Schülerworkshop Computertomographie Mathematik als Schlüsseltechnologie

Transkript

1 Schülerworkshop Computertomographie Mathematik als Schlüsseltechnologie Peter Quiel 1. und 2. Juni 2007 MATLAB-Einführung

2 Überblick Für die nächsten 1 ½ Stunden ist MATLAB unser Thema! Was ist MATLAB, wie wird es gestartet und was bedeuten die Fenster? MATLAB ist ein großer Taschenrechner! Vektoren, Matrizen und wie man damit umgeht. Mehrere Befehle zusammen in M-Dateien speichern. Schleifen und bedingte Anweisung (for, if, else) Endlich wird gezeichnet!

3 Was ist MATLAB? MATLAB bedeutet MATrix LABoratory, d.h. es wird mit Matrizen gerechnet. Zum Lösen von mathematischen Problemen wie z.b. lineare Gleichungssysteme. Zur Visualisierung von Ergebnissen. Warum wir heute MATLAB benötigen? Ein lineares Gleichungssystem zu Fuß zu lösen, macht keinen Spaß! Mit MATLAB geht es schnell und es macht Spaß! MATLAB x 1 =1 x 2 = 2 x 3 = 2 Damit wir das können, müssen wir uns erstmal mit MATLAB befassen.

4 MATLAB-Bedienungsoberfläche Arbeits-verzeichnis Current-Directory Command- History MATLAB-Befehls Eingabe Command- Window

5 Das MATLAB Command-Window MATLAB hat nur eine textuelle GUI. Alle Befehle werden in das Command-Window eingegeben. Alle Ergebnisse werden im Command-Window angezeigt. Das Command-Window ist sozusagen die Zentrale von MATLAB.

6 Das MATLAB Current-Directory Das Current-Directory oder Arbeitsverzeichnis zeigt euch an, wo ihr seid! Es gibt euch einen Überblick über die Dateien im Arbeitsverzeichnis. Diese Übersicht ist später bei der Erstellung von Skripten hilfreich.

7 Die Command-History Die Command-History zeigt den Verlauf aller Eingaben im Command-Window an. Alle Eingaben ob sinnvoll oder nicht werden dort aufgeführt. Mit einem Doppelklick auf eine Eingabe in der Command-History könnte Ihr die Eingabe erneut im Command-Window ausführen.

8 Grundrechen-Operationen (1/2) MATLAB kann wie ein normaler Taschenrechner benutzt werden! Plus '+', Minus '-', Mal '*', Geteilt '\' oder '/', Potenzieren '^' Gebt einfach 14*3, / oder 2^(-1) ein. Wie werden Nachkommastellen angegeben? Ausprobieren! 2,5 oder 2.5 Was soll eigentlich dieses 'ans' bedeuten? ans: Bedeutet 'most recent answer' Was ist der Unterschied zwischen '\' und '/'? 4 / 2 = 2 und 4 \ 2 = 0.5

9 Grundrechen-Operationen (2/2) MATLAB kann Werte in Variablen zwischenspeichern! >> A = 48 / 3-3^2 >> (A+3)*2 >> ans - 10 Ausprobieren! Was kommt raus? ACHTUNG! MATLAB unterscheidet zwischen Groß- und Kleinbuchstaben.

10 Eingebaute Funktionen MATLAB hat eine Vielzahl von eingebauten Funktionen. Gut, dass wir die nicht alle benötigen werden! pi - Die konstante Kreiszahl sin(x) Die Sinusfunktion Ausprobieren! Wann ist sin(x) gleich 0? cos(x) Die Cosinusfunktion Warum ist sin(180) nicht gleich 0? Dann ist bestimmt sin(pi) gleich 0, oder? Tipp: Mit 'help FUNKTIONSNAME' bekommt Ihr eine Hilfe zu den Funktionen, z.b.: >> help sin sin und cos rechnen im Bogenmaß! MATLAB arbeitet 'numerisch' und nicht 'symbolisch'! Deshalb ergeben sich Rundungsfehler!

11 Vektoren und Matrizen Grundbausteine von MATLAB Wie berechne ich die Wurzel von vielen Zahlen? Mit MATLAB können viele Werte zu einem Vektor zusammengefasst werden, z.b.: Mit >> x = [ ] >> y = sqrt(x) wird die Wurzel von jeder Zahl aus x berechnet und in einem neuen Vektor mit dem Namen y gespeichert. Zugriff auf einzelne Elemente eines Vektors: >> y(1) + y(4) Was passiert wenn man y( ) eingibt? MATLAB beschwert sich zurecht, denn das Element gibt es nicht!

12 Rechnen mit Vektoren (2/2) Ein paar Zahlen kann ich noch per Hand eingeben. Wie kann ich mehrere Zahlen mit einem Befehl eingeben? >> x = 1: 1 : 10 Ist gleich x = [ ] Start Ende Schrittweite Ist gleich >> x = 0.5: -0.1 :0 x = [ ]

13 Was sind Matrizen? Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von Zahlen und eine Matrix ist eine Zusammenfassung von Vektoren. >> M = [ 1 2 3; 4 5 6] 1. Vektor 2. Vektor Wozu sind Matrizen gut? Zum Speichern und Lösen von linearen Gleichungssystemen. Bilder können auch in einer Matrix gespeichert werden. Mit dem Befehl >> CTZeichnen(M) Ausprobieren! wird die Matrix M gezeichnet.

14 Lineare Gleichungssystem als Matrix Um ein lineares Gleichungssystem mit MATLAB zu lösen, müssen wir es erst eingeben können. Dazu sind Matrizen sehr handliche mathematische Objekte. Darstellung A x=b A= b= 2 0, und Gebt die Matrix A sowie den Vektor b ein und löse das Gleichungssytem mit x= x 1 x 2 x 3 Der Vektor b muss als Spaltenvektor eingegeben werden. >> CTLoeser(A,b) Tipp: probiert Mal b = b' aus

15 Arbeiten mit Matrizen Wie kann ich auf ein Element in einer Matrix zugreifen? M(1,2) Element in der 1. Zeile und 2. Spalte. Was gibt M(1, :), M( :,2) aus? Hat jemand eine Idee? M(1, :) gibt die gesamte erste Zeile aus. M(:, 2) gibt die gesamte zweite Spalte aus. Nützliche Matrix Befehle: size(m) zeros(5,6) ones (3,4) Gibt die Größe der Matrix aus. Erzeugt eine (5 x 6) Matrix, die 0 als Einträge hat. Erzeugt eine (3 x 4) Matrix, die 1 als Einträge hat. Ausprobieren!

16 Der Reshape-Befehl Eine Befehl, den wir später noch benötigen, ist der 'reshape' Befehl. >> M = [ ; ] >> reshape(m, 1, 8) >> reshape(m', 1, 8) Ausprobieren! Was kommt heraus? Ok! Mit reshape kann eine Matrix in einen Vektor umgeformt werden. Geht das auch umgekehrt? >> x = [ ] >> reshape(x, 2, 4) >> reshape(x', 2, 4) Matrix reshape Vektor

17 Befehle in m-dateien speichern Mehrere MATLAB-Befehle können zeilenweise in eine Datei gespeichert werden. So eine Zusammenfassung von Befehlen wird Skript genannt. Ein MATLAB-Skript muss in einer Datei mit der Endung.m gespeichert werden. Das Skript wird ausgeführt, indem der Name der m-datei eingegeben wird ohne die Endung.m. Mit dem MATLAB-Editor können m-dateien erstellt und bearbeitet werden. Aufruf des MATLAB-Editors: >> edit Erstelle eine m-datei, die das vorherige GLS löst. Tip: Mit einem Doppelklick auf eine Datei im Arbeitsverzeichnis, wird diese Datei im MATLAB-Editor geöffnet.

18 Tipps zu MATLAB-Skripte Mit einem ';' wird die Ausgabe des Ergebnis unterdrückt. Mit dem '%' Zeichen können Kommentar in eine m-datei eingefügt werden. t=0: 0.2 : 2*pi; Der Vektor t wird nicht ausgegeben! % Berechne Punkte auf den Einheitskreis Wird von MATLAB nicht beachtet! x=cos(t) Der Vektor x wird ausgegeben! y=sin(t); Der Vektor y wird nicht ausgegeben! Aufgabe: Schreibe deine m-datei zur Lösung des LGS so um, dass nur der Lösungsvektor x ausgegeben wird.

19 Was sind Functions? MATLAB-Skripte sind starr, d.h. möchte man unser LGS für einen andern Vektor b lösen, dann muss die Datei selbst bearbeitet werden. Mit functions kann man Parameter also z.b. einen Vektor b übergeben. Beispiel: Name der Funktion Name des Parameters function KreisPunkteBerechnen( schrittweite ) t=0: schrittweite : 2*pi; x=cos(t); Hier wird der y=sin(t); Parameter verwendet Wie wird diese Funktion in MATLAB aufgerufen? >> KreisPunkteBerechnen( 0.4 ) Achtung! Die m-datei muss den Name der Funktion haben Aufgabe: Schreibe eine Funktion, die unser lineares Gleichungssystem mit variablem b-vektor löst.

20 Weitere Eigenschaften von Funktionen Es stellt sich eine Frage: Wie kann auf y und x zugegriffen werden? function KreisPunkteBerechnen( schrittweite ) t=0: schrittweite : 2*pi; x und y werden jetzt von der x=cos(t); Funktion zurückgegeben y=sin(t); function [x,y] = KreisPunkteBerechnen( schrittweite ) t=0: schrittweite : 2*pi; x=cos(t); y=sin(t); Wie wird diese Funktion in MATLAB aufgerufen? >> [x,y] = KreisPunkteBerechnen( 0.4 ) Aufgabe: Verändere die Lösungsfunktion unseres linearen Gleichungssystem so, dass der Lösungsvektor x zurückgegeben wird.

21 Bedingte Anweisungen (1/2) Mit bedingten Anweisungen kann der Ablauf eines Programms verändert werden. Dazu erst ein Beispiel: function [y] = vorzeichen(x) Gibt eine 1 zurück, falls x nicht-negativ, if x >= 0 y = 1; else y = -1; end Bedingung gibt eine -1 zurück, falls x negativ ist Wird ausgeführt, falls x größer oder gleich 0 Wird sonst ausgeführt, d.h. falls x nicht größer oder gleich 0 ist

22 Bedingte Anweisungen (2/3) Den Vergleichsoperator 'größer gleich' kennen wird schon, es gibt aber noch weitere Vergleichsoperatoren. Vergleichsoperatoren: Bedingungen können verknüpft werden: < kleiner && Und-Verknüpfung > größer Oder-Verknüpfung <= kleiner gleich >= größer gleich == gleich Achtung! Nicht mit '=' verwechseln Tipp: mit 'help relop' zeigt MATLAB eine Hilfe zu den Vergleichsoperatoren an.

23 Bedingte Anweisungen (3/3) Sammlung von Beispielen function [y] = vorzeichen(x) if x >= 0 y = 1; elseif x == 0 y = 0; else y = -1; end function [y] = betrag(x) function [z] = vorzeichen(x,y) if x >= 0 && y >= 0 z = 1; elseif x < 0 && y < 0 z = -1; else z = 0; end y = x; if x < 0 y = -1 * y; end

24 Schleifen Vektoren oder Matrizen können elementweise der Reihe nach in einer Schleife besetzt werden. for i=1:10 mach etwas 10 Mal end Beispiel: i=0; for t= 0: 0.6: 2*pi i=i+1; s(i) = sin(t); end Macht das Gleiche! t = 0: 0.6: 2*pi; s = sin(t);

25 Matrizen und Schleifen Schleifen sind gut dafür geeignet, um auf Matrizen zu arbeiten. Was macht die folgenden Funktion? function unknown(m) [m,n] = size (M); for i = 1:m for j = 1:n M(i,j) end end Die Matrix M wird elementweise ausgegeben! Mit doppelten Schleifen kann einfach elementweise auf eine Matrix zugegriffen werden.

26 Endlich wird gezeichnet! Mit plot(x,y) wird der Polygonzug aus x,y gezeichnet. Was heißt dass? >> x = 0: 0.5 : 2*pi; >> y = sin(x); >> plot(x,y); >> axis equal; Warum ist der Sinus so eckig? Wie kann man das beheben? Ausprobieren! Es liegt an der großen Schrittweite. Mit einer Schrittweite von 0.1 ist der Sinus glatter. Einzelne Punkte könnt Ihr mit dem folgenden Befehl zeichnen: >> plot(x,y, 'rx'); Das r steht für für die Farbe Rot. Das x ist das Symbol für den Punkt. Mit 'help plot' bekommt Ihr weitere Möglichkeiten angezeigt.

27 Abschluss Aufgabe a) Schreibe eine Funktion, die einen Kreis mit variablen Radius zeichnet. Der Radius soll als Parameter übergeben werden. b) Erweitere deine Funktion um die Möglichkeit, einen Mittelpunkt für den Kreis anzugeben. Tipp: Mehrere Variablen können wie folgt übergeben werden function zeichnekreis(xm,ym,r) c) Zeichne die einzelnen Punkte als Kreuzchen mit in die Grafik. Tipp: Mit der Befehlsfolge: >> hold on >> plot(x,y) >> plot(x,y,'xr') >> hold off werden beide Plots in einer Grafik dargestellt.

28 Lösung function zeichnekreis(xm,ym,r) schritte = 0: 0.1 : 2*pi; x = r * cos(schritte) + xm; y = r * sin(schritte) + ym; hold on plot(x,y); plot(x,y,'rx'); axis equal; hold off