Linear Systems and Least Squares
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- Elke Sachs
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1 Linear Systems and Least Squares Vortragender: Gelin Jiofack Nguedong Betreuer: Prof. Dr. Joachim Weickert Proseminar: Matrixmethoden in Datenanalyse und Mustererkennung Wintersemester 2015/ November
2 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
3 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
4 Gaußsches Eliminationsverfahren Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Carl Friedrich Gauß 18. November
5 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel Pivotierung LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung 18. November
6 Beispiel Lineares Gleichungssystem Ax=b mit drei Gleichungen: Algorithmus zur Berechnung der Variablen x i : 1. Vorwärtselimination, 2. Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution). 18. November
7 Beispiel Zur besseren Übersichtlichkeit, erweiterte Koeffizientenmatrix Hinweis: Kontrolle durch Zeilensumme 18. November
8 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel Pivotierung LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung 18. November
9 Pivotierung Im Allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen durchführbar. Beispiel: Ersetze 1 durch 0 Wie löse ich das??? 18. November
10 Pivotierung Ich weiß!!! 18. November
11 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel Pivotierung LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung 18. November
12 LR-Zerlegung Lineares Gleichungssystem Ax=b mit LR-Zerlegung: 1. Zerlege A = L. R mit dem Gauß-Algorithmus 2. Löse Ax = LRx = b in zwei Schritten: Löse Ly = b durch Vorwärtssubstitution Löse Rx = y durch Rückwärtssubstitution Aufwand: Beispiel: das heißt 18. November
13 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel Pivotierung LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung 18. November
14 Cholesky-Zerlegung Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix und deren Transponierter. (LR-Zerlegung ohne Pivotierung) Positiv definite Matrix L untere Dreiecksmatrix mit Diagonalelemente = 1 D Diagonalmatrix mit positiven Einträgen 18. November
15 Cholesky-Zerlegung Mit und Neue Formulierung der Cholesky-Zerlegung: Gleichungssystem Ax=b effizient durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen lösbar: Durch Vorwärtseinsetzen Lösung des LGS Durch anschließendes Rückwärtseinsetzen Lösung des LGS 18. November
16 Cholesky-Zerlegung Berechnung Formeln Aufwand: 18. November
17 Cholesky-Zerlegung Beispiel: mit Durch Gleichsetzen der Matrixelemente folgt: Schließlich und 18. November
18 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
19 Kondition Abhängigkeit der Lösung eines Problems von der Störung der Eingangsdaten. Abschätzung der Kondition von Matrizen durch die größtmögliche Verzerrung der Einheitskugel Vektoren ungleich 0 und auf die Null abgebildet, dann κ=. Für reguläre Matrizen unter Verwendung der natürlichen Matrixnorm: 18. November
20 Kondition Interpretation: Konditionszahl κ deutlich größer als 1 => Sonst, gut konditioniertes Problem Konditionszahl unendlich => schlecht gestelltes Problem schlecht konditioniertes Problem 18. November
21 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
22 Bandmatrix Matrix mit bestimmter Anzahl Nebendiagonalen Elemente ungleich null neben der Hauptdiagonalen A Bandmatrix der Bandbreite w = p + q + 1, wenn für a ij gilt: 18. November
23 Bandmatrix Tridiagonalmatrix quadratische Matrix mit Hauptdiagonalen und zwei Nebendiagonalen Einträgen unglich null. (mit p = q = 1) 18. November
24 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
25 Methode der kleinsten Quadrate Zu einer Datenpunktwolke eine Kurve möglichst nahe an den Datenpunkten. In der Stochastik als Schätzmethode in der Regressionsanalyse. Beispiel: 18. November
26 Übersicht Gaußsches Eliminationsverfahren Kondition Bandmatrix Methode der kleinsten Quadrate Literaturverzeichnis 18. November
27 Literaturverzeichnis Lars Elden: Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition. SIAM, Philadelpia, Wikipedia Mathepedia November
28 Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit 18. November
Lineare Gleichungssysteme und die Methode der kleinsten Quadrate
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