3. Lineare Gleichungssysteme

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1 3. Lineare Gleichungssysteme Problemstellung Direkte Verfahren Normen und Fehleranalyse Iterative Verfahren Konvergenz von linearen Iterationsverfahren Gradienten-Verfahren Vorkonditionierung 3. Lineare Gleichungssysteme 1 / 38

2 3.1. Problemstellung lineares Gleichungssystem (GLS) gegeben : Matrix A R n n, d.h. A = (a i,j ) n i,j=1, det(a) 0 Vektor b R n, d.h. b = (b 1,..., b n ) T gesucht : Lösungsvektor x R n, d.h. x = (x 1,..., x n ) T, so dass n Ax = b, d.h. a i,j x j = b i i = 1,..., n j=1 Lösung über Determinanten kostet zu viele Operationen (ca. (n + 1)! ) : x i = 1 det(a) det(a(1),..., a (i 1), b, a (i+1),..., a (n) ), (21! 5.1 e+19) 3. Lineare Gleichungssysteme 2 / 38

3 3.2. Direkte Verfahren Definition (3.1. direkte & iterative Verfahren ) Bei einem direkten Verfahren erhält man die exakte Lösung x (bis auf Rundungsfehler) nach Ausführung einer endlichen Anzahl von Operationen. Bei einem iterativen Verfahren erhält man die exakte Lösung x nur als Grenzwert einer Folge von Näherungsvektoren x (k), k = 1, 2,.... Beispiel für direktes Verfahren : Gauß-Algorithmus (steht in engem Zusammenhang mit folgender Zerlegung der Matrix A ) : u.. k,j A =. l..... i,k Lineare Gleichungssysteme 3 / 38

4 LU-Zerlegung Definition (3.2.) untere Dreiecksmatrix (lower triangular matrix ) : L = (l i,j ) mit l i,j = 0 j > i obere Dreiecksmatrix (upper triangular matrix ) : U = (u i,j ) mit u i,j = 0 j < i LU-Zerlegung : A R n n besitzt eine LU-Zerlegung, wenn eine untere Dreiecksmatrix L R n n und eine obere Dreiecksmatrix U R n n existieren, so dass A = LU. Eindeutigkeit der LU-Zerlegung im Fall det(a) 0 : wenn l i,i = 1 i, dann ist die LU-Zerlegung von A eindeutig 3. Lineare Gleichungssysteme 4 / 38

5 Lösung des GLS über LU-Zerlegung angenommen, die LU-Zerlegung von A sei bekannt für die Lösung x des GLS Ax = b gilt dann: Ax = L( }{{} Ux ) = b =:y Lösungsverfahren : 1.) bestimme y durch Lösung von Ly = b (vorwärts einsetzen) 2.) bestimme x durch Lösung von Ux = y (rückwärts einsetzen) vorwärts einsetzen, d.h. löse Ly = b in R n Start : y 1 = b 1 /l 1,1 Schleife: for i = 2 : n ( y i = b i i 1 j=1 l i,j y j )/l i,i end rückwärts einsetzen bei Ux = y analog : Start mit x n = y n /u n,n 3. Lineare Gleichungssysteme 5 / 38

6 Berechnung der LU-Zerlegung (Gauß-Elimination) Idee : erzeuge im Ergebnis des k -ten Schrittes eine Matrix A (k+1) mit Nullen in Spalte k unterhalb der Hauptdiagonalen, wobei k = 1, 2,..., n 1 : A =: A (1) A (2) A (k) A (k+1) A (n 1) A (n) = U Algorithmus : k - ter Schritt : A (k) A (k+1) (Start : A (1) := A ) übernehme fertige Zeilen i k : a (k+1) i,j := a (k) i,j setze Pivot-Element: p k := a (k) k,k ( Vor. p k 0 ) für jede Transformationszeile i > k : li,k := a (k) i,k /p k ( speichern in L ; setze l k,k := 1 ) { 0 Spalten j k a (k+1) i,j := a (k) i,j l i,k a (k) k,j Spalten j > k j = 1,..., n 3. Lineare Gleichungssysteme 6 / 38

7 Spalten-Pivotisierung Beispiel : löse Ax = b (Genauigkeit: b = 10, l = 4 ) [A b] = [A (1) b (1) ] = [A (2) b (2) ] = [ [ e e+4 ] ] x 2 = 1 x 1 = 0 aber : exakte Lösung : x 2 = x 1 = große Empfindlichkeit in Bezug auf Rundungsfehler Abhilfe : besseres Pivotelement durch vorherigen Zeilentausch, d.h. suche in Spalte k ab der Hauptdiagonalen das betragsmäßig größte Pivotelement 3. Lineare Gleichungssysteme 7 / 38

8 Gauß-Algorithmus mit Spalten-Pivotisierung Start: A (1) := A und z (1) i := i i (Permutationsvektor) Schritt: A (k) A (k+1) ( Ziel: Nullen in Spalte k ) wähle in Spalte k den Zeilenindex r, so dass a (k) r,k = max k i n a(k) i,k tausche Zeile r und k : A (k) Ã(k) und z (k) z (k+1) mit a (k) r,j, i = k z (k) r, i = k ã (k) i,j := a (k) k,j, i = r und z (k+1) i := z (k) k, i = r a (k) i,j, sonst z (k) i, sonst wende Gauß-Elimination auf Ã(k) an: Ã (k) A (k+1) 3. Lineare Gleichungssysteme 8 / 38

9 Modifizierte LU-Zerlegung Theorem (3.3 modifizierte LU-Zerlegung) Vor.: Matrix A R n n ist regulär, d.h. det(a) 0 Beh.: Gauß-Elimination mit Spalten-Pivotisierung ist durchführbar und mit U = A (n), L = (l i,k ) und 1, j = z (n) i P = (P i,j ), P i,j = 0, j z (n) i gilt: P A = L U Lösung von Ax = b : PAx = Pb L( Ux ) = Pb =: b Schritt 1: löse Ly = b, wobei bi = b j mit j = z (n) i Schritt 2: löse Ux = y 3. Lineare Gleichungssysteme 9 / 38

10 Zeilenäquilibrierung Einfluß auf die Genauigkeit der Lösung von Ax = b hat die Zahl cond(a) := Konditionszahl von A (Def. später) zur Verbesserung von cond(a) : multipliziere Zeile i von A mit Faktor d i d i := 1 s i, wobei s i := n a i,j (Betrags-Zeilensumme) j=1 neue Matrix : à = (ã i,j) mit ã i,j := d i a i,j oder kurz: d à = D A wobei D := (Diagonalmatrix) 0... d n Übergang zum skalierten GLS : Ax = b }{{} DA x = }{{} Db à b 3. Lineare Gleichungssysteme 10 / 38

11 Andere direkte Verfahren Cholesky - Zerlegung : Vor.: Matrix A ist symmetrisch und positiv definit, d.h. alle Eigenwerte von A sind positiv Beh.: untere Dreiecksmatrix L mit A = L L T Vorteil : man spart Speicherplatz im Vergleich zur LU-Zerlegung QR - Zerlegung : Vor.: Matrix A ist regulär, d.h. det(a) 0 Beh.: orthogonale Matrix Q (d.h. Q 1 = Q T ) und obere Dreiecksmatrix R mit A = Q R Vorteil : keine Verstärkung von Rundungsfehlern 3. Lineare Gleichungssysteme 11 / 38

12 3.3. Normen und Fehleranalyse Definition (3.4. Vektor-Normen) Sei V ein linearer Vektorraum. Eine Norm auf einem Vektorraum V ordnet jedem Element u V eine Maßzahl u 0 zu und genügt folgenden Axiomen: (A1) u = 0 genau dann, wenn u = 0 V (0 V = Nullelement in V ) (A2) λu = λ u λ R, u V (A3) u + v u + v u, v V (Dreiecks-Ungleichung) konkrete Vektor-Normen für x = (x 1,..., x n ) T R n : x 1 := n j=1 x j (l 1 -Norm) x 2 := ( n j=1 x j 2 ) 1/2 (l 2 -Norm, Euklidische Norm) x := max 1 j n x j (l -Norm, Maximum-Norm) 3. Lineare Gleichungssysteme 12 / 38

13 Matrix-Normen Sei A R n n eine n n - Matrix. Definition (3.5. Matrix-Normen) Für eine gegebene Vektor-Norm auf R n ist die zugeordnete Matrix-Norm definiert als: A := Ax sup 0 x R n x Formeln für konkrete Matrix-Normen von A = (a i,j ) R n n : n A 1 := max 1 j n i=1 a i,j (Spaltensummen-Norm) ( ) 1/2 ( 1/2 A 2 := λ max (AA T ) = λ max (A A)) T (Spektral-Norm) A := max 1 i n n j=1 a i,j (Zeilensummen-Norm) Bem. : λ max (M) := größter Eigenwert von M (Vor.: M T = M) 3. Lineare Gleichungssysteme 13 / 38

14 Eigenschaften von Vektor- und Matrix-Normen Lemma (3.6. Norm-Abschätzungen) Seien A, B R n n beliebige n n - Matrizen und x R n ein beliebiger Vektor. Ferner bezeichne eine beliebige Vektor-Norm bzw. die zugeordnete Matrix-Norm. Dann gilt stets: Ax A x AB A B Definition (3.7. Konditionszahl (condition number)) Sei A R n n eine reguläre Matrix (d.h. A 1 ) und eine zugeordnete Matrix-Norm. Dann heißt die Zahl cond(a) := A A 1 die Konditionszahl von A (bezüglich der Norm ). 3. Lineare Gleichungssysteme 14 / 38

15 Fehleranalyse für die Lösung von Ax = b sei x = fehlerbehaftete Lösung von Ax = b mit Fehlervektor x := x x Frage : wie kann man x abschätzen? berechenbar ist das Residuum r von x definiert als : r := A x b dann gilt für den absoluten Fehler : 1 A r x A 1 r für den relativen Fehler gilt : 1 cond(a) r b x x cond(a) r b 3. Lineare Gleichungssysteme 15 / 38

16 Bedeutung der Konditionszahl Problem : löse Ax = b Daumenregel angenommen: cond(a) 10 s seien die relativen Fehler der Rechnung in der Größenordnung 10 k, (z.b in Matlab), also r / b 10 k dann muß man mit folgendem relativen Fehler in der Lösung rechnen: x x 10 (k s), man verliert also etwa s - Stellen an Genauigkeit 3. Lineare Gleichungssysteme 16 / 38

17 3.4. Iterative Verfahren warum iterativ? bei der Diskretisierung partieller DGL entstehen große Gleichungssysteme (mehr als Unbekannte), die aber nur schwach besetzt sind, d.h. weniger als 5 % NNE (Nicht - Null - Elemente) in der Matrix bei direkten Verfahren kommt es zu einer Auffüllung ( fill in ) mit NNE und damit zu einem hohen Speicherplatz-Bedarf bei iterativen Verfahren braucht man nur die NNE speichern iteratives Prinzip : Start k = 0 : wähle Startnäherung x (0) R n Schritt k 1 : x (k) x (k+1) verbessere Näherung x (k) Abbruch : wenn Ax (k) b < TOL 3. Lineare Gleichungssysteme 17 / 38

18 Allgemeines lineares Iterationsverfahren allgemeines lineares Iterationsverfahren Problem: finde Lösung x R n Start: wähle Startvektor x (0) R n des GLS Ax = b Iterationsschritt k 0: berechne neue Näherung x (k+1) als: beachte : x (k+1) = x (k) + C 1( b Ax (k)) } {{ } Korrektur v (k) man berechnet nicht die Matrix C 1 und multipliziert dann mit dem Defekt-Vektor d (k) := b Ax (k), sondern man bestimmt den Korrektur-Vektor v (k) als Lösung des GLS: Cv (k) = d (k) 3. Lineare Gleichungssysteme 18 / 38

19 Das Richardson-Verfahren Verfahren allgemein : x (k+1) = x (k) + C 1( b Ax (k)) Richardson-Verfahren : wähle C := τ 1 I mit geeignetem Parameter τ > 0 ; dann ist C 1 = τi und x (k+1) = x (k) + τ ( b Ax (k)) Vorteil : sehr geringer Aufwand pro Iterationsschritt Nachteil : langsame Konvergenz x (k) x für k 3. Lineare Gleichungssysteme 19 / 38

20 (gedämpftes) Jacobi-Verfahren Dreickszerlegung von A : (nicht verwechseln mit LU-Zerlegung!!) A = L + D + U ( ) ( ) ( ) ( ) = (gedämpftes) Jacobi-Verfahren : wähle C := ω 1 D mit ω > 0 ; dann ist C 1 = ωd 1 Schritt k: x (k+1) = x (k) + ωd 1( b Ax (k)) bei ω = 1 spricht man vom klassischen Jacobi-Verfahren; bei ω < 1 vom gedämpften Jacobi-Verfahren Vor. : für D = (d i,j ) gilt d i,i = a i,i 0 i 3. Lineare Gleichungssysteme 20 / 38

21 praktikable Form des Jacobi-Verfahrens in der Praxis berechnet und speichert man nicht C 1 = ωd 1, sondern löst komponentenweise das GLS Cv (k) = d (k), d.h. ω 1 a 1, a n,n v (k) 1. v (k) n = d (k) 1. d (k) n Zeile i : ω 1 a i,i v (k) i v (k) i = d (k) i = ( b Ax (k)) i (Vor. : a i,i 0) = ω d (k) a i = ω ( b i i,i a i,i n j=1 ) a i,j x (k) j x (k+1) i = x (k) i + ω a i,i ( b i n j=1 ) a i,j x (k) j i = 1,..., n 3. Lineare Gleichungssysteme 21 / 38

22 Gauß-Seidel-Verfahren (SOR-Verfahren) nutze die Dreickszerlegung : A = L + D + U Gauß-Seidel-Verfahren (SOR-Verfahren) : ( ) wähle C := L + ω 1 0 D = C 1 = (L + ω 1 D) 1 Schritt k: x (k+1) = x (k) + (L + ω 1 D) 1( b Ax (k)) } {{ } Korrekturvektor v (k) Vor. : ω (0, 2) und a i,i 0 i bei ω = 1 spricht man vom Gauß-Seidel-Verfahren; bei ω > 1 vom SOR-Verfahren (Successive Over-Relaxation) bei ω < 1 von Unterrelaxation 3. Lineare Gleichungssysteme 22 / 38

23 praktikable Form des GS / SOR-Verfahrens in der Praxis berechnet und speichert man nicht (L + ω 1 D) 1, sondern löst das GLS (L + ω 1 D)v (k) = d (k), d (k) := b Ax (k) : ω 1 a 1, a n,1... ω 1 a n,n Zeile i :... v (k) i x (k+1) i = x (k) i ω 1 a i,i v (k) i = d (k) i j<i a i,j = ω (k) d a i = ω ( b i i,i a i,i j<i + ω a i,i ( b i j<i a i,j x (k+1) j v (k) 1. v (k) n = d (k) 1. d (k) n v (k) j }{{} bereits berechnet j i a i,j x (k+1) j ) a i,j x (k) j =: j i d (k) i ) a i,j x (k) j i = 1,..., n 3. Lineare Gleichungssysteme 23 / 38

24 3.5. Konvergenz von linearen Iterationsverfahren allgemeines Verfahren : x (k+1) = x (k) + C 1( b Ax (k)) x (k+1) = φ ( x (k)) wobei φ : R n R n definiert ist als: φ(x) := }{{} x +C 1 (b Ax) = (I C 1 A) x + C 1 b }{{} =Ix =M Def. : Iterationsmatrix M des Verfahrens M := I C 1 A Kontraktivität von φ : R n R n : Ziel : q (0, 1) : φ(x) φ(y) q x y x, y R n φ(x) φ(y) = Mx + C 1 b My C 1 b = M(x y) M x y x, y R n φ ist kontraktiv auf R n, falls M < 1 3. Lineare Gleichungssysteme 24 / 38

25 Fehlerabschätzung aus dem Banach schen Fixp. Satz Theorem (3.8 Konvergenz linearer Iterationsverfahren) sei x exakte Lösung des GLS Ax = b sei beliebige Vektor- bzw. zugeordnete Matrix-Norm Vor. : für die Iterationsmatrix M = I C 1 A gelte M < 1 Beh. : das Iterationsverfahren x (k+1) = Mx (k) + C 1 b konvergiert für jeden Startvektor x (0) R n a priori Fehlerabschätzung : u. es gilt: x (k) x a posteriori Fehlerabschätzung : x (k) x M k 1 M x (1) x (0) M 1 M x (k) x (k 1) 3. Lineare Gleichungssysteme 25 / 38

26 Der Spektralradius Definition (3.9. Spektralradius einer Matrix) sei M R n n eine gegebene Matrix seien λ i C, i = 1,..., n, die (eventuell komplexen) Eigenwerte von M dann heißt sp(m) := max i=1,...,n λ i der Spektralradius von M Lemma (3.10 Spektralradius und Matrix-Norm) Für jede zugeordnete Matrix-Norm und jede Matrix M gilt sp(m) M 3. Lineare Gleichungssysteme 26 / 38

27 qualitatives Konvergenz-Kriterium Theorem (3.11 qualitatives Konvergenz-Kriterium) Vor. : lineares Iterationsverfahren x (k+1) = x (k) + C 1( b Ax (k)) mit Iterationsmatrix M = I C 1 A Beh. : das Iterationsverfahren konvergiert für jeden Startvektor x (0) R n genau dann wenn sp(m) < 1 Bew idee : man kann zeigen, dass zu jedem ε > 0 eine zugeordnete Matrix-Norm existiert mit der Eigenschaft sp(m) M sp(m) + ε 3. Lineare Gleichungssysteme 27 / 38

28 Konvergenz des Jacobi- u. Gauß-Seidel-Verfahrens Theorem (3.12 Konvergenz Jacobi- und Gauß-Seidel-Verf.) Vor. : Matrix A = (a i,j ) R n n sei streng diagonaldominant, d.h. a i,i > a i,j i = 1,..., n j i Beh. : A, D und L + D sind regulär und sowohl das Jacobials auch das Gauß-Seidel-Verfahren sind konvergent für jeden Startvektor x (0) Bsp.: A = Lineare Gleichungssysteme 28 / 38

29 Konvergenz des SOR-Verfahrens Theorem (3.13 Konvergenz SOR-Verfahren) Bem. : Vor. : Matrix A = (a i,j ) R n n definit sei symmetrisch und positiv Beh. : für jeden Parameter ω (0, 2) ist C = L + ω 1 D regulär und das SOR-Verfahren konvergiert für jeden Startvektor x (0) durch optimale Wahl von ω kann man die Konvergenzgeschwindigkeit des SOR-Verfahrens gegenüber dem Gauß-Seidel-Verfahren oft enorm verbessern, d.h. M SOR (ω opt ) M GS = M SOR (1) zum Finden eines guten ω muß man experimentieren 3. Lineare Gleichungssysteme 29 / 38

30 3.6. Gradienten-Verfahren Def. : Skalarprodukt zwischen Vektoren x = (x j ), y = (y j ) R n : (x, y) := n j=1 x jy j Vor. : Matrix A R n n ist symmetrisch positiv definit (kurz spd ), d.h. A T = A und : (x, Ax) > 0 x R n \ {0} oder : alle Eigenwerte von A sind positiv Idee : Lösung x R n von Ax = b realisiert das Minimum: F(x ) = min F(x) mit F(x) := 1 (x, Ax) (b, x) x R n 2 3. Lineare Gleichungssysteme 30 / 38

31 Dar Algorithmus des Gradienten-Verfahrens Algorithmus Gradienten-Verfahren Problem: finde x R n, so dass Ax = b, Start: wähle x (0) R n, berechne r (0) = b Ax (0) Iterationsschritt k 0: wähle die Suchrichtung: s (k) = r (k) [= F (x (k) )] Vor.: A ist spd berechne: w (k) = A r (k) (Matrix Vektor-Operation) und α k = (r (k), r (k) ) (r (k), w (k) ) [= optimale Schrittlänge = (r (k), s (k) ) (s (k), As (k) ) ] update: x (k+1) = x (k) + α k r (k) r (k+1) = r (k) α k w (k) Abbruch : falls r (k) 2 = b A x (k) 2 < TOL pro Schritt : 1 Matrix Vektor-Op., 2 Skalarprodukte, 2 Linearkombin. 3. Lineare Gleichungssysteme 31 / 38

32 Konvergenz des Gradienten-Verfahrens Def. : Energie-Norm A auf R n : (Vor. : A R n n ist spd) man kann zeigen : v A := (v, A v) 1/2 v R n {λ min (A)} 1/2 v 2 v A {λ max (A)} 1/2 v 2 v R n Theorem (3.14 Konvergenz Gradienten-Verfahren) Vor. : Matrix A R n n sei spd und κ(a) := λ max (A)/λ min (A) [= cond 2 (A)] Beh. : das Gradienten-Verfahren konvergiert für jeden Startvektor x (0) x (k) x A und es gilt: ( ) κ(a) 1 k x (0) x A κ(a) Lineare Gleichungssysteme 32 / 38

33 Das CG-Verfahren (Conjugate Gradient method) Idee : wähle die neue Suchrichtung s (k+1) [ konjugiert bzw. A - orthogonal ] zu allen vorherigen Suchrichtungen, d.h. (s (k+1), As (j) ) = 0 j = 0,..., k (zu Anfang setze: s (0) = F(x (0) ) = r (0) = b Ax (0) ) mit dem optimalen α k gilt dann für x (k+1) := x (k) + α k s (k) : F(x (k+1) ) = wobei min v U k+1 F(x (k) + v) optimal bzgl. Unterraum U k+1 U k+1 := Span{s (0),..., s (k) } = {v R n : v = k c j s (j), c j R} j=0 3. Lineare Gleichungssysteme 33 / 38

34 Bestimmung der neuen Suchrichtung man kann beweisen, dass für k 0 gilt: s (k+1) = r } (k+1) {{} + β k s (k) }{{} F (x (k+1) ) Korrektur für A-Orthog. dabei ist: β k R so dass (s (k+1), As (k) ) = 0 (r (k+1) + β k s (k), As (k) ) = 0 β k = (r (k+1), As (k) ) (s (k), As (k) ) =... = (r (k+1), r (k+1) ) (r (k), r (k) ) 3. Lineare Gleichungssysteme 34 / 38

35 Algorithmus des CG-Verfahrens Algorithmus CG-Verfahren Problem: finde x R n, so dass Ax = b, Vor.: A ist spd Start: wähle x (0) R n, berechne r (0) = b Ax (0), s (0) := r (0) Iterationsschritt k 0: berechne: w (k) = A s (k) (Matrix Vektor-Operation) und α k = (r (k), r (k) ) (s (k), w (k) ) [= optimale Schrittlänge = = (r (k), s (k) ) (s (k), As (k) ) ] update: x (k+1) = x (k) + α k s (k) (r (k+1), r (k+1) ) berechne: β k = (r (k), r (k) ) r (k+1) = r (k) α k w (k) neue Suchrichtung: s (k+1) = r (k+1) + β k s (k) pro Schritt : 1 Matrix Vektor-Op., 3 Skalarprodukte, 3 Linearkombin. 3. Lineare Gleichungssysteme 35 / 38

36 Konvergenz des CG-Verfahrens Theorem (3.15 Konvergenz CG-Verfahren) Vor. : Matrix A R n n sei spd und κ(a) := λ max (A)/λ min (A) [= cond 2 (A)] Beh. : das CG-Verfahren konvergiert für jeden Startvektor x (0) x (k) x A 2 und es gilt: ( κ(a) 1 κ(a) + 1 ) k x (0) x A beachte : je größer die Konditionszahl κ(a), desto langsamer konvergiert das CG-Verfahren!!! 3. Lineare Gleichungssysteme 36 / 38

37 Verallgemeinerung für nicht-symmetrische Matrizen Lit. : Y. Saad : Iterative methods for sparse linear systems, Software-Bausteine : moderne Verfahren : GMRES : siehe Matlab-Help unter gmres BiCGStab : siehe Matlab-Help unter bicgstab CGS : siehe Matlab-Help unter cgs als Nutzer braucht man nur die Funktion w = matvec(a,v) (Matrix Vektor-Operation) zu programmieren, die w = Av berechnet 3. Lineare Gleichungssysteme 37 / 38

38 3.7. Vorkonditionierung beachte : je größer die Konditionszahl cond 2 (A), desto langsamer konvergiert i.a. ein Iterations-Verfahren!!! Prinzip der Vorkonditionierung : anstelle von Ax = b mit cond 2 (A) groß arbeitet man mit dem äquivalenten GLS Ãx = b, d.h. BAx }{{} Ãx = Bb }{{} b wobei cond 2 (Ã) relativ klein B heißt Vorkonditionierer ( preconditioner ) und sollte eine Näherung von A 1 sein B braucht man nur als Funktion : w = precond(v) := Bv Bsp. : Bv = Ergebnis y (1) einer SOR-Iteration für Ay = v mit Startvektor y (0) = 0 3. Lineare Gleichungssysteme 38 / 38