Tutorium: Diskrete Mathematik. Vektoren

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Vektoren

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. einobjekt,das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die Skalare genannt werden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia) 3

4 Definition II In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als ein Objekt au assen, dass eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet. 4

5 Definition III Jedem Punkt (x; y) 2 R 2 bzw. zugeordnet werden. (x; y; z) 2 R 3 kann ein Vektor Analoges gilt auch fäur alle Punkte (x 1 ;x 2 ;:::;x n ) 2 R n. 5

6 Schreibweise I Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden: 1 v x ya : z Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, ist auch die folgende Notation sehr gebräauchlich: 1 v v 1 v 2 v 3 A : 6

7 Schreibweise II Bisher haben wir Vektoren immer als Spaltenvektoren betrachtet: 1 v Alternativ kann man Vektoren aber auch als Zeilenvektoren betrachten: v = v 1 v 2 v 3 : Zur besseren Ä Ubersicht däurfen zwischen den einzelnen EintrÄagen auch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons { gesetzt werden: v = v 1 ; v 2 ; v 3 : v 1 v 2 v 3 A : 7

8 Nullvektor Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet, dessen EintrÄage alle Null sind: 1 B v C. A : Oft wird der Nullvektor mit oder o bezeichnet. 8

9 Transponieren von Vektoren Vektoren käonnen transponiert werden. Das bedeutet nichts anderes, als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektor aufzuschreiben { und andersherum: v v 1 1 A wird zu v T =(v 1 ;v 2 ;v 3 ); v 2 v 3 u =(u 1 ;u 2 ;u 3 ) wird zu u T u 1 u 2 u 3 1 A : 9

10 Länge eines Vektors Die LÄange eines Vektors läasst sich leicht mit Hilfe des Skalarprodukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen. Es gilt v = q v v2 2 + v2 3 : Allgemein gilt v = q v :::+ v2 n : 1

11 Normieren von Vektoren Unter einem normierten Vektor v zu einem Vektor v versteht man einen Vektor der LÄange 1, der dieselbe Richtung wie v besitzt. Man erhäalt den normierten Vektor v zu einem beliebigen Vektor v, indem man v mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert. v = 1 jvj v 11

12 Addition von Vektoren Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise: a + b a 1 1 a 2 A b 1 1 b 2 A a b 1 a 2 + b 2 A : a 3 b 3 a 3 + b 3 Gra sch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangen der Vektoren betrachten. a b a+b b a 12

13 Subtraktion von Vektoren Die Subtraktion von Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise: a b a 1 1 a 2 b 1 1 b 2 A a 1 1 b 1 a 2 b 2 A : a 3 b 3 a 3 b 3 Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors b zum Vektor a betrachten. Gra sch sieht dies wie folgt aus: a-b b a 13

14 Skalare Multiplikation EinVektorkannmiteinemkonstantenFaktor 2 R multipliziert werden. Den Wert nennt man Skalar. a a 1 1 a 2 A a 1 1 a 2 A a 3 a 3 Man kann die skalare Multiplikation als Strecken oder Stauchen des Vektors interpretieren. -a ½ a a 2a 14

15 Aufgaben Aufgabe 1 a) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden Vektoren a =(5; ; 23) und b =(4; 2; 7). b) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden Vektoren a =(47; 8; ) und b =(3; 42). Aufgabe 2 Gegeben seien die Vektoren v 1 =(1; 2; 3), v 2 =(7; 5; 3) und v 3 =(; 2; 1). Berechne die LÄange des Vektors v = v 1 v 2 +3v 3. 15

16 Aufgaben Aufgabe 3 Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v 1 v 2 =( 2; 4; ) orthogonal sind? = (4; 2; 5) und 16

17 Skalarprodukt I Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsummiert: a b a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 1 A = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 : Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts. 17

18 Skalarprodukt II Anhand des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ziehen. Es gilt a b = () a?b: In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal)sind. 18

19 Skalarprodukt III Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de nieren, ist die folgende: a b = jaj jbj cos : ²jaj und jbj sind die LÄangen der Vektoren a und b; ² ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. 19

20 Skalarprodukt IV Aus der Formel a b = jaj jbj cos kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden Vektoren a und b ziehen: cos = a b jaj jbj : Hieraus folgt =arccos μ a b : jaj jbj 2

21 Skalarprodukt V Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwäahnte Koordinatenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann. Gegeben seien die beiden Vektoren u = (u 1 ;u 2 ;u 3 ) und v = (v 1 ;v 2 ;v 3 ). ' sei der zwischen u und v eingeschlossene Winkel. Nach dem Kosinussatz gilt Umformen ergibt jv uj 2 = jvj 2 + juj 2 2jujjvj cos ': jujjvj cos ' = 1 2 ³jvj 2 + juj 2 jv uj 2 : 21

22 Skalarprodukt VI Einsetzen der De nition des Skalarprodukt ergibt u v = 1 2 ³jvj 2 + juj 2 jv uj 2 : Mit der bekannten Formel fäur den Betrag eines Vektors erhalten wir: u v = 1 ³ u u u v1 2 + v2 2 + v (v 1 u 1 ) 2 (v 2 u 2 ) 2 (v 3 u 3 ) = 1 ³2u 1 v 1 +2u 2 v 2 +2u 3 v 3 2 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 : 22

23 Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produkt oder Vektorprodukt ) ist ebenfalls eine Art, zwei Vektoren a und b zu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, dersowohl senkrecht zu a (d.h. a?c)alsauchsenkrechtzub (d.h. b?c)steht: c = a b a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 1 A = 1 a 2 b 3 a 3 b a 3 b 1 a 1 b 3 A : a 1 b 2 a 2 b 1 Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R 3 de niert! 23

24 Aufgaben Aufgabe 4 Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c: a A ; b A und c 6 1 2A a) Bestimme a b, a c sowie b c. Welche der Vektoren a, b und c sind senkrecht zueinander? b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auch senkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an. 24