Lineare Gleichungssysteme

Transkript

1 Lineare Gleichungssysteme 6. Vorlesung Numerische Methoden I Clemens Brand 25. März 2010 Nachträge

2 Gliederung Nachträge it Nachträge

3 Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien 8 16 der letzten Vorlesung Lösbarkeit: Drei Fälle sind möglich Rang der (erweiterten) Matrix, Determinante MATLAB-Befehle, rank, det Berechnen der Lösung in MATLAB: wann wie? mit x=a\b mit ([A,b]) mit Pseudoinverser: x=pinv(a)*b was liefert null(a)? warum löst man nicht in der Form x = A 1 b? Nachträge

4 Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien der letzten Vorlesung : misst, wie empfindlich die Lösung von kleinen Fehlern in Matrix rechter Seite abhängt. Zum Verständnis notwendige Begriffe: Matix- Vektornorm Schlecht konditionierte Matrix; numerisch singuläre Matrix Nachträge

5 Eine Zusammenfassung der Folien der letzten Vorlesung Jacobi Gauß-Seidel SOR (successive overrelaxation) Wichtig Die unterschiedlichen Formulierungen: anschauliche Erklärung, Index- Matrix-Schreibweise. Nachträge

6 Gridee: matrix splitting Spalte Matrix auf in einfache Näherung + Rest. A = Ã+E Wenn Gleichungssystem mit Matrix A nicht leicht lösbar ist, ersetze A durch eine Matrix Ã, mit der es leichter geht. Forme um, so dass nur System mit à zu lösen ist der Rest auf der anderen Seite steht Fixpunkt-Gleichung! Ax = b (Ã+E)x = b Ãx+Ex = b Ãx = b E x diese Gleichung lösen! Nachträge Jacobi- wählt à = D Gauß-Seidel- wählt à = L SOR- wählt à = L+( 1 ω 1)D

7 Iteration, Grschema Ablaufschema einer Iteration in einem Rechenprogramm Diese Formulierung entspricht nicht ganz der Fixpunkt-Form der vorigen Folie, ist aber mathematisch äquivalent. Vorteil: Residuum (Rest-, Fehlervektor) Änderung werden in jedem Schritt mitberechnet) Beginne mit Startvektor x (0) setze r (0) = b Ax (0) iteriere für k = 0, 1, 2,... löse Ãd (k+1) = r (k) setze x (k+1) = x (k) + d (k+1) setze r (k+1) = r (k) Ad (k+1) bis r (k+1) < ǫ Ergebnis: Näherungslösung x (k+1) Nachträge

8 Gleichungslöser wichtige Grideen uns fehlt die Zeit, genauer drauf einzugehen, aber wenigstens sehen Sie hier einige Schlagwörter... gute Splittings Präkonditionierer Skript Minimieren des Residuums Skript Orthogonalisieren. Klassische CG GMRES Skript Mehrgitter- Nachträge

9 Gleichungssysteme mit sind direkt auflösbar Beispiel für n = 4: Linke untere rechte obere Dreiecksmatrix r 11 r 12 r 13 r 14 L = l l 31 l , R = 0 r 22 r 23 r r 33 r 34 l 41 l 42 l r 44 Vorwärts- bzw. Rückwärts-Substitution löst Gleichungssysteme mit Dreiecksform. Rechenaufwand bei einem n n-system beträgt jeweils n 2 /2+O(n) Punktoperationen. Nachträge

10 Klassische transformiert ein Gleichungssystem auf obere Dreiecksform (sofern bei der Pivot-Berechnung immer a kk 0!) Für alle Spalten k = 1,...n 1 in Spalte k: für Zeilen unterhalb des Diagonalelements Zeilenindex i = k + 1,...,n setze p = a ik /a kk (Pivot-Koeffizient) subtrahiere das p-fache derzeile k von Zeile i: Für die Spalten j = k,...n von Zeile i a ij = a ij pa kj Für rechte Seite: b i = b i pb k Nachträge Rechenaufwand beträgt n 3 /3+O(n 2 ) Punktoperationen

11 Beispiel Lösung eines Gleichungssystems durch Elimination Das Gaußsche Eliminationsverfahren transformiert sofern bei der Pivot-Berechnung immer a kk 0! die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt [Ab] = Rücksubstitution liefert Lösung. Nachträge

12 Warnhinweis If anything can go wrong, it will! Das Eliminationsverfahren in der oben angegebenen einfachen Form bricht zusammen, wenn in seinem Verlauf a kk = 0 auftritt. Division durch Null bei der Berechnung des Pivot-Koeffizienten. Abhilfe! Pivot = Dreh-, Angelpunkt. Nachträge

13 Systematisches Vertauschen von Gleichungen Unbekannten verhindert vorzeitige Division durch a kk = 0 im Eliminationsverfahren. vollständige Sucht betragsgrößtes Element unter allen Einträgen in den Positionen von a kk bis a nn bringt es an die kk-position. Vertauscht Gleichungen Unbekannte. Spalten- Sucht nur in der k-ten Spalte, vom Element a kk an abwärts. Vertauscht nur Geichungen, behält Reihenfolge der Unbekannten. Standardverfahren!. Zusatz-Nutzen verringert Rungsfehler bei der Elimination. Nachträge

14 Lösbarkeit Mögliche Fälle nach Abschluss des Eliminationsverfahrens mit vollständiger oder Zeilen-Pivotsuche transformiert die Originalmatrix A rechte Seite b auf ein System in : In jeder Zeile verringert sich die Zahl der Unbekannten um mindestens eine, die dann auch in den darauffolgenden Zeilen nicht mehr vorkommt. Nach Transformation auf Es treten Nullzeilen in A auf alle entsprechenden Einträge in b sind ebenfals Null: unendlich viele Lösungen Es treten Nullzeilen in A auf, aber zumindest ein entsprechender Eintrage in b ist nicht Null: keine Lösung Es treten keine Nullzeilen in A auf: eindeutige Lösung Nachträge

15 Gauß-Jordan- Eine erweiterte Variante der Standard- Das Gauß-Jordan- transformiert die erweiterte Koeffizientenmatrix auf reduzierte (reduced row echelon form). Die Lösung ist direkt ablesbar [Ab] = , ([A,b]) /20 21/10 [Ab] = , ([A,b]) 0 1 9/8 3/ /20 0 [Ab] = , ([A,b]) 0 1 9/