Octave/Matlab-Übungen

Transkript

1 Aufgabe 1a Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) 2 + 3(5 11) (ii) sin π 3 (iii) (iv) cos 2e (v) ln π log 10 3,5 Aufgabe 1b Betrachten Sie (i) a = , b = , a b. Was fällt auf? Schauen Sie sich a und b in format long an.

2 Aufgabe 2 Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) (1 + i)(2 i) (ii) 1 + 2i (iii) e πi/2 (iv) 3+1 i i 3 (v) arg(2 i)

3 Aufgabe 3 Erzeugen Sie folgende Variablen: (i) den Zeilenvektor x = (1, 5, 0, 3.5) 4 (ii) den Spaltenvektor y = 0 1 (iii) den Null-(Zeilen-)Vektor z im R 8 (iv) einen Zeilenvektor d aus lauter Dreien im R 6 Ersetzen Sie danach den dritten Eintrag von z durch eine 4. Wie lautet die Quadratwurzel des letzten Eintrags von x?

4 Aufgabe 4a Bestimmen Sie zu den Vektoren x = 0, y =, z = (i) jeweils deren Euklidische Länge, (ii) den Winkel α zwischen x und y in Grad, (iii) und das Volumen V des von x, y und z aufgespannten Spats im R 3. Tipps: Benutzen Sie x, y = x y cos α undv = x y, z. Aufgabe 4b Berechnen Sie das komponentenweise Produkt von x und y aus Teil 4a.

5 Aufgabe 5 Erstellen Sie jeweils einen 2D-Plot folgender Funktionen mit den entsprechenden x-werten und in der entsprechenden Farbe. Benutzen Sie jeweils ein neues Plotfenster, so dass am Ende alle drei Funktionen separat zu sehen sind. (i) x für x = 1, 2,..., 6 in schwarz (ii) sin(x) für x = 0, 0.01, 0.02,..., 2π in blau (iii) x 2 + 2x 2 für x [ 3, 3] in rot (unterteilen Sie dazu das Intervall [ 3, 3] in 100 äquidistante Punkte) Tipps: Für Teil (iii) hilft die Funktion linspace. Nutzen Sie ggfs. die Matlab/Octave Hilfe.

6 Aufgabe 6 Erstellen Sie folgende Plots: (i) 2 x für x = 2, 1.95,..., 2 in rot, gepunktet, Titel Zwei hoch x (ii) 1 2, 2 2,..., 5 2 in cyan, Strichpunkt, Marker Dreieck mit Spitze nach oben, x-achse n, y-achse n 2, Titel Quadrate (iii) sin(α) und cos(α) gleichzeitig für α = 0, 0.01,..., 2π in rot bzw. schwarz, Legende sin bzw. cos, Titel Sinus und Kosinus, x-achse α, y-achse sin(α), cos(α)

7 Aufgabe 7 Erstellen Sie folgende Plots: (i) Eine Zeichnung mit den beiden Funktionen f (x) = x und g(x) = x in schwarz für x = 0, 0.01,..., 2. Platzieren Sie rechts unten eine Legende mit f bzw. g und markieren Sie die beiden Schnittpunkte (0, 0) und (1, 1) jeweils mit einem roten Fünfeck. (ii) Einen Plot mit den Vektoren x = (1, 2) und y = (2, 1) zu dem Aufpunkt (0, 0). Zeichnen Sie mit Rot die Summe x + y der beiden Vektoren ein, sowie in Schwarz das Parallelogramm, welches durch x und y aufgespannt wird.

8 Aufgabe 8 (i) Zeichnen Sie auf einem Gitter x = 0, 0.01,..., 4 eine nach oben geöffnete Parabel p(x) mit Nullstellen bei x 0 = 1 und x 1 = 2.5. Wählen Sie dabei die Farbe Schwarz, beschriften Sie die x-achse mit x, die y-achse mit p(x), und wählen Sie den Titel Eine Parabel. (ii) Zeichnen Sie zusätzlich die Tangente an den Graphen von p im Punkt z = 2 in rot, und markieren Sie den Schnittpunkt (z, p(z)) mit einem blauen Quadrat. Tipp: Punkt-Steigungs-Form t(x) = p(z) + (x z)p (z)

9 Aufgabe 9 Erzeugen Sie (möglichst effizient) folgende Matrizen: A = , B = Ersetzen Sie dann die zweite Zeile von A durch den Zeilenvektor v = ( 1, 4, π) und die ersten beiden Einträge der letzten Spalte von B durch die letzten beiden Einträge des Spaltenvektors v.

10 Aufgabe 10 Die Cramersche Regel zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit A R n n und b R n lautet a 1,1 a 1,k 1 b 1 a 1,k+1 a 1,n det a n,1 a n,k 1 b n a n,k+1 a n,n x k =, 1 k n. det A Berechnen Sie mit der Cramerschen Regel die zweite Komponente x 2 der Lösung x R 4 des linearen Gleichungssystems x = Berechnen Sie auch den kompletten Lösungsvektor x mit der Backslash-Operation A\b.

11 Aufgabe 11 Gegeben seien die Punkte ( ) 0 A =, B = 1 ( ) 3, C = 1 ( ) 1, D = 3 ( ) 2. 0 (i) Bestimmen Sie den Schnittpunkt E der Geraden AB und CD. Tipp: Der Ansatz E = A + s(b A) = C + t(d C) liefert ein lineares Gleichungssystem für ( s t ). (ii) Bestimmen Sie den Punkt F auf der Geraden AB mit minimalem Abstand zu C. Wie groß ist dieser Abstand? Tipp: Ansatz F = A + t(b A) mit C F, B A = 0 (iii) Erstellen Sie eine Zeichnung mit den beiden Geraden in schwarz, dem Schnittpunkt E als rotem Kreis und dem Punkt F als blauem Quadrat. Wählen sie den Ausschnitt [ 2, 4] [ 2, 4] mit dem Befehl axis (siehe Matlab-Hilfe). Tipp: Laufbereich 1 s 3 ist ok

12 Aufgabe 12 Erzeugen Sie möglichst elegant folgende Matrizen für gegebenes n N: (i) die Gegendiagonalmatrix zu einem Vektor v = (v k ) 1 k n C n ( 0 v1 )... v n 0 (ii) die Standardmatrix im R n (iii) die Frobenius-Begleitmatrix zu v = (v k ) 1 k n C n ( )... 1 v 1 v n

13 Aufgabe 13 Erzeugen Sie möglichst elegant folgende Matrizen: (i) (ii) (iii) A = B = R 6 6 ( ) R C = R 6 3