Numerische Lineare Algebra - Matlab-Blatt 1

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1 Prof. Dr. Stefan Funken Universität Ulm M.Sc. Andreas Bantle Institut für Numerische Mathematik Dipl.-Math. oec. Klaus Stolle Wintersemester 2014/2015 Numerische Lineare Algebra - Matlab-Blatt 1 Lösung (Besprechung in den Matlab-Tutorien in KW 43/44) Hinweise (i) Bitte melden Sie sich im SLC unter für die Vorlesung an. (ii) Abgabe der Übungsblätter nur zu zweit! (Bis auf max. eine Ausnahme ;) ) (iii) Zulassungskriterium für die Klausur: 50% der Übungspunkte der Matlab- sowie der Theorie-Blätter. (iv) Auf jedem Theorie-Übungsblatt wird es eine auf Englisch gestellte Aufgabe sowie eine Aufgabe, die in L A TEX abgegeben werden muss, geben. Die auf Englisch gestellte Aufgabe kann auf Deutsch beantwortet werden, handschriftliche Lösungen der L A TEX- Aufgabe werden mit 0 Punkten bewertet! (v) Außerdem müssen die *.tex -Dateien der L A TEX-Aufgabe per an numerik1ws14@gmail.com mit dem Betreff Blatt Blattnummer, Name1 Vorname1, Name2 Vorname2 gesendet werden (Nachnamen alphabetisch sortiert!), also z.b für das erste Theorieblatt von Max Maier und Steffen Schneider: Blatt 01, Maier Max, Schneider Steffen Aufgabe 1 (Horner-Schema) (5 Punkte) (i) Schreiben sie eine Matlab-Funktion val = horner(p,x), die zu dem Koeffizienten-Vektor p R n+1 und den Punkten x = (x 1,...,x m ) R m das Polynom f(x) = p n x n + +p 1 x+p 0 = (...(p n x+p n 1 )x+p n 2 )x+...)x+p 0 an den Stellen x i (i = 1,...,m) mit dem Horner-Schema auswertet und als Rückgabewert in einem Spaltenvektor val zurückgibt. (ii) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion plotpoly(p,a,b), die das Polynom, das über den Koeffizienten-Vektor p R n+1 gegeben ist, im Intervall [a,b] plottet. Verwenden Sie hierzu die Funktion horner aus Aufgabenteil (i). (iii) Schreiben Sie ein Matlab-Skript, welches Ihre Funktionen für folgende Beispiele testet: p = [1, -4, 4], a=0, b=4 p = [1, 0, -1, 0], a=-2, b=2 p = [1, 2, -3, -4, 4], a=-4, b=3.

2 Lösung: (i) Function horner.m 1 function val = horner(p,x) 2 %*** Polynomgrad bestimmen 3 n = length(p)-1; 4 %*** innerste Klammer berechnen 5 val = p(n+1)*x+p(n); 6 for k=n-1:-1:1 7 %*** alle weiteren Klammern bestimmen 8 val = val.*x + p(k); 9 end Vorsicht in Zeilen 5 und 8: Die Matlab-Indizierung beginnt bei 1 und nicht bei 0, also p 0 = p(1)! (ii) Funktion plotpoly.m 1 function plotpoly(p,a,b) 2 %*** Auswertungspunkte bestimmen 3 x = linspace(a,b,1000); 4 %*** Polynom mit Hoerner- Schema auswerten 5 px = horner(p,x); 6 %*** Polynom plotten 7 plot(x,px) (iii) Testskript: 1 %*** Sollte in jedem Skript stehen! 2 %*** Loescht Command Window, loescht Variablen aus dem Workspace, schliesst 3 %*** Grafiken 4 clc, clear all, close all 5 6 %*** Beispiel definieren 7 % p = [4, -4, 1]; a=0; b=4; 8 % p = [0, -1, 0, 1]; a=-2; b=2; 9 p = [4, -4, -3, 2, 1]; a=-4; b=3; %*** Polynom zeichnen 12 plotpoly(p,a,b); Aufgabe 2 (Ausgleichsproblem) (7 Punkte) Gegeben seien die Messpunkte (x i,f i ) R 2 (i = 1,...,m), die in den Dateien x.dat und f.dat als Spaltenvektoren gespeichert sind. (i) Laden Sie sich das Material von Vorlesungshomepage herunter. Wir wollen nun mit Hilfe eines Ausgleichsproblems ein Polynom 6. Grades mit p(x) = a 6 x 6 +a 5 x 5 +a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 bestimmen, welches möglichst gut zu den Messpunkten passt. Dazu stellen wir folgendes lineare Gleichungssystem auf: 1 x 1... x 6 1 a 0 f =.. Ax = f, 1 x m... x 6 m a 6 f m wobei die Matrix A als die Transponierte der Vandermonde-Matrix bezeichnet wird. Die zugehörige Normalengleichung A T Ax = A T f

3 liefert dann die Koeffizienten x = (a 0,...,a 6 ) T des Polynoms, das den Ausdruck Ax f 2 2 minimiert. Schreiben Sie ein Matlab-Skript ausgleich.m, welches: (ii) die Vektoren x und f lädt (siehe load-befehl), (iii) die Punkte (x i,f i ) in einem Schaubild darstellt, (iv) die transponierte Vandermonde-Matrix A R m 7 und die Normalengleichung des Ausgleichsproblem aufstellt, A T Ax = A T f (v) die Normalengleichung löst (siehe \ -Operator), (vi) das Ausgleichspolynom im selben Schaubild wie die Punkte plottet (plotpoly aus der vorherigen Aufgabe). Lösung: Das Skript ausgleich.m: 1 clc, clear all, close all 2 3 load( x.dat ); 4 load( f.dat ); 5 %*** plotte Punkte 6 figure(1) 7 plot(x,f, ro ) 8 9 %*** assembliere transponierte Vandermonde- Matrix 10 n = length(x); 11 A = [ones(n,1),x,x.^2,x.^3,x.^4,x.^5,x.^6]; %*** stelle Ausgleichsproblem auf 14 AA = A *A; 15 bb = A *f; %*** l se Ausgleichsproblem 18 xx = AA\bb; %*** plotte das Polynom 21 figure(1) 22 hold on 23 plotpoly(xx,-2,2); 24 %*** Legende einzeichnen 25 legend( Messpunkte, Ausgleichspolynom ) Zeile 1: Sollte in jedem Skript stehen Zeile 3-4: Datensatz laden Zeile 7: Punkte plotten, die Option ro bewirkt, dass die Punkt mit roten o -Markern eingezeichnet werden und nicht verbunden werden. Zeile 10-11: Eine Variante die transponierte Vandermonde-Matrix aufzustellen. Zeile 14-18: Normalengleichung aufstellen und lösen Zeile 21-23: Polynom plotten, der hold on -Befehl bewirk, dass das Polynom in die aktuelle Grafik miteingezeichnet wird. Das Ergebnis zeigt das folgende Schaubild:

4 Messpunkte (x i, f i ) Ausgleichspolynom Wir sehen, dass das Ausgleichspolynom zwar nicht alle Messpunkte (x i,f i ) interpoliert, aber die Tendenz der Messpunkte gut widerspiegelt. Mathematisch formuliert gilt, dass der Fehler in der euklidischen Norm Ax f 2 minimal ist. Aufgabe 3 (LGS mit Dreiecksmatrizen) Gegeben seien die Dreiecksmatrizen 1 a 1 1 L := a n 1 1 b 1 c und R := b n 1 c n 1 b n (8 Punkte) (1) (l i,j = 0 für j > i oder j < i 1 und r i,j = 0 für j < i oder j > i+1), die durch die Vektoren a,c R n 1 und b R n bestimmt sind. (i) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion x = Linvb(a,f), die zum gegebenen Vektor a R n 1 und der rechten Seite f R n das LGS Lx = f löst. (ii) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion x = Rinvb(b,c,f), die zu den gegebenen Vektoren b R n und c R n 1 und der rechten Seite f das LGS Rx = f löst. Überlegen Sie sich einen geeigneten Algorithmus und verwenden Sie nicht den \ -Operator von Matlab! (iv) Schreiben Sie ein Matlab-Skript testlr.m, welches für n = 10 zufällige Vektoren a,b,c und f erzeugt (siehe rand-funktion von Matlab), die zugehörigen linearen Gleichungssysteme mit den Funktionen Rinvb und Linvb löst zum Vergleich die vollen Matrizen L und R aufstellt und das volle LGS mit dem \ -Operator von Matlab löst (der Matlab-Befehl L=full(spdiags([[a;0],ones(n,1)],[-1,0],n,n)); stellt die Matrix L auf. Überlegen Sie sich einen analogen Matlab-Befehl für die Matrix R.) beide Lösungen miteinander vergleicht, indem der relative Fehler in der l 2 -Norm berechnet wird, also: x Rinv x \ l 2 x Rinv l2 und x Linv x \ l 2 x Linv l2.

5 Lösung: (i) Funktion Linvb.m: 1 function x = Linvb(a,f) 2 %*** initialisiere x 3 n = length(a)+1; 4 x = zeros(n,1); 5 6 %*** V o r w rtsiteration 7 x(1)=f(1); 8 for j=2:n 9 x(j) = f(j) - a(j-1) * x(j-1); 10 end Die Lösung x wird durch Vorwärts-Einsetzen berechnet, d.h. es gilt x 1 = f 1 und x k+1 = f k a k 1 x k 1. (ii) Funktion Rinvb.m: 1 function x = Rinvb(b,c,f) 2 %*** initialisiere x 3 n = length(b); 4 x = zeros(n,1); 5 6 %*** R c h w rtsiteration 7 x(n) = f(n)/b(n); 8 for j = n-1:-1:1 9 x(j) =( f(j)- c(j) * x(j+1)) / b(j); 10 end Die Lösung x wird durch Rückwärts-Einsetzen berechnet, d.h. es gilt x n = bn f n und x k = f k c k x k+1 b k. (iii) Test-Skript testlr.m: Zeile 4-7: Zufallsvektoren der richtigen Größe erzeugen Zeile 11: Matrix L aufstellen (spdiags erzeugt eine Matrix im sparse-format mit den Vektoren [a;0] und ones(n,1) auf der Subdiagonale und der Diagonale (wird durch den Vektor [-1,0] angegeben) mit Dimension n n; der full-befehl konvertiert die Matrix dann ins normale Format.) Zeile 13-14: Lösen des linearen Gleichungssystems Zeile 15: Berechnung des relativen l 2 -Fehlers. Rest analog. 1 clc, clear all, close all 2 n=10; 3 4 a = rand(n-1,1); 5 c = rand(n-1,1); 6 b = rand(n,1); 7 f = rand(n,1); 8 9 %*** Lx=f 10 % Matrix L aufstellen 11 L=full(spdiags([[a;0],ones(n,1)],[-1,0],n,n)); 12 % LGS l sen 13 xl1 = L\f; 14 xl2 = Linvb(a,f); 15 % relativen l_2- Fehler bestimmen 16 sum(abs(xl1-xl2).^2)/sum(abs(xl1).^2) %*** Rx=f 19 % Matrix R aufstellen 20 R=full(spdiags([b,[0;c]],[0,1],n,n)); 21 % LGS l sen 22 xr1 = R\f;

6 23 xr2 = Rinvb(b,c,f); 24 % relativen l_2- Fehler bestimmen 25 sum(abs(xr1-xr2).^2)/sum(abs(xr1).^2) Mehr Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie auf