Tutorium: Diskrete Mathematik

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Rudolf Geisler
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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 Definition I Eine Gerade oder gerade Linie ist ein Element der Geometrie. Anschaulich kann man sich darunter eine unendlich lange, däunne Linie vorstellen. Eine durch 2 Punkte begrenzte Gerade nennt man Strecke. 3 Definition II Beispiel einer, die durch die Punkte A =(0; 3) und B = (6; 0) verläauft: Durch die Punkte A und B wird zudem die Strecke AB begrenzt. 4

3 Darstellungsformen Eine Gerade kann auf mehrere Arten dargestellt werden: ² die Koordinatenform; ² die Parameterform; ² die Normalenform. 5 Koordinatenform I De nition Jede Gerade in der x 1 ;x 2 -Ebene läasst sich durch eine Koordinatengleichung ax 1 + bx 2 + c =0 beschreiben, bei der mindestens einer der beiden Koe±zienten a und b ungleich Null ist. 6

4 Koordinatenform II Aufgabe PrÄufe, ob der Punkt A = (5; 3) auf der liegt, die durch die Gleichung beschrieben wird. x 1 +3x 2 4=0 7 Koordinatenform III LÄosung Der Punkt A hat die Koordinaten (5; 3). fäur x 1 =5undfÄur x 2 = 3 ein, so ergibt sich Setzt man nun =0: Folglich liegt der Punkt A auf der. Dieses Verfahren nennt man Punktprobe, Punkt testet, ob er auf der liegt. da man fäur einen 8

5 Koordinatenform IV Frage Wie ndet man die Koordinatenform, wenn lediglich zwei Punkte der bekannt sind? 9 Koordinatenform V Antwort Man kann es berechnen. Dies geht beispielsweise ² durch Aufstellen der gleichung; ² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren; ² Äuber die Parameter- oder Normalenform. Im Folgenden beschäaftigen wir uns zunäachst damit, die gleichung aufzustellen. 10

6 gleichung I Jede Gerade kann in der folgenden Form dargestellt werden: x 2 = ax 1 + b: Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² x 1 und x 2 sind die Koordinaten; ² a ist der Anstieg der ; ² b ist die Verschiebung in x 2 -Richtung. 11 gleichung II Wir fäuhrendasverfahrenexemplarischandemzuvorverwendeten Beispiel einer vor. 12

7 gleichung III Den Anstieg der berechnen wir leicht mit einem Steigungsdreieck. Es gilt a = x 2 = b 2 a 2 : x 1 b 1 a 1 In unserem Beispiel ist dies a = = 1 2 : Wir käonnen die gesuchte gleichung also bereits wie folgt darstellen: x 2 = 1 2 x 1 + b: 13 gleichung IV Es verbleibt nur noch die einfache Aufgabe, b zu bestimmen. Dazu stellen wir die Gleichung nach b um und setzen einen der Punkte A oder B in die Gleichung ein { sie mäussen ja beide in jedem Fall auf der liegen. Setzt man A ein, ergibt sich b = 1 2 x 1 + x 2 : b = =3: 14

8 gleichung V Die gesuchte gleichung lautet also x 2 = 1 2 x 1 +3: Umstellen ergibt die gesuchte Koordinatenform: 1 2 x 1 + x 2 3=0: Alternativ kann diese auch so dargestellt werden: x 1 +2x 2 6=0: 15 Aufgaben Aufgabe 1 Bestimme die Koordinatenform der, Punkte P 1 =(2; 3) und P 2 =(4; 4) verläauft. die durch die Aufgabe 2 Bestimme die Koordinatenform der, die durch die Punkte P 1 =(2; 1), P 2 =(6; 3) und P 3 =(4; 5 2 )verläauft. 16

9 Parameterform I Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Gerade darzustellen, ist die sogenannte Parameterform. Die Gerade wird dabei in der folgenden Form dargestellt: x = p + t u (t 2 R): Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² p ist der StÄutzvektor; ² u ist ein Richtungsvektor; ² t 2 R ist ein beliebiges Skalar. Diese Darstellung einer wird auch vektorielle Punkt- Richtungsform genannt. 17 Parameterform II Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Gerade durch einen Punkt auf der (der StÄutzvektor p) sowie die Richtung der (der Richtungsvektor u) beschrieben wird: 18

10 Parameterform III Wir fäuhren auch dieses Verfahren exemplarisch an dem bereits bekannten Beispiel einer vor. 19 Parameterform IV Als StÄutzvektor käonnen wir beispielweise den Vektor! 0A verwenden, als Richtungsvektor den Vektor! AB. Esergibtsich μ μ μ μ μ x x = = + t = + t (t 2 R): x 2 Die gesuchte Gerade in Parameterform lautet also μ μ μ x1 0 6 x = = + t (t 2 R): x Durch entsprechende Werte fäur die Variable t kann jeder Punkt der dargestellt werden. 20

11 Normalenform I DieletztehierbehandelteArt,eineGeradedarzustellen,istdie Normalenform. DabeiwirddieGeradeunter Zuhilfenahme einer Normalen dargestellt { also mit einem zur senkrechten Vektor. Es gilt n (x p) =0: Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² n ist die Normale; ² p ist ein fester Punkt auf der ; ² x ist der zu präufende Punkt. Wichtig: Die Normalenform einer existiert nur im R Normalenform II Eine alternative Schreibweise erhäalt man, wenn man in n (x p) =0 n und p ausmultipliziert. Es folgt n x + c =0: Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt: ² n ist die Normale; ² x ist der zu präufende Punkt; ² c ist ein konstanter Wert, der fäur alle Punkte der gilt. 22

12 Normalenform III Wir fäuhren auch dies wieder an unserem bisher verwendeten Beispiel vor { unter BerÄucksichtigung der Ergebnisse der Darstellung in Parameterform. 23 Normalenform IV μ v1 FÄur einen zweidimensionalen Vektor v = ist stets jedes v μ 2 v2 Vielfache des Vektors ein Normalenvektor von v, denn v 1 es gilt μ μ v1 v2 = v v 2 v 1 v 2 + v 1 v 2 =0: 1 24

13 Normalenform V Nach Bestimmung einer Normalen zum Richtungsvektor ergibt sich die folgende Normalenform: μ 3 6 x + c =0: μ 6 3 Einsetzen eines Punktes der und Ausrechnen von c ergibt μ μ 3 0 c = = ( ) = 18: Normalenform VI Der berechnete Wert c ist fäur jeden Punkt der identisch. FÄur die Normalenform der ergibt sich μ 3 6 x 18 = 0: 26

14 Aufgaben Aufgabe 3 Bestimme die Parameter- und Normalenform der, die durch die Punkte P 1 =(2; 3) und P 2 =(4; 4) verläauft. 27 Ergänzungen zur Parameterform I Die besprochene Parameterform ging bisher stets von einem t 2 R aus: x = p + t u (t 2 R): Es ist jedoch ohne Weiteres mäoglich, t einzuschräanken. Beispielsweise kann t auf ein uneigentliches Intervall eingeschräankt werden (beispielsweise t > 1 oder t 2). In diesem Fall stellt die Parameterform eine Halbgerade dar. t kann au¼erdem auf ein endliches Intervall eingeschräankt werden (beispielsweise 0 t 1). Dann wird durch die Parameterform eine Strecke dargestellt. 28

15 Ergänzungen zur Parameterform II Beispiel Gesucht ist die Parameterdarstellung der Strecke PQ fäur 0 t 1. Es gilt: μ μ μ x1 p1 q1 p = + t 1 x 2 p 2 q 2 p 2 μ μ μ p1 q1 p1 = + t t p 2 q 2 p 2 μ μ q1 p1 = t +(1 t) (0 t 1) q 2 p 2 29 Ergänzungen zur Parameterform III Die gesuchte Parameterform lautet also μ μ μ x1 q1 p1 = t +(1 t) x 2 q 2 p 2 (0 t 1): Durch Vertauschen von P und Q ergibt sich analog μ μ μ x1 p1 q1 = t +(1 t) (0 t 1): x 2 p 2 q 2 30

16 Umrechnung zwischen den Darstellungen Die Umrechnung zwischen den einzelnen Darstellungen einer funktioniert analog zu den Umformungen zwischen den Darstellungen einer Ebene. Hier werden sie aus diesem Grund nicht weiter besprochen. 31

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