Brückenkurs Mathematik

Transkript

1 Brückenkurs Mathematik Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi

2 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt 3 Implizite Darstellung

3 Was ist über ein beliebiges Dreieck bekannt? Flächeninhalt Winkelsumme Sinussatz Kosinussatz

4 Was ist über ein rechtwinkliges Dreieck zusätzlich bekannt? Satz von Pythagoras Satz von Thales Flächeninhalt Trigonometrische Formeln

5 Satz von Pythagoras

6 Trigonometrische Formeln Die Gegenkathete ist diejenige Seite, die gegenüber dem betrachteten Winkel liegt. Die Hypotenuse ist diejenige Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt. Die Ankathete ist diejenige Seite, die an dem betrachteten Winkel liegt. sin (Winkel) = Gegenkathete Hypotenuse cos (Winkel) = Ankathete Hypotenuse tan (Winkel) = Gegenkathete Ankathete

7 Beispiel

8 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil im Raum R 3 oder in der Ebene R 2 mit einer Richtung und einer Länge. Mathematisch korrekt versteht man unter einem Vektor einen geordneten 3-Tupel (bzw. einen 2-Tupel) x 1 x 2 x 3 R 3, ( x1 x 2 ) R 2.

9 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Mit Vektoren kann man wie folgt rechnen: Addition: Seien x, y R 3 zwei beliebige Vektoren: x 1 y 1 x 1 + y 1 x + y = x 2 x 3 + y 2 y 3 = x 2 + y 2 x 3 + y 3. Skalare Multiplikation: Sei x R 3 ein beliebiger Vektor und λ R eine beliebige Zahl (=Skalar): λx = λ x 1 x 2 x 3 = λx 1 λx 2 λx 3.

10 Beispiel Geometrie des Dreiecks Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

11 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Durch den Satz von Pythagoras erhält man die Länge eines Vektors in( der Ebene: ) x1 Sei x := R 2, dann ist die Länge des Vektors x, also der x 2 Abstand vom Nullpunkt gerade gegeben durch x := x x2 2.

12 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Diese Längenberechnung kann man analog im dreidimensionalen Raum ausführen. x 1 Sei x := x 2 R 3, dann ist die Länge des Vektors x gerade x 3 gegeben durch: x := x x2 2 + x2 3.

13 Die Abbildung Geometrie des Dreiecks Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt : R 3 R + x x, die jedem Vektor eine Länge zuordnet, wird (euklidische) Norm genannt. Durch die Norm kann auch ein Abstand zwischen zwei Punkten definiert werden, indem man die Länge der Differenz der beiden Vektoren bestimmt: Seien x := x 1 x 2 x 3 R 3, y := y 1 y 2 y 3 R 3 zwei Vektoren, dann ist der Abstand zwischen x und y definiert durch x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2.

14 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Die Länge eines Vektors können wir nun berechnen. Wie sieht es mit der Richtung aus, d.h. mit dem Winkel des Vektors zur (bspw.) x-achse? Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man mit Hilfe des Skalarprodukts messen: Skalarprodukt Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren x, y R 3 ist wie folgt definiert:, : R 3 R 3 R, (x, y) x, y, und 3 x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x k y k. k=1

15 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Die Norm kann mit Hilfe des Skalarproduktes wie folgt definiert werden: x = x, x. Es gelten folgende Rechenregeln für das Skalarprodukt: Eigenschaften des Skalarproduktes Seien x, y, z R 3 und λ, µ R beliebig: Symmetrie: x, y = y, x. Linearität: λx + µy, z = λ x, z + µ y, z. Positive Definitheit: x, x 0 und x, x = 0 x = 0.

16 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Der Winkel φ [0, 2π) zwischen zwei Vektoren x, y R 3 berechnet sich dann durch: cos(φ) = x, y x y. Dasselbe gilt ganz analog im R 2 (und allgemein im R n ). Spezialfälle φ = 0 cos(φ) = 1 x, y = x y x = λy, λ R +. φ = π 2 cos(φ) = 0 x, y = 0.

17 Beispiel Geometrie des Dreiecks Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

18 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt Mit Hilfe des Skalarprodukts kann bestimmt werden, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Benötigt man einen dritten Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, kann man diesen mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen. : R 3 R 3 R 3 (x, y) x y, wobei x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = x 2 y 3 y 2 x 3 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1. Im Unterschied zu allen obigen Definitionen, die sich ganz analog in den n-dimensionalen Raum R n übertragen lassen, ist das Kreuzprodukt nur im R 3 definiert.

19 Beispiel Geometrie des Dreiecks Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

20 Implizite Darstellung In der gestrigen Vorlesung haben wir zum Schluß lineare Gleichungssysteme betrachtet, bspw. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 23 x 2 + a 33 x 3 = b 3. Ein solches Gleichungssystem kann man wie folgt auch als Matrix * Vektor = Vektor auffassen: A := a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3 =: b.

21 Implizite Darstellung Zur Lösung eines Gleichungssystems wird dieses durch Addition von Vielfachen einer Zeile auf eine andere bzw. durch Vertauschen der Zeilen auf Stufenform gebracht. Dies entspricht in der Matrixschreibweise, dass die Koeffizientenmatrix in Dreiecksform umgeformt wird, d.h. Ã := Ein Vektor x 1 x 2 x 3 ã 11 ã 12 ã 13 0 ã 22 ã ã 33 x 1 x 2 x 3 b1 = b2 =: b. b3 ist genau dann eine Lösung der umgeformten Gleichung Ãx = b, wenn er Lösung der ursprünglichen Gleichung Ax = b ist.

22 Implizite Darstellung Lösungsmengen Sind die Diagonalelemente der Matrix à alle ungleich null, dann besitzt die Gleichung genau eine Lösung. Ist nach Äquivalenzumformungen eine ganze Zeile oder Spalte null, dann bildet die Lösungsmenge der Gleichung eine Gerade. Sind nach Äquivalenzumformungen zwei ganze Zeilen oder zwei Spalten null, dann bildet die Lösungsmenge eine Ebene.

23 Implizite Darstellung Beispiel x 1 x 2 x 3 =

24 Implizite Darstellung Beispiel x 1 x 2 x 3 =

25 Implizite Darstellung Beispiel x 1 x 2 x 3 =

26 Implizite Darstellung Geraden, Ebenen Eine Teilmenge G R 2 in der Ebene heißt Gerade, falls es a 1, a 2, b R mit (a 1, a 2 ) (0, 0) gibt, so dass G := { (x 1, x 2 ) R 2 a1 x 1 + a 2 x 2 = b }. Eine Teilmenge E R 3 im Raum heißt Ebene, falls es a 1, a 2, a 3, b R 3 mit (a 1, a 2, a 3 ) (0, 0, 0) gibt, so dass E := { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 a1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b }.

27 Implizite Darstellung Ebenen, Geraden und Punkte im Raum kann man also als Lösungsmengen von linearen Gleichungen darstellen. Analog lassen sich viele geometrische Objekte als Lösungsmengen von Gleichungen beschreiben: ( Kreis: ) Löse x x2 2 = r für beliebiges festes r > 0 und x1 R 2. x 2 Ellipse: Löse x2 1 ( ) x1 R 2. x 2 + x2 a 2 2 b 2 Hyperbel: Löse x2 1 ( ) x1 und R 2. x 2 a 2 x2 2 = 1 für beliebiges festes a, b R + und b 2 = 1 für beliebiges festes a, b R +

28 Implizite Darstellung Einheitskreis

29 Implizite Darstellung Ellipse

30 Implizite Darstellung Neben der impliziten Darstellung als Lösungsmenge kann man geometrische Objekte auch durch en beschreiben. Gerade Eine Teilmenge G R 2 ist genau dann eine Gerade, falls es zwei Vektoren v, w R 2 in der Ebene mit w 0 gibt, so dass gilt G = v + Rw = { x R 2 λ R : x = v + λw }. Ebene Eine Teilmenge E R 3 ist genau dann eine Ebene, falls es drei Vektoren u, v, w R 3 im Raum gibt, so dass gilt E = u+rv+rw = { x R 3 λ1, λ 2 R : x = u + λ 1 v + λ 2 w }.

31 Implizite Darstellung Kreis: { (r cos(φ), r sin(φ)) φ [0, 2π) }. Ellipse: { (a cos(φ), b sin(φ)) φ [0, 2π) }. Hyperbel: { (a cosh(t), b sinh(t)) t R }.

32 Implizite Darstellung Beispiel

33 Implizite Darstellung... und so geht es heute weiter: Übung: Übungsräume 13:00-14:30 Besprechung der Aufgaben: Audimax I 15:00-16:30