Matrizenoperationen mit FORTRAN

Transkript

1 Kapitel 2 Matrizenoperationen mit FORTRAN 21 Grundlagen Bei vielen Anwendungen müssen große zusammenhängende Datenmengen gespeichert und verarbeitet werden Deshalb ist es sinnvoll, diese Daten nicht als einzelne Variablen, sondern als zusammenhängende Felder, also als Vektoren bzw Matrizen abzuspeichern und zu bearbeiten Angenommen die Variable x hat zehn Ausprägungen x 1,, x 1 mit jeweils einem Wert Dann sollte diese Variable als eindimensionales Feld mit 1 Elementen vereinbart werden Die Variablenvereinbarung im Deklarationsteil kann unterschiedlich sein <Datentyp> <Feldnahme(Größe)> oder <Datentyp>, Dimension(<Größe>) :: Feldnamenliste Beispiele: real x(1) real, dimension (1) :: x,y real, dimension (-5:4) :: x Während in den beiden ersten Anweisungen den Variablen x bzw y die Indexpositionen x(1),, x(1) bzw y(1),, y(1) zugewiesen werden, werden in der dritten Anweisung die zehn Indexpositionen x( 5), x( 4),, x(4) belegt Bisweilen ist es günstig wenn man die Felderpositionen so definieren kann Um die Felder mit Daten zu besetzen, verwendet man am einfachsten die implizite Schleife x=(/ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 /) welche den einzelnen Indexpositionen der Variable x die Werte x(1) = 1, x(2) = 2, bzw x( 5) = 1, x( 4) = 2, zuweist Natürlich kann man auch Felder mit mehreren Dimensionen (also Matrizen) definieren Die Variablenvereinbarung im Deklarationsteil lautet dann real, dimension (-1:1,3) :: y sofern eine zwei-dimensionale Matrix mit den Zeilenpositionen -1,,1 und den Spalten 1 bis 3 definiert werden soll Die einfachste Belegung der Indexpositionen erfolgt mit der reshape-anweisung y=reshape( (/1,2,3,4,5,6,7,8,9 /), (/3,3/) ) wobei zu beachten ist, dass nach den Spalten eingelesen wird 11

2 Beispiele: program matrizen1 implicit none integer :: i,j real, dimension (3,3) :: A, D real, dimension (5) :: b = (/ 1,2,3,4,5 /), c c=b b = do i=1,3 do j=1,3 A(i,j )=(i -1)*3+ j end do end do D= reshape ( (/1,2,3,4,5,6,7,8,9 /), (/3,3/) ) write (*,21) A write (*,21)(( A(i,j),i=1,3),j=1,3) write (*,21)(( A(i,j),j=1,3),i=1,3) write (*,21) D write (*,21)c,b write (*,*) size (a), lbound (a,1), ubound (a,2), shape (a) 21 format (3(3 f5 1/)) end program matrizen1 Mit einfachen Funktionen kann man die Dimensionierung der Felder bestimmen Natürlich kann man auch Matrizen manipulieren und mathematisch bearbeiten Das folgende Programm zeigt gibt einen (unvollständigen) Überblick dazu program matrizen2 implicit none integer :: i,j real a(4), b(4), x(2,4), y(4,2), z (2,2) a = (/ (i,i =1,4) /) b = a+4 x = reshape ( (/1,5,2,6,3,7,4,8 /), (/2,4/) ) y= transpose (x) z= matmul (x,y) write (*,4) vektor a =,a write (*,4) sum (a) =,sum (a) write (*,4) product (a) =, product (a) write (*,4) maxval (a) =,maxval (a) write (*,1) maxloc (a) =,maxloc (a) write (*,4) minval (a) =,minval (a) 12

3 write (*,1) minloc (a) =,minloc (a) write (*,4) cshift (a, -1) =,cshift (a, -1) write (*,4) eoshift (a, -1) =, eoshift (a, -1) write (*,3) all (a <3) =,all (a <3) write (*,3) any (a <3) =,any (a <3) write (*,1) count (a <3) =,count (a <3) write (*,4) vektor b =,b write (*,2) dot_product (a,b) =, dot_product (a,b) write (*,4) matrix x =,((x(i,j),j=1,4),i=1,2) write (*,2) transpose (x) = y =,((y(i,j),j=1,2),i=1,4) write (*,2) matmul (x,y) = z =,((z(i,j),j=1,2),i=1,2) 1 format (1x, A, I7) 2 format (1x, A, 2f7 1:/, (21x,2 f7 1)) 3 format (1x, A, L7) 4 format (1x, A, 4f7 1:/, (21x,4 f7 1)) end program matrizen2 22 Lösung linearer Gleichungssysteme Viele ökonomische Modelle lassen sich in linearer Form (21) Ax = b darstellen Gegeben ist eine n n Matrix A sowie ein n dimensionaler Vektor b und gesucht ist der n dimensionale Vektor x Sofern die Matrix A eine untere Dreiecksmatrix der Form a 11 a 21 a 22 A = a n1 a n2 a nn ist, können die Elemente von x einfach durch rekursive Substitution ermittelt werden: x 1 = b 1 /a 11 x 2 = (b 2 a 21 x 1 )/a 22 x n = (b n a n1 x 1 a n2 x 2 a nn 1 x nn 1 )/a nn Entsprechend kann man auch das Problem lösen, wenn A eine obere Dreiecksmatrix ist In der Regel ist die Matrix A jedoch nicht triangular Deshalb muss sie erst zerlegt werden in das Produkt einer unteren und oberen Dreiecksmatrix, dh A = LU Sobald man die beiden Matrizen L und U bestimmt hat, kann Gleichung (21) gelöst werden: Ax = (LU)x = L(Ux) = Ly = b 13

4 Wir ermitteln dann also durch rekursive Substitution zunächst den Vektor y und anschließend über Ux = y den Vektor x Das Problem ist nun vor allem, wie man die Matrix A in die beiden Komponenten L und U zerlegen kann Wir wenden dazu das Gausssche Eliminationsverfahren an Für unser Beispiel verwenden wir den Fall n = 4 mit A = = Im ersten Schritt müssen die Zellen unterhalb der Diagonale in der ersten Spalte eliminiert werden Die L-Matrix entspricht zunächst der Einheitsmatrix Die U-Matrix übernimmt die erste Zeile der ursprünglichen Matrix A Um nun die erste Spalte in der zweiten Zeile der U-Matrix auf Null zu bekommen, multiplizieren wir die erste Zeile mit 2 und subtrahieren sie von der zweiten Zeile Dies ergibt die zweite Zeile von U Anschließend setzen wir die erste Spalte der zweiten Zeile von L auf 2 Das gleiche Vorgehen bei der dritten Zeile Zunächst wird die erste Zeile von A mit 1 multipliziert und dann von der dritten Zeile subtrahiert Das Ergebnis ergibt die dritte Zeile von U In der dritten Zeile von L wird in der ersten Spalte 1 gespeichert Schließlich wird die erste Zeile von A mit -1 multipliziert und von der vierten Zeile subtrahiert Das Ergebnis ergibt die vierte Zeile von U In der vierten Zeile von L wird in der ersten Spalte -1 gespeichert Nach dieser ersten Runde lauten die beiden Matrizen L = und U = Man kann überprüfen, dass A = LU gilt Die Matrix L ist sogar schon eine untere Dreiecksmatrix, aber U ist noch keine obere Dreiecksmatrix Deshalb müssen nun auf der zweiten Stufe noch die unterhalb der Diagonale gelegenen Einträge von U eliminiert werden Folglich wird die zweite Zeile von U mit -1 multipliziert und von der dritten Zeile subtrahiert In der zweiten Spalte wird die dritte Zeile von L entsprechend auf -1 gesetzt Schließlich wird die zweite Zeile von U mit 1 multipliziert und von der vierten Zeile subtrahiert In der zweiten Spalte wird die vierte Zeile von L entsprechend auf 1 gesetzt Diese Operationen liefern die neuen Matrizen L = und U = Man kann erneut überprüfen, dass A = LU gilt Allerdings ist nun U immer noch keine obere Dreiecksmatrix Jetzt ist das Eliminationsverfahren allerdings nicht mehr möglich wegen U(3, 3) = Dieses Problem lässt sich jedoch einfach umgehen, wenn man die dritte und die vierte Zeile von U vertauscht und in der L Matrix die beiden Multiplikatoren der 14

5 dritten und vierten Spalte ebenfalls anpasst Am Ende lauten die beiden Matrizen folglich L = und U = Es sollte klar sein, dass erneut A = LU gilt Mit diesem Verfahren kann man jede Matrix A in ihre L-U-Faktoren zerlegen, solange A invertierbar ist Grundsätzlich kann dieses Verfahren beschleunigt werden, wenn die Matrix A eine bestimmte Form aufweist und symmetrisch positiv definit ist, dh A = U T U Man verwendet in diesem Falle das Cholesky Faktorisierungsverfahren welches nur etwa die Hälfte der Operationen im Vergleich zum Verfahren von Gauss benötigt Wenn die Dimension der Matrix A aber sehr groß wird, und gleichzeitig viele Felder mit einer Null besetzt sind, dann wird es effizienter, iterative Verfahren zu verwenden Die iterativen Verfahren von Gauss-Seidel bzw Gauss- Jacobi liefern zwar keine exakten Lösungen mehr (wie bei der Faktorisierung), aber dafür können Sie diese sehr gut und viel schneller approximieren Die Grundidee ist schnell erklärt Man wählt eine leicht invertierbare Marix Q und schreibt das Problem Ax = b um zu Qx = b + (Q A)x bzw x = Q 1 b + (I Q 1 A)x Daraus kann man die Iterationsregel x k+1 = Q 1 b + (I Q 1 A)x k ableiten welche zur Lösung des Gleichungssystems konvergiert, sofern die Matrix I Q 1 A bestimmte Eigenschaften erfüllt Während das Gauss-Jacobi Verfahren für Q eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen von A verwendet, setzt das Gauss-Seidel Verfahren Q mit der oberen Dreiecksmatrix von A gleich Man kann sofort für jede Matrix A testen, ob Konvergenz erfüllt ist Die Zerlegung der Matrix A in die untere und obere Dreiecksmatrix wird auch benötigt, wenn die inverse Matrix A 1 ermittelt werden soll Grundsätzlich gilt bekanntlich der Zusammenhang AA 1 = I Deshalb muss bei gelten A α 11 α 21 α n1 1 = A 1 = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α n1 α n2 α nn und A α 12 α 22 α n2 = 1 Gegeben die Dreiecksmatrizen L und U, kann deshalb problemlos die inverse Matrix A 1 bestimmt werden, etc 15