Dreiecksysteme und LR-Faktorzerlegung
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- Katarina Oswalda Hofmann
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1 Dreiecksysteme und Dreiecksysteme und
2 Inhaltsverzeichnis 1 Dreieckssysteme Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem 2 Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung Dreiecksysteme und
3 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version): Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem [ ] [ ] l11 0 x1 = l 21 l 22 x 2 [ b1 b 2 ] wenn l 11 l 22 0: x 1 = b 1 /l 11 x 2 = (b 2 l 21 x 1 )/l 22 i 1 x i = b i l ij x j /l ii j=1 Dreiecksysteme und
4 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version): Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Lx = b, L R n n (unteres Dreieck) und b R n Prozedur: b(1) = b(1)/l(1, 1) for i = 2 : n b(i) = (b(i) L(i, 1 : i 1)b(1 : i 1))/L(i, i) end Dazu benötigt man n 2 flops. Dreiecksysteme und
5 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version): x i = b i n u ij x j /u ii j=i+1 Dreiecksysteme und
6 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version): Ux = b, U R n n (oberes Dreieck) und b R n Prozedur: b(n) = b(n)/u(n, n) for i = n 1 : 1 : 1 b(i) = (x(i) U(i, i + 1)b(i + 1 : n))/u(i, i) end Auch hier benötigt man n 2 flops. Dreiecksysteme und
7 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Vorwärts-Substitution (Spalten-Version): x 1 = 3 [ ] [ ] 5 0 x2 = x x 2 = x 3 5 x 3 [ ] [ ] [ ] 1 1 = 7 16 Dreiecksysteme und
8 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Vorwärts-Substitution (Spalten-Version): L R n n (unteres Dreieck) und b R n Prozedur: for j = 1 : n 1 b(j) = b(j)/l(j, j) b(j + 1 : n) = b(j + 1 : n) b(j)l(j + 1 : n, j) end b(n)=b(n)/l(n,n) Dreiecksysteme und
9 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Rückwärts-Substitution (Spalten Version): U R n n (oberes Dreieck) und b R n Prozedur: for j = n : 1 : 2 b(j) = b(j)/u(j, j) b(1 : j 1) = b(1 : j 1) b(j)u(1 : j 1, j) end b(1)=b(1)/u(1,1) Dreiecksysteme und
10 Multiple Right Hand Sides Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem LX = B L X 1 B 1 L 21 L 22 0 X = B 2. L N1 L N2... L NN X N B N L 11 X 11 = B 1 für X 1. L X 2 B 2 L 21 X 1 L 32 L 33 0 X = B 3 L 31 X 1. L N2 L N3... L NN B N L N1 X 1 X N Dreiecksysteme und
11 Block-Saxpy-Vorwärts-Eliminierung Prozedur: for j = 1 : N Solve L jj X j = B j for i = j + 1 : N B i = B i L ij X j end end i-te Schleife (Block-Saxpy-Übersicht) B j+1. B N = B j+1. B N Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem L j+1,j. L N,j X j Dreiecksysteme und
12 Vorwärts-Substitution (Zeilen-Version) Rückwärts-Substitution (Zeilen-Version) Vorwärts-Substitution (Spalten-Version) Rückwärts-Substitution (Spalten-Version) Vorwärts-Substitution-Problem Inverse von einer oberen/unteren Dreiecksmatrix: obere/untere Dreiecksmatrix Produkt von zwei oberen/unteren Dreiecksmatrizen: obere/untere Dreiecksmatrix Inverse von einer oberen/unteren Einheits-Dreiecksmatrix: obere/untere Einheits-Dreiecksmatrix Produkt von zwei oberen/unteren Einheits-Dreiecksmatrizen: obere/untere Einheits-Dreiecksmatrix Dreiecksysteme und
13 Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung Gauß-Elimination: Ax = b A = LU [ ] 3 5 = 6 7 3x 1 + 5x 2 = 9 6x 1 + 7x 2 = 4 = 3x 2 = 14 [ ] [ ] Ly = b, Ux = y = Ax = LUx = Ly = b. Dreiecksysteme und
14 Gauß-Umwandlung Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung n = 2 mit x 1 0 [ ] [ ] 1 0 x1 = τ 1 x 2 [ ] x1 0 Sei x R n mit x k 0. dann ist τ T = (0,..., 0, τ }{{} k+1,..., τ n ) k τ i = x i x k, i = k + 1 : n Dreiecksysteme und
15 Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung τ k τ k 0 1 x 1. x k x k+1. x n x i. = x k 0. 0 Dreiecksysteme und
16 Algorithmus 1 Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung x R n und x 1 0 Prozedur : funktion: t = gauss(x) n = length(x) t = x(2 : n)/x(1) end gauss Dazu benötigt man n 1 flops. Dreiecksysteme und
17 Algorithmus 2 Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung C R n r Prozedur: function: C = gauss.app(c, t) n = rows(c) C(2 : n, :) = C(2 : n, :) tc(1, :) end gauss.app Hierzu benötigt man 2(n 1)r flops. Dreiecksysteme und
18 Obere Triangularizing Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung Sei A R n n A = 2 5 8, M 1 = = M 1 A = M 2 = = M 2 (M 1 A) = Dreiecksysteme und
19 Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung Prozedur: k = 1 while A(k, k) 0 k n 1 t = gauss(a(k : n, k)) A(k : n, :) = gauss.app(ak : n, :), t) k = k + 1 end Dreiecksysteme und
20 Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung A = LU u 11 u 12 u = l u 22 u l 31 l u 33 u 11 = 1, u 12 = 2, l 21 = 2, u 22 = 0 und l 31 = 3 aber 6 = l 31 u 12 + l 32 u 22 = 4 Dreiecksysteme und
21 Quellen Dreieckssysteme Gauß-Elimination Gauß-Umwandlungen Algorithmus1 Algorithmus 2 Obere Dreiecksmachung Matrix Computation, Gene H. Golub und Charles F. Van Loan, 1989 Numerical Linear Algebra, Lloyd N. Trefethen und David Bau, 1997 Computer Solution of Linear Algeraic Systems, G.E. Forsythe und C.B. Moler (1967) Dreiecksysteme und
22 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!!!
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