Vorkurs: Mathematik für Informatiker. Wintersemester 2015/16 Teil 2

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1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Wintersemester 2015/16 Teil 2

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de Anja Moldenhauer Matthäus Kleindessner 2

3 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4 Intervalle Grundlegende Rechengesetze Binomische Formeln Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Das Summenzeichen 3

4 Kapitel VI Intervalle 4

5 Kapitel VI: Intervalle Intervalle der reellen Zahlen I a; b a; b a; b a; b := := := := n o x 2 R : a x b n o x 2 R : a<x<b n o x 2 R : a<x b n o x 2 R : a x<b a; b hei¼t abgeschlossenes (oder kompaktes) Intervall; a; b hei¼t o enes Intervall; a; b und a; b sind halbo ene Intervalle. LÄange eines Intervalls: a; b := a; b := b a 5

6 Kapitel VI: Intervalle Intervalle der reellen Zahlen II Uneigentliche Intervalle: a; 1 a; 1 1;b 1;b := := := := n o x 2 R : a x n o x 2 R : a<x n o x 2 R : x b n o x 2 R : x<b 6

7 Kapitel VII grundlegende Rechengesetze 7

8 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz I aus dem Lateinischen: associare - vereinigen, verbinden, verknäupfen, vernetzen. Eine zweistellige (oder binäare) VerknÄupfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der AusfÄuhrung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer (gleichartiger) assoziativer VerknÄupfungen ist beliebig. 8

9 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz II In einem Summen- oder Produktterm däurfen die Summanden bzw. Faktoren beliebig geklammert werden. Dies gilt auch fäur mehr als drei Summanden bzw. Faktoren. Eine binäare VerknÄupfung? auf einer Menge A hei¼t assoziativ, wenn fäur alle a; b; c 2 A das Assoziativgesetz gilt: a? b?c = a?b?c: 9

10 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz III Die VerknÄupfung von fäunf Elementen a, b, c, d und e kann bereits auf 14 Arten geklammert werden: a? ³b? ³ a?(b?c) c?(d?e) a?b? c?(d?e)?d?e a? ³b? ³ a?b (c?d)?e a?b? (c?d)?e? c?d?e ³ b?(c?d) a??e (a?b)?c? d?e ³a? (b?c)?d?e ³ b?c a?? d?e a?(b?c)? d?e ³a? b?(c?d)?e ³ (b?c) ³ (a?b) a??d?e?c?d?e 10

11 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz IV Aufgrund des Assoziativgesetzes ist es mäoglich, eine klammerfreie Notation einzufäuhren: a? b?c = a?b?c: 11

12 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz V Aufgabe VII-1 Welche der folgenden Operationen sind assoziativ? deine Antworten. BegrÄunde ² Addition ² Subtraktion ² Multiplikation ² Division ² Potenzieren 12

13 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Kommutativgesetz I Aus dem Lateinischen: commutare - vertauschen. Wenn das Kommutativgesetz gilt, käonnen die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis veräandert. Eine binäare VerknÄupfung? auf einer Menge A hei¼t kommutativ (oder abelsch), wenn fäur alle a; b 2 A das Kommutativgesetz gilt: a?b= b?a: 13

14 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Kommutativgesetz II Aufgabe VII-2 Welche der folgenden Operationen sind kommutativ? BegrÄunde deine Antworten. ² Addition ² Subtraktion ² Multiplikation ² Division ² Potenzieren 14

15 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz I aus dem Lateinischen: distribuere - verteilen. Distributivgesetze sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei binäare VerknÄupfungen bei der Au Äosung von Klammern verhalten. Typische Anwendungen der Distributivgesetze sind das Ausmultiplizieren sowie das Ausklammern. 15

16 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz II Als Beispiel kann die VerknÄupfung der binäaren Operationen? und ± dienen. Man unterscheidet zwischen links- und rechtsdistributiven VerknÄupfungen: ³ ³ ³ a? ³ b ± c b ± c =?a = a?b ± ³ b?a ± a?c ³ c?a (linksdistributiv) (rechtsdistributiv) 16

17 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz III Frage Warum unterscheidet man zwischen Links- und RechtsdistributivitÄat? Antwort Da nicht alle Operationen kommutativ sind, däurfen die Operanden nicht immer vertauscht werden, weswegen man beide Varianten des Distributivgesetzes eingefäuhrt hat. 17

18 Kapitel VIII Binomische Formeln 18

19 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomische Formeln I Das Adjektiv binomisch leitet sich von bi (zwei) und Nomen (Namen) ab. Im Gegensatz zu einigen wenigen Adjektiven wie abelschleitetessichnichtvoneinemmathematiker-namenab. Im Sinne des mathematischen Humors wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf die ktiven Personen Alessandro und Francesco Binomi zuräuckgefäuhrt, die auch in einigen Schulund LehrbÄuchern als deren Urheber auftauchen. 19

20 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomische Formeln II 1. binomische Formel: a + b 2 = a 2 +2ab + b 2 2. binomische Formel: a b 2 = a 2 2ab + b 2 3. binomische Formel: a + b a b = a 2 b 2 20

21 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz I Als Verallgemeinerung der ersten beiden binomischen Formeln ergibt sich der sogenannte binomische Lehrsatz : a + b n = = nx k=0 μ n a k b n k k μ n a 0 b n + 0 μ n a 1 b n 1 + :::+ 1 μ n a n b 0 n 21

22 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz II Die Elemente μ n k := μ n k n! k! n k! werden Binomialkoe±zienten genannt. Es gilt: bzw. μ n k := μ n 1 + k 1 μ n 1 μ n Der Wert beschreibt den Eintrag in der n-ten Zeile und k-ten k Spalte des Pascalschen Dreiecks. k : 22

23 Kapitel VIII: Binomische Formeln Pascalsches Dreieck I

24 Kapitel VIII: Binomische Formeln Pascalsches Dreieck II

25 Kapitel IX Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen 25

26 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition I Eine Funktion (oder Abbildung) f : A! B stellt eine Abbildungsvorschrift dar, die jedem Element der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Eine Funktion kann formal wie folgt geschrieben werden: f : A! B a 7! f(a): 26

27 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition II Gra sch läasst sich eine Abbildung wie folgt veranschaulichen: 27

28 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition III Bei den nachfolgenden Beispielen handelt es sich nicht um Abbildungen: 28

29 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition IV Bezeichnungen: ² A: De nitionsbereich, Urbildmenge ² B: Bildmenge, Bildbereich ² A! B: Signatur ² a 7! f(a): Funktionsvorschrift, Abbildungsvorschrift n o ² Wertebereich: W f := f(a) = f(a) :a 2 A. NichtalleElementederBildmengemÄussen ein Urbild haben. Es gilt f(a) μ B. 29

30 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition V Beispiel: f : R! R x 7! x 2 De nitions- und Wertebereich der Funktion f: n o D f = x 2 R = R; W f = nx 2 R o x 0 : FÄur dieses Beispiel gilt also W f ½ R. 30

31 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Verkettung von Funktionen Es sei h : A! C eine Komposition (oder Verkettung) der Funktionen f : A! B und g : B! C. h = g ± f ³ h(x) =g f(x) Statt Komposition kann man auch NacheinanderausfÄuhrung sagen. g ± f bedeutet also, \g wird nach f ausgefäuhrt". 31

32 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen I Potenzfunktionen sind spezielle Funktionen der folgenden Form: f(x) =a x r (a 2 R; r2 Z): 32

33 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen II Graph der Potenzfunktion x (Gerade) 33

34 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen III Graph der Potenzfunktion x 2 (quadratische Funktion) 34

35 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen IV Graph der Potenzfunktion x 3 (kubische Funktion) 35

36 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen V Graph der Potenzfunktion x 4 36

37 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VI Graphen der Potenzfunktionen x bis x 11 37

38 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VII Graphen der Potenzfunktionen x 2 bis x 12 38

39 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VII 39

40 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Hyperbeln I Graph der Hyperbel 1 x 40

41 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Hyperbeln II Graph der Hyperbel 1 x 2 41

42 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen I Wurzelfunktionen sind Funktionen vom Typ R + [ 0 ª! R + [ 0 ª (fäur gerade Wurzeln) bzw. R! R (fäur ungerade Wurzeln) und besitzen die folgende Form: f(x) =c ap x (a 2 N; c2 R; a 6= 1): 42

43 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen II Graph der Wurzelfunktion p x 43

44 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen III Graphen der Wurzelfunktionen p x bis 7p x 44

45 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen IV 45

46 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen V Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen { hier am Beispiel von p x (blau) und x 2 (gräun). 46

47 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen I Exponentialfunktionen sind Funktionen vom Typ R! R und besitzen die folgende Form: f(x) =c a x (a 2 R + ;c2 R): Im Gegensatz zu Potenzfunktionen steht die Variable x bei Exponentialfunktionen nicht in der Basis, sondern im Exponenten. FÄur alle Exponentialfunktionen f(x) =a x gilt: f(0) = 1: 47

48 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen II Graph der Exponentialfunktion e x 48

49 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen III Graph der Exponentialfunktion 1 x e = e x 49

50 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen IV Graphen der Exponentialfunktionen 2 x bis 6 x sowie e x 50

51 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen V 51

52 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen VI Aufgrund der Regeln fäur das Rechnen mit Potenzen besitzen Exponentialfunktionen ein enormes Wachstum. a (m+n) = a m a n Eine Exponentialfunktion a x (mit a>1) wäachst viel schneller als jede Potenzfunktion x n. 52

53 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen I Logarithmusfunktionen sind Funktionen vom Typ R +! R und besitzen die folgende Form: f(x) =c log a x (a 2 R + ;a6= 1;c2 R): FÄur alle Logarithmusfunktionen f gilt: f(1) = 0: 53

54 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen II Graph der Logarithmusfunktion ln x 54

55 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen III Graph der Logarithmusfunktion log 1 e x = ln x 55

56 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen IV Graphen der Logarithmusfunktionen log 2 x bis log 6 x sowie ln x 56

57 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen V 57

58 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen VI Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen { hier am Beispiel von ln x (blau) und e x (gräun). 58

59 Kapitel X Trigonometrische Funktionen 59

60 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen I Im Folgenden wollen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen beschäaftigen. Dabei wollen wir uns auf reellwertige Funktionen beschräanken. Im Wesentlichen werden wir uns mit der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion beschäaftigen und ihre Bedeutungen geometrisch veranschaulichen. 60

61 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen II ZunÄachst einmal die De nitionen der Sinus-undCosinusfunktion: sin : R! R x 7! sin(x) cos : R! R x 7! cos(x) 61

62 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen III Und die De nitionen der Tangens-und Cotangensfunktion: tan : R! R x 7! tan(x) Es gilt cot : R! R x 7! cot(x) tan x = sin x cos x und cot x = 1 tan x = cos x sin x : 62

63 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen IV Graph der Sinusfunktion sin x 63

64 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen V 64

65 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen VI Graph der Cosinusfunktion cos x 65

66 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen VII 66

67 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen VIII Graph der Tangensfunktion tan x 67

68 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen IX 68

69 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen X Graph der Cotangensfunktion cot x 69

70 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen XI 70

71 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation I Im rechtwinkligen Dreieck ( = ¼ 2 )geltendiefolgendenbezeichnungen (bezogen auf den Winkel ): ² a: Gegenkathete ² b: Ankathete ² c: Hypotenuse 71

72 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation II Im rechtwinkligen Dreieck ( = ¼ 2 )gilt(satz des Pythagoras): c 2 = a 2 + b 2 : 72

73 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation III Im rechtwinkligen Dreieck ( = ¼ 2 )gilt: sin = Gegenkathete des Winkels Hypotenuse = a c cos = Ankathete des Winkels Hypotenuse = b c tan = Gegenkathete des Winkels Ankathete des Winkels = a b cot = Ankathete des Winkels Gegenkathete des Winkels = b a 73

74 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation IV Interpretation am Einheitskreis: 74

75 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation V 75

76 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail I Wir wollen uns die Sinusfunktion etwas genauer ansehen. ³ f(x) = sin k x +! + c Bezeichnungen: ² : dieamplitude ² k: derstreckungs-/stauchungsfaktor ² ' =! k :diephasenverschiebung ² 2¼ k : PeriodenlÄange Dieselben Aussagen tre en analog auf die Cosinusfunktion zu. 76

77 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail II Jede Sinusfunktion läasst sich auch durch eine Cosinusfunktion darstellen (und umgekehrt), da diese lediglich in der Phase verschoben sind: ³ sin x =cos x ¼ ; 2 ³ cos x =sin x + ¼ : 2 77

78 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail III Einige wichtige Funktionswerte: Winkel (Grad) Winkel (Bogenma¼) 0 ¼ 6 ¼ 4 ¼ 3 ¼ 2 ¼ 3¼ 2 2¼ sin p 2 2 p cos 1 p 3 2 p

79 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Aufgabe Aufgabe Die Berechnung von Sinus- und Cosinuswerten ist oft nur näaherungsweise mäoglich. In einigen FÄallen käonnen die Werte jedoch auch exakt bestimmt werden. FÄuhre dies exemplarisch fäur den Wert cos ¼ 4 durch. 79

80 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Aufgabe LÄosung Es gilt sin ¼ 4 =cos ¼ 4. Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt: ³ sin 2 ¼ ³ ¼ +cos 2 = 1: 4 4 Wegen sin ¼ 4 =cos ¼ 4 folgt ³ sin 2 ¼ ³ ¼ ³ ¼ +cos 2 = 2cos 2 = 1: Umstellennachcos ¼ 4 ergibt die gesuchte LÄosung: ³ ¼ cos = p 1 :

81 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail IV Die Funktionswerte fäur einen beliebigen Winkel käonnen beispielsweise Äuber Taylorpolynome näaherungsweise berechnet werden; diese werden im Studium behandelt. Taylorpolynome T 1 bis T 25 fäur sin x 81

82 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln I FÄur die Addition von (verschiedenen) Winkeln gelten die folgenden Additionstheoreme: sin = sin cos cos sin cos = cos cos sin sin : Daraus ergeben sich beispielsweise die Rechenregeln fäur den doppelten Winkel: sin 2 = 2sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 : 82

83 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln II Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die folgende: sin 2 +cos 2 =1: Sie läasst sich einfach am Einheitskreis beweisen. (Aufgabe!) 83

84 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen Zu jeder der besprochenen trigonometrischen Funktionen gibt es eine entsprechende Umkehrfunktion, die dem SeitenverhÄaltnis wieder den Winkel zuordnet: ² arcsin: Arcussinus; ² arccos: Arcuscosinus; ² arctan: Arcustangens; ² arccot: Arcuscotangens. 84

85 Kapitel XI Das Summenzeichen 85

86 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen I Wir betrachten die Summe der ersten n natäurlichen Zahlen: :::+ n 1 + n: Aufgrund des sehr speziellen Aufbaus der Summe ist leicht zu erraten, welche Summanden abkäurzend als ":::" dargestellt sind. Sum- Die Summe aus diesem Beispiel läasst sich mit dem menzeichen wie folgt darstellen: nx i: i=1 86

87 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen II Etwas allgemeiner betrachten wir die folgende Summe: a 1 + a 2 + a 3 + :::+ a n 1 + a n : Die Werte a i sind alle nach demselben Schema aufgebaut. Aufgrund des speziellen Aufbaus der Summanden ist auch hier leicht zu erkennen, welche Summanden abkäurzend als ":::" dargestellt sind. Die entsprechende abkäurzende Schreibweise mit dem Summenzeichen lautet: nx a i : i=1 87

88 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen III Es existieren zwei mäogliche Schreibweisen fäur die Summe: nx i=m a i Bezeichnungen: bzw. X m i n a i ² i: Indexvariable, Laufvariable ² m: Startwert ² n: Endwert ² a i :deri-tesummand 88

89 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen IV Einige Beispiele: ² 5 P i=0 i = ² 7P k=2 k 2 = ² 4 P i=1 i+1 i =

90 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgaben Aufgabe XI-1 Schreibe die folgenden Summen ohne das Summenzeichen: X X X a) a k b) a i c) 1 k 4 d) X 1 j 15 j: Primzahl 1 i 10 i: gerade b j e) X 1 k 50 k: Quadratzahl 0 j 10 j: ungerade Hinweis: Es ist nicht notwendig, die Summen auszurechnen. a k 2 j 90

91 Kapitel XI: Das Summenzeichen Addition von Summen I Zur Erinnerung: Das Summenzeichen ist lediglich eine abkäurzende Schreibweise. Gegeben sind die folgenden beiden Summen: nx a i = a 0 + a 1 + :::+ a n i=0 nx b i = b 0 + b 1 + :::+ b n i=0 Frage: Wie sieht die Summe der beiden Summen aus? nx a i + i=0 nx i=0 b i 91

92 Kapitel XI: Das Summenzeichen Addition von Summen II nx a i + i=0 nx b i = a 0 + a 1 + :::+ a n + b0 + b 1 + :::+ b n i=0 = a 0 + b 0 + a1 + b 1 + :::+ an + b n nx = ai + b i i=0 92

93 Kapitel XI: Das Summenzeichen Subtraktion von Summen Die Subtraktion von Summen funktioniert nach demselben Schema wie die Addition. Gegeben sind die folgenden beiden Summen: nx a i = a 0 + a 1 + :::+ a n i=0 nx b i = b 0 + b 1 + :::+ b n i=0 Als Di erenz ergibt sich: nx a i i=0 nx b i = i=0 nx ai b i i=0 93

94 Kapitel XI: Das Summenzeichen Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Da die Notation mit dem Summenzeichen nur eine Kurzschreibweise fäur \normale Summen" ist, däurfen natäurlich alle Regeln der normalen Summen auch mit dem Summenzeichen verwendet werden. Insbesondere gilt dies fäur die MÄoglichkeit, gemeinsame Faktoren auszuklammern: nx a i = i=0 nx a i : i=0 94

95 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen I Gegeben sind die folgenden beiden Summen: nx a i = a 0 + a 1 + :::+ a n i=0 mx b j = b 0 + b 1 + :::+ b m j=0 Frage:WiesiehtdasProduktderbeidenSummenaus? Ã X n! 0 1 mx a A i=0 j=0 b j 95

96 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen II Ã X n! a i i=0 mx j=0 b j 1 A = a 0 + a 1 + :::+ a n b0 + b 1 + :::+ b m = a 0 b 0 + :::+ a 0 b m + :::+ a n b 0 + :::+ a n b m = a 0 b 0 + :::+ a 0 b m + :::+ an b 0 + :::+ a n b m nx = ai b 0 + a i b 1 + :::+ a i b m = i=0 0 i=0 1 mx a i b j A j=0 96

97 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen III Als Produkt der beiden Summen ergibt sich also: Ã X n! mx nx mx a b j A a i b j A: i=0 j=0 i=0 j=0 Man nennt dies auch das allgemeine Distributivgesetz. 97

98 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen IV Beispiel: Ã 1X! a i i=0 0 j=0 b j 1 A = a 0 + a 1 b0 + b 1 + b 2 = a 0 b 0 + a 0 b 1 + a 0 b 2 + a 1 b 0 + a 1 b 1 + a 1 b 2 98

99 Kapitel XI: Das Summenzeichen Doppelsummen I Als Doppelsumme bezeichnet man eine Summe, die Äuber einer Summe de niert ist. nx mx i=1 j=1 Sind die Indizes der Summen unabhäangig, darf die Reihenfolge der Summenzeichen vertauscht werden: nx mx mx nx a ij = a ij : i=1 j=1 a ij j=1 i=1 99

100 Kapitel XI: Das Summenzeichen Doppelsummen II Diesistleichteinzusehen: nx mx nx a ij = ai1 + :::+ a im i=1 j=1 i=1 = a 11 + a 12 + :::+ a 1m + :::+ an1 + a n2 + :::+ a nm = a 11 + a 21 + :::+ a n1 + :::+ a1m + a 2m + :::+ a nm mx = a1j + :::+ a nj = j=1 mx nx j=1 i=1 a ij 100

101 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen I Als Indextransformation werden solche Umformungen bezeichnet, die nur mit den Indizes der Summanden bzw. der Summe geschehen, ohne dabei den Wert der Summe zu veräandern. 101

102 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen II Eine sehr einfache Indextransformation ist das Verschieben des Summationsindex um 1: nx a i = i=0 n+1 X i=1 a i 1 : 102

103 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen III Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Summen gleich sind: i=0 n+1 X i=1 nx a i = a 0 + a 1 + :::+ a n a i 1 = a a :::+ a (n+1) 1 = a 0 + a 1 + :::+ a n 103

104 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen IV Im Allgemeinen darf man selbstverstäandlich den Summationsindex auch um einen beliebigen konstanten Wert verschieben: nx a i = i=m nx a i = i=m n+k X i=m+k n k X i=m k a i k a i+k 104

105 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen V Eine weitere Indextransformation ergibt sich daraus, dass die Notation mit dem Summenzeichen nur eine abkäurzende Schreibweise darstellt und die Addition kommutativ ist: nx a i = i=0 nx a n i : i=0 105

106 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen VI Auch diese Gleichheit ist leicht einzusehen: nx a i = a 0 + a 1 + :::+ a n i=0 = a n + :::+ a 1 + a 0 = a n 0 + :::+ a n (n 1) + a n n nx = a n i : i=0 106

107 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen VII Die Umformung auf der vorherigen Folie ist nur gäultig, falls die Summe den Startwert 0 besitzt. FÄur alle anderen Startwerte gilt diefolgendeumformung: nx a i = i=m nx i=m a (n+m) i : 107

108 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgaben Aufgabe XI-2 Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. BegrÄunde deine Antworten! a) b) c) np i=2 np i=1 5P i=1 a i = n+4 P a i = n 1 P i = 7 P a j 4 j=6 i=2 i=0 a i 1 (i 2) d) 8P k=4 a k = P 8 a 8 k k=4 108

109 Kapitel XI: Das Summenzeichen Teleskopsummen Teleskopsummen sind Summen der folgenden besonderen Form: nx ai a i+1 : i=0 Aufgrund des besonderen Aufbaus der Summanden heben sich beim Aufsummieren die meisten der Summanden gegenseitig auf: nx ai a i+1 i=0 = a 0 a 1 + a1 a 2 + :::+ an a n+1 = a 0 + a 1 + a 1 + :::+ an + a n an+1 = a 0 a n+1 : 109