenmultiplikation
OpenMP am Beispiel der Matrizenmultiplikation David J. Meder, Dr. Victor Pankratius IPD Tichy Lehrstuhl für Programmiersysteme KIT die Kooperation von Forschungszentrum Karlsruhe GmbH und Universität Karlsruhe
MehrSuchmaschinen und Markov-Ketten 1 / 42
Suchmaschinen und Markov-Ketten 1 / 42 Zielstellung 1 Wir geben einen kurzen Überblick über die Arbeitsweise von Suchmaschinen für das Internet. Eine Suchmaschine erwartet als Eingabe ein Stichwort oder
Mehr1. Pflicht-Übung Num. Mathematik 2 SFT (SS02)
1. Pflicht-Übung Num. Mathematik 2 SFT (SS02) von Roland Steffen SFT1 "!$#$&%&')(* +-,.*0/123 45#0/6 47 89 00 : $; < Quellcode: /* Löst ein spezielles lineares GLS (A*x=b; tridiagonale Koeffizientenmatrix
MehrEinführung in die Numerik: Rechnerübungen mit MATLAB
Einführung in die Numerik: Rechnerübungen mit MATLAB Das vorrangige Ziel der Numerischen Mathematik besteht darin, effiziente und robuste Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme mit Hilfe des Rechners
MehrTI-84 im Mathematikunterricht Stand: 2010-03-25
TI-84 im Mathematikunterricht Stand: 2010-03-25 Graphen einer Funktionsgleichung zeichnen: Neues Betriebssystem (Stand 2010-03-09) download: Betriebssystem http://education.ti.com/downloads/files/83plus/ti84plus_os.8xu
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
MehrUmsetzung von DEA in Excel
Umsetzung von DEA in Excel Thorsten Poddig Armin Varmaz 30. November 2005 1 Vorbemerkungen In diesem Dokument, das als Begleitmaterial zum in der Zeitschrift,,Controlling, Heft 10, 2005 veröffentlichten
MehrStatistische Methoden
Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
MehrLineare Optimierung. Master 1. Semester
Prof. Dr.-Ing. Fritz Nikolai Rudolph Fachhochschule Trier Fachbereich Informatik Master 1. Semester Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 2 1.1 Lineare Gleichungssysteme... 2 1.2 sprobleme... 3 2 Standardform...
MehrMathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011
Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:
MehrEinführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009
Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
Mehrlineare-algeba.wxmx 1 / 7 Mathematik in wxmaxima www.mathematik-verstehen.de Haftendorn Dez 2010
lineare-algeba.wxmx / Lineare Algebra Mathematik in wxmaxima www.mathematik-verstehen.de Haftendorn Dez. Handling Achtung: Durch Anklicken der linken Zellmarkierung kann man die Abschnitte und auch einzelne
MehrAlgorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
MehrSortieren durch Einfügen. Prof. Dr. W. Kowalk Sortieren durch Einfügen 1
Sortieren durch Einfügen Prof. Dr. W. Kowalk Sortieren durch Einfügen 1 Schon wieder aufräumen Schon wieder Aufräumen, dabei habe ich doch erst neulich man findet alles schneller wieder Bücher auf Regal
MehrLehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber. Bachelor-Thesis
Universität Bayreuth Fakultät für Mathematik und Physik Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber Bachelor-Thesis zur Erlangung des Grades Bachelor
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung
MehrPraktikum Wissenschaftliches Rechnen 3. Aufgabenblatt
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph. D. Dipl.-inform. Oliver Kayser-Herold Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 3. Aufgabenblatt Wir
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrAusgleichungsrechnung I
Ausgleichungsrechnung I oder Die Anwendung statistischer Methoden in Vermessungswesen und GIS Gerhard Navratil mit Beiträgen von Martin Staudinger Institute for Geoinformation Technical University Vienna
Mehr(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die
Mehr1 Ziele der Computeralgebra
Einleitung zur Vorlesung Computeralgebra Sommersemester 25 Prof. Dr. Peter Bürgisser Martin Lotz Diese Einleitung soll einen Überblick darüber geben, worum es in der Computeralgebra und in dieser Vorlesung
MehrInformationsgehalt von Messungen von IR-Bildsensor und FTIR Spektrometer für die Bestimmung von CO2 und CO Säulengehalten über Vegetationsfeuern
Informationsgehalt von Messungen von IR-Bildsensor und FTIR Spektrometer für die Bestimmung von CO2 und CO Säulengehalten über Vegetationsfeuern M.HESS, F.SCHREIER und A.DOICU Institut für Methodik der
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
MehrEinführung in die finite Elemente Methode
Einführung in die finite Elemente Methode Andreas Stahel Juni 24 Zusammenfassung In einem ersten Abschnitt werden die Grundideen der Methode der Finiten Elemente an einem einfachen System von Stäben illustriert.
MehrLineare Gleichungen und Textaufgaben Erweiterte Version 4.0 Herbert Paukert
Lineare Gleichungen und Textaufgaben Herbert Paukert 1 Lineare Gleichungen und Textaufgaben Erweiterte Version 4.0 Herbert Paukert (1) Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten [02] (2) Lineare Gleichungen
Mehr11 Normalformen von Matrizen
11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell
MehrZ = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
MehrProjekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. T e s t h e f t B 1. Schulbezeichnung:.. Klasse: Vorname: Datum:.
Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik T e s t h e f t B Schulbezeichnung:.. Klasse: Schüler(in) Nachname:. Vorname: Datum:. B Große und kleine Zahlen In Wikipedia findet man die
MehrLosen groer dunnbesetzter Gleichungssysteme uber endlichen Primkorpern Dissertation zur Erlangung des Grades des Doktors der Ingenieurwissenschaften der Technischen Fakultat der Universitat des Saarlandes
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
Mehr