Lineare Optimierung. Master 1. Semester

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1 Prof. Dr.-Ing. Fritz Nikolai Rudolph Fachhochschule Trier Fachbereich Informatik Master 1. Semester Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Lineare Gleichungssysteme sprobleme Standardform Vorgehensweise zum Aufstellen des Anfangstableaus Basislösungen und deren Interpretation Standardmaximierung mit dem Simplexverfahren Standardminimierung mit dem Simplexverfahren Der Zweiphasen Simplexalgorithmus Phase 1 Suche nach einem Startpunkt Sonderfälle Unendlich viele Lösungen Degenerierte Basislösung Unbeschränkter zulässiger Bereich Leerer zulässiger Bereich Links zu weiteren Skripten Beispiele Beispiel: Papiermühle: Standardmaximierung Beispiel: Automobilhersteller: 2 Phasen Maximierung Beispiel: Bauer Paul: Standardmaximierung Beispiel: Möbelhersteller, komplexe Minimierung... 22

2 Skript Lineare Programmierung Seite 2 1 Einleitung Das folgende Skript soll dazu dienen, die oder Lineare Programmierung nach dem Simplexverfahren zu verstehen und deren Anwendung zu erlernen. Auf Beweise wurde verzichtet, da diese in der Literatur hinlänglich diskutiert worden sind. 1.1 Lineare Gleichungssysteme Viele Problemstellungen lassen sich auf lineare Beziehungen reduzieren. Sie liegen als lineares Gleichungssystem in der folgenden Form vor: F i (x) = Σ a i,j x j - c i = 0; j = 1,...n; i = 1,...n oder A x = c Lineare Gleichungssysteme lassen sich in verschiedene Kategorien einteilen: homogene Gleichungssysteme c = 0 inhomogene Gleichungssysteme c 0 Det(A) 0 nur die triviale Lösung x = 0 genau eine Lösung Det(A) = 0 unendlich viele Lösungen keine Lösung oder unendlich viele Lösungen Tabelle 1 Kategorien von Gleichungssystemen Die wichtige Gruppe der eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme wird üblicherweise mit dem Gauß-Verfahren oder mit dem Einsetzverfahren gelöst. Letzteres wird in der Linearen Programmierung auch als Austauschverfahren bezeichnet. Beide Verfahren sind ähnlich und können als Linearkombination von Gleichungen angesehen werden. Eine einzelne Gleichung eines Gleichungssystems beschreibt jeweils einen Zusammenhang und besitzt eine Menge möglicher Lösungen. Werden zwei Gleichungen geeignet linear kombiniert, indem das Vielfache einer Gleichung zu einer zweiten addiert wird, um eine Variable zu eliminieren, schränken wir die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen auf deren Schnittmenge ein.

3 Skript Lineare Programmierung Seite 3 Beispiel: Gleichung 1: -4 x x 2 = -2 Gleichung 1 hat alle Punkte der Geraden x 2 = 2 x 1-1 als Lösung. Gleichung 2: -2 x x 2 = 0 Gleichung 2 hat alle Punkte der Geraden x 2 = x 1 als Lösung. Die Linearkombination (Gleichung 1) 2 * (Gleichung 2) = Gleichung 3 liefert die x 2 Komponente des Schnittpunktes der beiden Geraden. Gleichung 3: -4 x x 1-2 x 2 = - 2 x 2 = -2 x 2 = 1 Gleichung 3 entsprechend mit Gleichung 1 kombiniert liefert Gleichung 4, und damit die x 1 Komponente des Schnittpunktes. Gleichung 4: -4 x x 2-2 x 2 = -2-2 x 1 = 1 Der Punkt (1, 1) ist also Lösung des Systems, das aus Gleichung 1 und Gleichung 2 besteht. 1.2 sprobleme In der Linearen Programmierung oder Linearen Optimierung wird versucht eine lineare Zielfunktion z(x 1, x 2,..., x n ) = b 1 x 1 + b 2 x b n x n {max min} zu optimieren, also zu minimieren oder zu maximieren. Die Optimierung wird durch Nebenbedingungen eingeschränkt die typischerweise als lineare Ungleichungen vorliegen. Sie teilen den Raum in einen zulässigen und einen unzulässigen Bereich und werden als Hyperebenen bezeichnet. Aufgabe der linearen Programmierung ist es, denjenigen Punkt zu finden, für den die Zielfunktion optimal wird und der alle Nebenbedingungen erfüllt, also zulässig ist.

4 Skript Lineare Programmierung Seite 4 2 Standardform Ein lineares Optimierungsproblem oder lineares Programm hat allgemein die Form: Zielfunktion z(x 1, x 2,..., x n ) = b 1 x 1 + b 2 x b n x n {max min} Nebenbedingungen a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n { =} c 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n { =} c 2... a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n { =} c m Alle Variablen müssen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen x 1, x 2,..., x n 0

5 Skript Lineare Programmierung Seite Vorgehensweise zum Aufstellen des Anfangstableaus 1 Alle Konstanten werden auf die rechte Seite und auf positive Vorzeichen gebracht. 2 Jede Ungleichung mit dem Operator wird um die Addition einer Schlupfvariablen erweitert und als Gleichung dargestellt. 3 Jede Ungleichung mit dem Operator wird um die Subtraktion einer Schlupfvariablen erweitert und als Gleichung dargestellt. 4 Jede Variable x j, welche nicht die Nichtnegativitätsbedingung erfüllt, wird als Differenz zweier nicht negativer Variablen ersetzt x j ' und x j " ersetzt: 5 x j = x j ' x j " 6 Das Ergebnis der Zielfunktion z wird als Variable aufgefasst. Die Zielfunktion wird als Gleichung in folgender Form an das Ungleichungssystem angehängt: z b 1 x 1 - b 2 x b n x n = 0 7 Nebenbedingungen, die in Gleichungsform vorliegen und deshalb keine Schlupfvariable besitzen, müssen noch mit den anderen Gleichungen durch geeignete Operationen linear kombiniert werden, da sie die Grenze zwischen zwei unzulässigen Bereichen beschreiben. Im Fall einer Gleichung liegen die zulässigen Lösungen auf der Hyperebene. a. Wir wählen die Zeile i ohne Schlupfvariable als Pivotzeile, eine Spalte j, in welcher der Koeffizient a i,j ungleich Null ist, als Pivotspalte und führen einen Pivotschritt durch. Dabei werden alle a k,j mit k i und b j zu Null. b. Nach diesem Pivotschritt werden alle Zeilen, in denen die "rechte Seite" c k negativ ist mit 1 multipliziert.

6 Skript Lineare Programmierung Seite 6 Beispiel aus [Leydold]: z(x1, x2, x3) = 2 x1 5 x2 + x3 min 2x 1 + x x 1 + 2x 2 + 2x 3-90 x 1 + x 2 x 3 80 x 1 + 4x 3 = 40 x 1,x Nebenbedingung mit (-1) multiplizieren und Operator umdrehen. z(x1, x2, x3) = 2 x1 5 x2 + x3 min 2x 1 + x x 1-2x 2-2x 3 90 x 1 + x 2 x 3 80 x 1 + 4x 3 = 40 x 1 ;,x 2 0 System mittels Schlupfvariablen in Gleichungsform bringen z(x1, x2, x3) = 2 x1 5 x2 + x3 min 2x 1 + x 2 + s 1 = 100 x 1-2x 2-2x 3 s 2 = 90 x 1 + x 2 x 3 s 3 = 80 x 1 + 4x 3 = 40 x 1,x 2,s 1,s 2,s 3 0 x 3 erfüllt nicht die Nichtnegativitätsbedingung. Wir ersetzen deshalb x 3 durch die Differenz x 3 = x 3 ' x 3 "; x 3 ', x 3 " 0 z(x1, x2, x3) = 2 x1 5 x2 + x' 3 - x" 3 min 2x 1 + x 2 + s 1 = 100 x 1-2x 2-2x' 3 + 2x" 3 s 2 = 90 x 1 + x 2 2x 2 - x' 3 + x" 3 s 3 = 80 x 1 + 4x' 3-4x" 3 = 40 x 1,x 2, x' 3,x" 3,s 1,s 2,s 3 0 Einfügen der Zielfunktion als Gleichung. z - 2 x1 + 5 x2 - x' 3 + x" 3 = 0

7 Skript Lineare Programmierung Seite 7 Aufstellen des Simplextableaus: z x1 x2 x'3 x3" s1 s2 s3 RS Die vierte Zeile enthält keine Schlupfvariable. Deshalb führen wir einen Pivotschritt mit der vierten Zeile und der x1 Spalte, deren Koeffizient in der Pivotzeile nicht Null ist, durch: z x 1 x 2 x' 3 x 3 " s 1 s 2 s 3 RS Damit ist das Anfangssimplextableau aufgestellt.

8 Skript Lineare Programmierung Seite 8 3 Basislösungen und deren Interpretation Gegeben sei das folgende Simplextableau: z x 1 x 2 x' 3 x 3 " s 1 s 2 s 3 RS Aus dem Simplextableau können wir jetzt bereits Lösungen ablesen. Wenn wir allen Variablen, welche in ihrer Spalte mehr als einen Koeffizienten besitzen, dessen Wert ungleich Null ist, den Wert Null zuordnen, dann ist haben die übrigen den Wert der Rechten Seite RS dividiert durch den Koeffizienten in der jeweiligen Spalte der Variablen. 1. Spalte, 5. Zeile, abgelesen: z = Spalte, 4. Zeile, abgelesen: x 1 = Spalte, gesetzt: x 2 = 0 4. Spalte, gesetzt: x 3 '= 0 5. Spalte, gesetzt: x 3 "= 0 6. Spalte, 1. Zeile, abgelesen: s 1 = Spalte, 2. Zeile, abgelesen: s 2 = 50 /(-1) = Spalte, 3. Zeile, abgelesen: s 3 = 40 /(-1) =-40 Demnach werden die Werte der Variablen x 2, x 3 ', x 3 " auf den Wert 0 gesetzt, da in der jeweiligen Spalte mehr als ein Koeffizient ungleich 0 ist. Das ist erlaubt, wenn 0 eine zulässige Lösung der jeweiligen Variablen ist. Die abgelesene Lösung ist jedoch nicht zulässig, da die Schlupfvariablen s2 und s3 negativ sind, was der Eingangsvoraussetzung widerspricht. Jede abgelesene Basislösung legt einen Betriebspunkt des zu optimierenden Systems fest. Die Werte der Basisvariablen lassen sich direkt aus dem Simplextableau ablesen. Die Werte Schlupfvariablen geben den Abstand des Betriebspunktes zu der jeweiligen Grenze an. Im Fall einer "Kleiner gleich" Bedingung" ist die Ressource um den Wert der Schlupfvariablen noch nicht ausgenutzt. Wären nicht andere Einschränkungen gegeben oder würde die Optimierung weiter verfolgt, könnte dieses Kapazität noch zusätzlich genutzt werden. Im Fall einer "Größer gleich" Bedingung besteht noch Minimierungspotential. Von der Ressource wird noch mehr genutzt, als die Nebenbedingung fordert. Dieses "Mehr" wird durch den Wert der Schlupfvariablen beschrieben.

9 Skript Lineare Programmierung Seite 9 4 Standardmaximierung mit dem Simplexverfahren Der Algorithmus für die Standardmaximierung verläuft in acht Schritten. 1 Anfangstableau Im ersten Schritt wir das Anfangssimplextableau aufgestellt und die zugehörige Basislösung ermittelt. 2 Zulässigkeitsprüfung Jetzt wird geprüft, ob die Basislösung, der Startpunkt, zulässig ist. Sollte dies nicht der Fall sein, müssen wir zunächst eine zulässige Basislösung suchen. Dies ist im Kapitel "2 Phasen Simplexalgorithmus" beschrieben. 3 Optimalitätstest Mit dem Optimalitätstest stellen wir fest, ob der optimale Punkt erreicht ist, oder ob weitere Optimierungsschritte erforderlich sind. Wir prüfen, ob alle Koeffizienten in der Zielfunktionszeile 0 sind. Ist dies der Fall, kann die Optimierung beendet werden, wenn eine zulässige Basislösung vorliegt. 4 Pivotspalte suchen Nun suchen wir die Pivotspalte, mit welcher der nächste Optimierungsschritt durchgeführt werden soll. Wir wählen diejenige Spalte, deren Koeffizient in der Zielfunktionszeile den kleinsten Wert trägt. 5 Lösbarkeitstest Sind alle Koeffizienten in der gewählten Spalte 0 ist das Optimierungsproblem unbeschränkt. Ist dieser Lösbarkeitstext nicht erfüllt, müssen noch weitere Nebenbedingungen gesucht werden und ein neues Anfangstableau aufgestellt werden. 6 Pivotzeile suchen Die Pivotzeile finden wir, indem wir diejenige Zeile auswählen, welche den kleinsten nicht negativen Quotienten aus Rechter Seite und Koeffizient der Pivotspalte trägt. Die Zielfunktionszeile darf nicht als Pivotzeile ausgewählt werden. 7 Pivotschritt durchführen Das Pivotelement ist derjenige Koeffizient, der sich im Schnittpunkt von Pivotspalte und Pivotzeile befindet. Ein Pivotschritt wird durchgeführt, indem die Pivotzeile mit dem Kehrwert des Pivotelements multipliziert wird und anschließend alle Koeffizienten der Pivotspalte in den übrigen Zeilen durch Addition eines Vielfachen der Pivotzeile eliminiert werden. 8 Gehe zu Schritt 3.

10 Skript Lineare Programmierung Seite 10 5 Standardminimierung mit dem Simplexverfahren Die Standardminimierung funktioniert analog der Maximierung. Lediglich die Punkte Optimalitätstest und Pivotspaltensuche unterscheiden sich. 3 Optimalitätstest Wenn alle Koeffizienten in der Zielfunktionszeile 0 sind, ist der optimale Punkt erreicht. 4 Pivotspalte suchen Der größte Koeffizient in der Zielfunktionszeile zeigt die Pivotspalte an.

11 Skript Lineare Programmierung Seite 11 6 Der Zweiphasen Simplexalgorithmus In vielen Fällen, z.b. immer wenn eine Untergrenze > 0 besteht, ist der Startpunkt (0,0, ) unzulässig. In diesen Fällen lesen wir eine Schlupfvariable < 0 aus dem Anfangstableau ab. Wir müssen dann zunächst einen zulässigen Startpunkt suchen. Bezeichn z Hockey Tennis 100 Hock 100 Tenn Lackieru Montage max Tenn R min min Lackieru Montage max Tenn Zielfunk Die Basislösung: (0, 0; -100, -100, 2500, 1500, 1100) ist unzulässig 1 Wir suchen in einer ersten Phase eine zulässige Basislösung. 2 In der zweiten Phase wird die Lösung mit dem Standardverfahren ermittelt. 6.1 Phase 1 Suche nach einem Startpunkt Dazu fügen in das Tableau Hilfsvariable ein in denjenigen Zeilen ein, in denen eine negative Lösung für Schlupfvariable abzulesen ist. 1 Aufstellen des Anfangssimplextableaus. In jeder Zeile, in der eine Schlupfvariable subtrahiert wird, ist eine Hilfsvariable a i zu addieren. 2 Ersetzen der Hilfsfunktion durch die Summe aller Hilfsvariablen z* = a 1 + a Durch Addition aller Zeilen mit Hilfsvariablen zur Hilfszielfunktionszeile bringen wir alle Einträge der Hilfsvariablen in der Hilfszielfunktionszeile auf Null. 4 Minimieren der Hilfszielfunktion z* mit dem Standardverfahren. 5 Im Minimum von z* gibt es 3 Möglichkeiten: a z* min = 0 und keine Hilfsvariable ist Basisvariable gehe zu Punkt 6. b z* min = 0 und eine Hilfsvariable ist Basisvariable Durch geeignete Pivotschritte können alle Hilfsvariablen zu Nichtbasisvariablen gemacht werden. z* soll dabei unverändert bleiben. Gehe zu Punkt 6. c z* min < 0 Der zulässige Bereich ist leer. 6 Streiche die Spalten der Hilfsvariablen aus dem Tableau und setze die ursprüngliche Zielfunktion z ein. 7 Durch Addition von Vielfachen geeigneter Zeilen bringen wir alle Einträge der Basisvariablen in der Zielfunktionszeile auf Null.

12 Skript Lineare Programmierung Seite 12 Beispiel: Phase 1: 2 zusätzliche Hilfsvariablen Anfangszustand Bezeichnun z Hockey Tennis 100 Hock 100 Tenn Lackieru Montage max Tenn a1 a2 R q Faktor min 100 Ho min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (0, 1) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 Hock 100 Tenn Lackieru Montage max Tenn a1 a2 R q Faktor min 100 Ho min 100 Te ######## 0.00 Lackierung Montage max Tennis ######## 0.00 Zielfunkt Basislösung z = Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = 0.00 Lackierung = Montage = max Tennis = a1 = 0.00 a2 = Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (1, 2) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 Hock 100 Tenn Lackieru Montage max Tenn a1 a2 R q Faktor min 100 Ho ######## 0.00 min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt Basislösung z = 0.00 Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = 0.00 Lackierung = Montage = max Tennis = a1 = 0.00 a2 = 0.00 Dies ist der neue Startpunkt für die Minimierung mit dem Standardverfahren.

13 Skript Lineare Programmierung Seite 13 7 Sonderfälle 7.1 Unendlich viele Lösungen Wenn die Zielfunktion parallel zu einer Einschränkung verläuft, welche zwei gleichwertige optimale Punkte verbindet, so gibt es unendlich viele Lösungen. Im Tableau kann dann noch ein Pivotschritt ausgeführt werden, ohne dass sich der Wert der Zielfunktion ändert. 7.2 Degenerierte Basislösung Eine Basislösung heißt degeneriert, wenn eine der Basisvariablen gleich Null ist. 7.3 Unbeschränkter zulässiger Bereich Der Bereich ist nach mindestens einer Richtung unbeschränkt. Im Simplextableau wird dies durch eine Pivotspalte angezeigt, in der alle Koeffizienten mit Ausnahme der Zielfunktion den Wert Null haben, also kein Pivotschritt mehr durchgeführt werden kann. 7.4 Leerer zulässiger Bereich Zwei oder mehr Bedingungen widersprechen sich. In Phase 1 kann die Hilfszielfunktion nicht auf den Wert Null gebracht werden.

14 Skript Lineare Programmierung Seite 14 8 Links zu weiteren Skripten [leydold] [unimz] [dresden]

15 Skript Lineare Programmierung Seite 15 9 Beispiele 9.1 Beispiel: Papiermühle: Standardmaximierung Eine Papiermühle produziert 2 Sorten Papier P1 und P2. Der Deckungsbeitrag beträgt 10 GE für P1 und 7,50GE für P2. Für P1 wird 1T Altpapier benötigt, für P2 0,6T. Es stehen maximal 15T Altpapier zur Verfügung. Von der Sorte P2 können maximal 20T abgesetzt werden. Alle Angaben beziehen sich auf eine Periode. Maximiere den Gewinn. Die q und die Faktorspalten gehören zum jeweils vorhergehenden Tableau. Anfangszustand ---- Gewinn PSorte 1 PSorte 2 Altpapie Absatz P R q Faktor Altpapier Absatz Zielfunkt Gewinn = 0.00 PSorte 1 = 0.00 PSorte 2 = 0.00 Altpapier = Absatz P2 = Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (0, 1) ---- Gewinn PSorte 1 PSorte 2 Altpapie Absatz P R q Faktor Altpapier Absatz ######## 0.00 Zielfunkt Gewinn = PSorte 1 = PSorte 2 = 0.00 Altpapier = 0.00 Absatz P2 = Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (1, 2) ---- Gewinn PSorte 1 PSorte 2 Altpapie Absatz P R q Faktor Altpapier Absatz Zielfunkt Gewinn = PSorte 1 = 3.00 PSorte 2 = Altpapier = 0.00 Absatz P2 = 0.00 Gewinn = PSorte 1 = 3.00 PSorte 2 = Altpapier = 0.00

16 Skript Lineare Programmierung Seite Beispiel: Automobilhersteller: 2 Phasen Maximierung 1. Ein Automobilhersteller produziert 2 Typen von PKW, das Luxusmodell Tennis und das einfachere Modell Hockey. Beide Fahrzeuge basieren auf der gleichen Plattform und benötigen deshalb dieselbe Montagezeit. Allerdings wird der Tennis in einer aufwendigen Zweifarbenlackierung ausgeliefert, welche die doppelte Lackier- Zeit des Hockey benötigt. Die folgenden Angaben beziehen sich auf eine Periode: In der Lackiererei besteht Kapazität für 2500 Hockey, in der Montage für 1500 Fahrzeuge dieses Typs. Die Marketingabteilung der Firma hat festgestellt, dass von jedem Fahrzeugtyp mindestens 100 Stück je Periode hergestellt werden müssen, um das Marktsegment zu sichern. Jedoch können maximal 1100 Tennis abgesetzt werden. Der Gewinn liegt bei 30GE (Gewinneinheiten) je Hockey und bei 40GE je Tennis. Maximieren Sie den Gewinn je Periode. a. Skizzieren Sie die Problemstellung der Aufgabe in Bild 1. Wo vermuten Sie das Gewinnmaximum? Begründen Sie diese Vermutung. b. Stellen Sie das Gleichungssystem auf. c. Stellen Sie das Anfangstableau für die Optimierung mit dem Simplexverfahren auf. d. Optimieren Sie das Problem rechnerisch mit dem Simplexverfahren. Tragen Sie den Optimierungsweg in die Skizze ein. e. Interpretieren Sie die Lösung. f. Wo befindet sich das Gewinnmaximum, wenn für das Modell Tennis der Marktpreis einbricht, so dass der Gewinn auf 20 GE je Fahrzeug sinkt. Interpretieren Sie dazu die Skizze.

17 Skript Lineare Programmierung Seite 17 Absatz Hockey: Hockey >= 100 Absatz Tennis: Tennis >= 100 Absatz Tennis: Tennis 1100 Lackiererei: Hockey + 2 Tennis <= 2500 Montage: Hockey + Tennis <= 1500 Gewinn: Z -30 Hockey - 40 Tennis = Montage alt. Zielfunktion: nach Gewinneinbruch max. Tennis Tennis Lackierung min. Hockey Zielfunktion min. Tennis Hockey Bild 1: Optimierungsproblem Automobilproduktion (Formular für die Skizze)

18 Skript Lineare Programmierung Seite 18 Die q und die Faktorspalten gehören zum jeweils vorhergehenden Tableau. Phase 1: Ausgangsmatrix Bezeich z Hock Tenni 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min min Lackieru Montage max Tenn Zielfunk Phase 1: 2 zusaetzliche Hilfsvariablen Anfangszustand Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T a1 a2 R q Faktor min 100 Ho min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (0, 1) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T a1 a2 R q Faktor min 100 Ho min 100 Te ###### 0.00 Lackierung Montage max Tennis ###### 0.00 Zielfunkt z = Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = 0.00 Lackierung = Montage = max Tennis = a1 = 0.00 a2 = Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (1, 2) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T a1 a2 R q Faktor min 100 Ho ###### 0.00 min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt z = 0.00 Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = 0.00 Lackierung = Montage = max Tennis = a1 = 0.00 a2 = 0.00

19 Skript Lineare Programmierung Seite 19 Anfang 2. Phase Bezeichn z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min min Lackieru Montage max Tenn Zielfunk Phase Zielfunktion umgeformt, Basisvariable in Zielfunktionszeile eliminiert Bezeichn z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min min Lackieru Montage max Tenn Zielfunk Anfangszustand Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min 100 Ho min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (4, 4) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min 100 Ho ###### 0.00 min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt z = Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = Lackierung = Montage = max Tennis = 0.00 Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (2, 3) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min 100 Ho min 100 Te #### 0.00 Lackierung Montage max Tennis #### 0.00 Zielfunkt z = Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = Lackierung = 0.00 Montage = max Tennis = 0.00

20 Skript Lineare Programmierung Seite 20 Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 3, Pivotelement = (3, 7) Bezeichnun z Hockey Tennis 100 H 100 T Lack Mont max T R q Faktor min 100 Ho min 100 Te Lackierung Montage max Tennis Zielfunkt z = Hockey = Tennis = Hockey = Tennis = Lackierung = 0.00 Montage = 0.00 max Tennis = Der Gewinn beträgt 55000GE. Es werden 500 Hockey und 1000 Tennis hergestellt. Die Minimalmengen werden beim Hockey um 400, beim Tennis um 900 übertroffen. Die Kapazitäten in Montage und Lackiererei werden ausgenutzt. Es könnten aber noch 100 Tennis mehr abgesetzt werden, bevor der Markt gesättigt ist.

21 Skript Lineare Programmierung Seite Beispiel: Bauer Paul: Standardmaximierung Bauer Paul hat einen Acker von 40 ha Größe, wo er Zuckerrüben und Weizen anbaut. Er hat 2400 und 312 Arbeitstage im kommenden Jahr zur Verfügung. Die Anbaukosten pro Hektar Zuckerrüben liegen bei 40 und pro Hektar Weizen bei 120. Die Bearbeitungszeit pro Hektar Zuckerrüben sind 7 Tage und 12 Tage pro Hektar Weizen. Auf dem Markt erzielt Bauer Paul voraussichtlich einen Reingewinn von 100 pro angebautem Hektar Zuckerrüben und 250 pro angebautem Hektar Weizen. Bauer Paul möchte den Gewinn maximieren. Zuckerrüben + Weizen 40, da der Acker nur eine Größe von 40 ha hat 40 Zuckerrüben y 2400, da der Bauer nur 2400 hat 7 Zuckerrüben + 12 Weizen 312, da er nur 312 Tage arbeitet f(x,y)=-100 Zuckerrüben + (-250) Weizen soll minimiert werden Mit Schlupfvariablen Acker, Kosten, Zeit heißt das 1 Zuckerrüben + 1 Weizen + 1 Acker + 0 Kosten + 0 Zeit = Zuckerrüben Weizen + 0 Acker + 1 Kosten + 0 Zeit = Zuckerrüben + 12 Weizen + 0 Acker + 0 Kosten + 1 Zeit = 312 Die q und die Faktorspalten gehören zum jeweils vorhergehenden Tableau. Anfangszustand Bezeichnun z Rueben Weizen Acker Kosten Zeit R q Faktor Acker Kosten Zeit Zielfunkt Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (1, 2) Bezeichnun z Rueben Weizen Acker Kosten Zeit R q Faktor Acker Kosten Zeit Zielfunkt z = Rueben = 0.00 Weizen = Acker = Kosten = 0.00 Zeit = Simplextableau Maximierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (2, 1) Bezeichnun z Rueben Weizen Acker Kosten Zeit R q Faktor Acker Kosten Zeit Zielfunkt z = Rueben = Weizen = Acker = 4.00 Kosten = 0.00 Zeit = 0.00 Interpretation: Auf 24 Hektar werden Rüben, auf 12 Hektar wird Weizen angebaut. 4 Hektar bleiben brach oder können verpachtet werden. Da Kosten und Zeit ausgenutzt werden, müsste Bauer Paul Kredite aufnehmen und zusätzlich Personal einstellen oder Lohnbearbeitung einsetzen, um die restlichen 4 Hektar zu bearbeiten.

22 Skript Lineare Programmierung Seite Beispiel: Möbelhersteller, komplexe Minimierung Ein Möbelhersteller produziert hochwertige Betten, welche wegen ihrer hohen Belastbarkeit bevorzugt an exponierte Beamte und Angestellte öffentlicher Hochschulen abgesetzt werden. Für die Produktion eines Loses werden 16 Platten der Größe A, 12 Platten der Größe B, 8 Platten der Größe C, 4 Platten der Größe D benötigt. Der Hersteller wird mit 2 Plattentypen beliefert. Typ 1 lässt sich in je 2 Platten vom Typ A und je eine Platte der Typen B, C und E aufteilen. Typ 2 liefert je 2 Platten der Typen B und D sowie je 1 Platte der Typen A und C. Der Preis einer Platte vom Type 1 beträgt 300 ; eine Platte vom Typ 2 kostet 200. Aus betrieblichen Gründen sollen höchstens 12 Platten der Größe D und maximal 5 Platten der Größe E als Rest übrig bleiben. Von Typ A sind noch 6 Platten im Lager verfügbar. Optimieren Sie den Einkauf nach den Kosten unter Einhaltung der Randbedingungen. Gleichungssystem: 16 Platten vom Typ A: 2 T1 + T2 - mina = 16 6 = 10 6 Platten noch auf Lager 12 Platten vom Typ B: T1 + 2 T2 - minb = 12 8 Platten vom Typ C: T1 + T2 - minc = 8 4 Platten vom Typ D: 0 T1 + 2 T2 mind = 4 max D im Lager: 0 T1 + 2 T2 + maxd = = 16 4 Platten werden verbraucht max E im Lager: T1 + 0 T2 + maxe = 5 T1, T2, min* 0 Zielfunktion: z = 300 T T2 Phase 1: Ausgangsmatrix Bezeichn z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z Phase 1: 4 zusaetzliche Hilfsvariablen Anfangszustand Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 3 a4 R q Faktor A B C D D E Z

23 Skript Lineare Programmierung Seite 23 Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (3, 2) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 a3 a4 R q Faktor A B C D D E ###### 0.00 Z z = Typ 1 = 0.00 Typ 2 = 2.00 min A = 0.00 min B = 0.00 min C = 0.00 min D = 0.00 max D = max E = 5.00 a1 = 8.00 a2 = 8.00 a3 = 6.00 a4 = 0.00 Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (0, 1) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 a3 a4 R q Faktor A B C D ###### 0.00 D ###### 0.00 E Z z = 6.00 Typ 1 = 4.00 Typ 2 = 2.00 min A = 0.00 min B = 0.00 min C = 0.00 min D = 0.00 max D = max E = 1.00 a1 = 0.00 a2 = 4.00 a3 = 2.00 a4 = 0.00 Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 3, Pivotelement = (5, 3) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 a3 a4 R q Faktor A B C D ###### 0.00 D ###### 0.00 E Z z = 4.00 Typ 1 = 5.00 Typ 2 = 2.00 min A = 2.00 min B = 0.00 min C = 0.00 min D = 0.00 max D = max E = 0.00 a1 = 0.00 a2 = 3.00 a3 = 1.00 a4 = 0.00 Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 4, Pivotelement = (2, 6) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 a3 a4 R q Faktor A ###### 0.00 B C D D E Z z = 1.00 Typ 1 = 5.00 Typ 2 = 3.00 min A = 3.00 min B = 0.00 min C = 0.00 min D = 2.00 max D = max E = 0.00 a1 = 0.00 a2 = 1.00 a3 = 0.00 a4 = 0.00

24 Skript Lineare Programmierung Seite 24 Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 5, Pivotelement = (1, 5) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E a1 a2 a3 a4 R q Faktor A ###### 0.00 B C D D E Z z = 0.00 Typ 1 = 5.00 Typ 2 = 3.50 min A = 3.50 min B = 0.00 min C = 0.50 min D = 3.00 max D = 9.00 max E = 0.00 a1 = 0.00 a2 = 0.00 a3 = 0.00 a4 = 0.00 Die Hilfsvariablen a1, a2, a3 sind minimiert. Der Wert der Hilfszielfunktion ist 0. Damit ist die 1. Phase beendet. Anfang 2. Phase Bezeichn z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z Die Koeffizienten in der ursprünglichen Zielfunktion sind noch auf den Ursprung Typ1 = 0 und Typ2 = 0 ausgerichtet. Wir müssen die Zielfunktion umformen, indem wir mit der Zielfunktion geeignete Pivotschritte durchführen, um die Koeffizienten in den Spalten der Basisvariablen auf den Wert Null bringen. 2. Phase Zielfunktion umgeformt Bezeichn z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z Wir lesen jetzt die Basislösung ( 5, 3.5; 3.5, 0, 0.5, 3, 9, 0) ab. Diese Lösung ist mathematisch zulässig, funktional aber nicht, da wir keine halben Platten verbauen. Zu Beginn der Optimierung stört das jedoch nicht. Wir bestellen demnach 5 Platten des Typs 1 und 3.5 Platten des Typs 2. Damit haben wir 3.5 Platten des Typs A, 0.5 Platten des Typs B und 3 Platten des Typs D zu viel. Die Menge für Typ C reicht genau für die Produktion eines Loses. Wir können noch 9 zusätzliche Platten von Typ D lagern. Die Lagerkapazität für Typ E ist ausgeschöpft. Die Kosten z für die Platten betragen 2200

25 Skript Lineare Programmierung Seite 25 Anfangszustand Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 1, Pivotelement = (1, 8) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z z = Typ 1 = 4.00 Typ 2 = 4.00 min A = 2.00 min B = 0.00 min C = 0.00 min D = 4.00 max D = 8.00 max E = 1.00 Der Möbelhersteller beschafft 4 Platten des Typs 1 sowie 4 Platten des Typs 2. Von Typ A bleiben 2, von Typ C 4 Platten übrig. Typ B und C werden genau in der benötigten Menge produziert. Die verfügbare Lagerkapazität für D beträgt 4, für E 1 Platte. Die Kosten betragen Simplextableau Minimierung in Pivotschritt 2, Pivotelement = (5, 4) Bezeichnun z Typ 1 Typ 2 min A min B min C min D max D max E R q Faktor A B C D D E Z z = Typ 1 = 2.00 Typ 2 = 6.00 min A = 0.00 min B = 2.00 min C = 0.00 min D = 8.00 max D = 4.00 max E = 3.00 Interpretation: Der Möbelhersteller kauft 2 Platten vom Typ 1 und 6 Platten vom Typ 2. Die Kosten für die Platten betragen Dabei bleiben 2 Platten vom Typ B, 8 Platten von Typ D und (5 2) = 3 Platten vom Typ E übrig. Nach Ausführung des Auftrags beträgt die verfügbare Lagerkapazität für Platten vom Typ D 4 Platten und vom Typ E 3 Platten.