Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 1)

Transkript

1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 1)

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Konvergenz Definition der Konvergenz I Eine Folge (a n ) n2n reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl a, wenn es fäur jede reelle Zahl ">0einN 2 N gibt, so dass ja n aj <"fäur alle n N gilt. Eine Folge (a n ) n2n konvergiert uneigentlich gegen 1, wennesfäur jede reelle Zahl r>0einn 2 N gibt, so dass a n >rfäur alle n N gilt. 3

4 Konvergenz Definition der Konvergenz II Graphische Veranschaulichung: 4

5 Konvergenz Definition der Konvergenz III Aufgabe 1 Finde den Grenzwert der Folge (a n ) n2n mit a n = n2 4n 2 1 und zeige mithilfe der De nition der Konvergenz, dass es sich bei dem gefundenen Wert tatsäachlich um den Grenzwert handelt. 5

6 Konvergenz Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Folge (a n ) n2n ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ">0einN 2 N existiert, so dass ja n a m j " fäur alle n; m N gilt. 6

7 Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen I Eine Folge (a n ) n2n hei¼t monoton steigend, falls a n+1 a n fäur alle n 2 N gilt. Entsprechend de niert man monoton fallend. Eine Folge hei¼t monoton, falls sie monoton steigend oder monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n2n hei¼t beschräankt, falls die Menge ihrer Folgenglieder beschräankt ist (d.h., falls die Menge M = a n : n 2 N ª beschräankt ist). Jede monotone und beschräankte Folge ist konvergent. 7

8 Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen II Aufgabe 2 Zeige mithilfe des Satzes Äuber monotone, beschräankte Folgen, dass die Folge (a n ) n2n konvergiert. a 1 = 2 ³ an a n+1 =

9 Stetigkeit Definition der Stetigkeit I Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennfÄur jede Folge (x n ) n2n mit x n 2 D(f) und lim n!1 x n = x 0 gilt: lim n!1 f(x n)=f(x 0 ) Die Funktion f hei¼t stetig auf X (fäur X μ D(f)), falls f stetig an jeder Stelle x 0 2 X ist. 9

10 Stetigkeit Definition der Stetigkeit II Beispiel einer unstetigen Funktion: 10

11 Stetigkeit Definition der Stetigkeit III FÄur jede stetige Funktion muss fäur alle x 0 2 D(f) insbesondere diefolgendeeigenschaftgelten: ³ ³ lim x n!x 0 f(x n ) = f(x 0 )= lim x n!x + 0 f(x n ) : 11

12 Stetigkeit Definition der Stetigkeit IV Die NacheinanderausfÄuhrung zweier stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Funktion. Die NacheinanderausfÄuhrung zweier unstetiger Funktionen ergibt nicht zwangsweise wieder eine unstetige Funktion. 12

13 Stetigkeit Definition der Stetigkeit V Aufgabe 3 Die Funktionen f : R! R und g : R! R seien de niert durch 8 μ < 3p 2 x sin f(x) = x : 2,fÄur x 6= 0; 0, fäur x =0; 8 μ < 2 cos,fäur x 6= 0; g(x) = x : 2 0, fäur x =0: An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? BegrÄunde deine Antwort. Analog fäur g. 13

14 Stetigkeit ε,δ-definition der Stetigkeit Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennesfÄur jedes ">0ein±>0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) <" fäur alle x 2 D(f) gilt,diejx x 0 j <±erfäullen. 14

15 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit I DiereelleFunktionf hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ f(xn ) f(x 0 ) lim x n!x 0 x n x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. f hei¼t di erenzierbar auf X μ D(f), wenn f an jeder Stelle x 0 2 X di erenzierbar ist Zu f läasst sich eine Funktion f 0 mit D(f 0 ) = x 0 2 D(f) : f 0 (x 0 )exisitiert ª de nieren, indem man jedem x 0 den Wert f 0 (x 0 ) zuordnet. Die Funktion f 0 nennt man die Ableitung von f. 15

16 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit II Oftmals wird auch folgende De nition der Di erenzierbarkeit verwendet: Die reelle Funktion f hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ μ f(x0 + h) f(x 0 ) f(x0 + h) f(x 0 ) lim =lim h!0 (x 0 + h) x 0 h!0 h existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. 16

17 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit I Jede di erenzierbare Funktion ist stetig. Im Gegenzug ist aber nicht jede stetige Funktion auch differenzierbar. 17

18 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit II Betragsfunktion: f(x) =jxj Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 = lim n!1 = lim n! n n 0 =1: 0 1 n n 0 = 1: Es existiert also fäur x 0 = 0 kein Grenzwert. Somit ist f in x 0 nicht di erenzierbar, obwohl es an dieser Stelle stetig ist (vgl. Vorlesung und Ä Ubungen). 18

19 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit III Aufgabe 4 Entscheide, ob die folgende Funktion f : R! R an der Stelle x 0 = 12 5 di erenzierbar ist: f(x) = 5x

20 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit I Eine Funktion f hei¼t stetig di erenzierbar, wenn ihre Ableitung f 0 fäur alle x 2 D(f) stetigist. 20

21 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit II f(x) = x 2 1 cos ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt inkl. x 0 =0stetig. f 0 (x) = 1 2x cos x +sin 1 ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt au¼er x 0 =0stetig. 21

22 Integration von Funktionen mit zwei Variablen 22

23 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel I Halbkugel, angenäahert durch 5 5SÄaulen 23

24 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel II Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 24

25 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel III Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 25

26 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel IV Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 26

27 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens I Oftmals interessiert uns das von der Grund Äache G, der Funktion f(x; y) sowie den senkrechten SeitenwÄanden eingeschlossene Volumen. Dieses kann ZZ mithilfe des Doppelintegrals f(x; y) d(x; y) berechnet werden. G 27

28 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens II y Die Integrationsgrenzen werden durch die Grund Äache G bestimmt: 0 1 Z x 2 Z' f(x; y) dya dx x 1 ' 1 ' 2 ' 1 x 1 x 2 x 28

29 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens III Spezialfall: ' 1 und ' 2 sind konstante Funktionen. In diesem Fall kann das Integral auf zwei Arten bestimmt werden: 0 1 Z x Z y 2 f(x; y) dya dx y 2 y ' 2 x 1 y 1 Z y 2 Z x 2 y 1 x 1 1 f(x; y) dxa dy y 1 ' 1 x 1 x 2 x 29

30 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens IV Aufgabe 5: Berechne ZZ f(x; y) d(x; y) auf zwei y G Arten. Hierbei gelte f(x; y) =(x +1) 2 y 1 und die Grund Äache G sei de niert durch die Punkte (1; 1), (3; 1) und (5; 5). 1 x 30

31 Komplexe Zahlen 31

32 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen I Es sei z = a + ib 2 C. Dann hei¼t ² a Realteil von z (Bezeichnung: a =Rez oder a = <z); ² b ImaginÄarteil von z (Bezeichnung: b =Imz oder b = =z); ² jzj = p a 2 + b 2 absoluter Betrag von z; ² z = a ib konjugiert komplexe Zahl zu z. 32

33 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen II 33

34 Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition & Subtraktion Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 + z 2 = ³a 1 + a 2 + i ³b 1 + b 2 ; z 1 z 2 = ³a 1 a 2 + i ³b 1 b 2 : 34

35 Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen II Multiplikation & Division Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 z 2 = ³a 1 a 2 b 1 b 2 + i ³a 1 b 2 + a 2 b 1 ; z 1 z 2 = μ a1 a 2 + b 1 b 2 a i b2 2 μ a2 b 1 a 1 b 2 a : b2 2 35

36 Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung I Komplexe Zahlen käonnen alternativ auch mit Hilfe der folgenden Polarkoordinatendarstellung angegeben werden: z = r ³cos ' + i sin ' : Die Bezeichnungen sind bei dieser Darstellung wie folgt: ² r: Betrag von z; ² ': Argument von z. 36

37 Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung II Es seien z 1 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 )undz 2 = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ). Dann gilt: z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 + ' 2 + i sin '1 + ' 2 ; z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 ' 2 + i sin '1 ' 2 : 37

38 Komplexe Zahlen Umrechnung Zu einer gegebenen komplexen Zahl z 2 C mit z = a + ib ist die Polarkoordinatendarstellung ³ z = r cos (')+isin (') ; wobei sich r und ' wie folgt berechnen lassen: r = p a 2 + b 2 ' = 8 ³ a >< arccos r ³ >: a 2¼ arccos r,fäur b 0,fÄur b<0 38

39 Komplexe Zahlen Die komplexe Exponentialfunktion Eine weitere MÄoglichkeit zur Darstellung komplexer Zahlen ergibt sich durch die Verwendung der komplexen Exponentialfunktion: r ³cos ' + i sin ' = r e i' 39

40 Komplexe Zahlen Aufgabe 6 a) Es seien z 1 =6+i und z 2 =2 3i zwei komplexe Zahlen. Berechne z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2 sowie z 1 z 2. Gib die Ergebnisse jeweils in der Form z = a + ib an. b) Gegeben ³ seien die beiden komplexen Zahlen z 1 =3 3i und z 2 =5 cos ¼ 8 + i sin ¼ 8. (i) Bestimme Betrag und Argument von z = z 3 1 z 2. (ii) Es sei z = z 1 z 2.Gibz in der Form a + ib an. c) Bestimme das Produkt AB der beiden Matrizen A und B: 2i 1+i 3+i 1 A = und B = : 2 i 5 i 1+i 40

41 Landau-Symbole 41

42 Landau-Symbole Landau-Symbole I ³ O f(n) = n o g(n) j 9c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst häochstens so schnell wie f(n)." ³ Ð f(n) = n o g(n) j 9c>0:8n n 0 : g(n) c f(n) \g(n) wäachst mindestens so schnell wie f(n)." ³ f(n) = n o g(n) j9c 1 ;c 2 > 0:8n n 0 : c 1 f(n) g(n) c 2 f(n) \g(n) wäachst genau so schnell wie f(n)." 42

43 Landau-Symbole Landau-Symbole II ³ o f(n) = n o g(n) j 8c>0:8n n 0 : g(n) <c f(n) \g(n) wäachst langsamer als f(n)." ³! f(n) = n o g(n) j 8c>0:8n n 0 : g(n) >c f(n) \g(n) wäachst schneller als f(n)." 43

44 Landau-Symbole Überprüfen von O(f(n)) Um zu ÄuberprÄufen, ob g(n) 2 O(f(n)) gilt, muss der folgende Grenzwert bestimmt werden: μ g(n) lim = c: n!1 f(n) Es gilt ² Ist jcj < 1, ist c also eine (endliche) reelle Zahl, so gilt g(n) 2 O(f(n)). ² Ist jcj = 1, sogiltg(n) 62 O(f(n)). ² Ist c = 0, so gilt zusäatzlich g(n) 2 o(f(n)). 44

45 Landau-Symbole Überprüfen von Ω(f(n)) Um zu ÄuberprÄufen, ob g(n) 2 Ð(f(n)) gilt, muss der folgende Grenzwert bestimmt werden: μ g(n) lim = c: n!1 f(n) Es gilt ² Ist jcj > 0, so gilt g(n) 2 Ð(f(n)). ² Ist c =0,sogiltg(n) 62 Ð(f(n)). ² Ist jcj = 1, sogiltzusäatzlich g(n) 2!(f(n)). 45

46 Landau-Symbole Überprüfen von Θ(f(n)) Um zu ÄuberprÄufen, ob g(n) 2 (f(n)) gilt, muss ÄuberprÄuft werden, ob die folgenden beiden Aussagen gelten: g(n) 2 O(f(n)) sowie g(n) 2 Ð(f(n)): 46

47 Landau-Symbole Beispiel 1 Um zu ÄuberprÄufen, ob p n 2 O(n log n) gilt, muss der folgende Grenzwert bestimmt werden: μ p n lim : n!1 n log n Es gilt: μ p n lim n!1 n log n à 1 (?) 2 p n = lim n!1 1 log n + n 1 n μ = lim n!1 =0 1 2 p n (log n +1)! 47 Bei (?) wurden ³ die Regeln von de l'hospital benutzt. pn Wegen lim =0gilt p n 2 O(n log n). n!1 n log n

48 Landau-Symbole Beispiel 2 Um zu präufen, ob 2 n 2 O(3 n ) gilt, muss der folgende Grenzwert bestimmt werden: μ 2 n : lim n!1 Mehrmaliges Anwenden von de l'hospital fäuhrt nicht zum Ziel: μ μ 2 n 2 n Ã! log 2 2 n (log 2) 2 lim = lim = lim n!1 3 n n!1 3 n log 3 n!1 3 n (log 3) 2 = ::: : Abhilfe käonnen in diesem Fall die Potenzgesetze scha en: μ μ 2 n n 2 lim n!1 3 n = lim =0: n!1 3 Es folgt 2 n 2 O(3 n ). 3 n 48

49 Landau-Symbole Beispiel 3 Um zu präufen, ob 3 log n 2 O(n 3 ) gilt, muss der folgende Grenzwert bestimmt werden: μ 3 log n lim n!1 n 3 : Mehrmaliges Anwenden von de l'hospital fäuhrt nicht zum Ziel: μ Ã! 3 log n 3 log n log 3 1 μ n 3 log n log 3 lim n!1 n 3 = lim n!1 3n 2 = lim n!1 3n 3 = ::: : Auf den folgenden Folien sollen einige mäogliche AnsÄatze zum LÄosen dieses Problems vorgestellt werden. 49

50 Landau-Symbole Beispiel 3 Variante 1 Sowohl 3 log n als auch n 3 sind fäur n!1streng monoton steigende Funktionen. Selbiges tri t auf die \logarithmierten Funktionen" log 3 log n und log n 3 zu; auch diese sind streng monoton steigend. Stellvertretend fäur ³ μ 3 lim log n log (3 n!1 n kann lim log n ) 3 n!1 log (n 3 ) bestimmt werden. Es folgt: lim n!1 Ã! log 3 log n log (n 3 ) = lim n!1 Wegen q<1gilt3 log n 2 O(n 3 ). μ log n log 3 3logn = log 3 3 = q<1: 50

51 Landau-Symbole Beispiel 3 Variante 1 (allgemein) Sind f(n) undg(n) streng monoton steigende Funktionen, so tri t dies auch auf die \logarithmierten Funktionen" log (f(n)) und log (g(n)) zu; f(n) wäachst genau dann schneller als g(n), wenn log (f(n)) schneller wäachst als log (g(n)). Man bestimmt den Grenzwert μ log (g(n)) lim = q: n!1 log (f(n)) ² Gilt jqj <= 1, so folgt g(n) 2 O(f(n)). ² Gilt jqj > 1, so folgt g(n) 62 O(f(n)). 51

52 Landau-Symbole Beispiel 3 Variante 2 Alternativ kann man denselben Trick nutzen, der auch beim logarithmischen Di erenzieren genutzt wird; Man schreibt die Funktionen mittels der e- und der log-funktion um: μ 3 log n lim n!1 n 3 Es folgt 3 log n 2 O(n 3 ). = lim n!1 = lim n!1 Ã e log (3 log n ) e log (n3 ) μ e log n log 3 e 3logn! n log 3 3logn = lim elog n!1 = e lim (log n (log 3 3)) n!1 h = e 1i =0 52

53 Landau-Symbole Beispiel 3 Variante 3 Mittels de l'hospital hatten wir anfangs die folgende Gleichung erhalten: μ μ 3 log n 3 log n log 3 lim n!1 n 3 = lim n!1 3n 3 Umformen ergibt: μ 3 log n lim n!1 n 3 = log 3 3 μ 3 log n lim n!1 n 3 Diese Gleichung ist nur dann wahr, wenn lim n!1 Es folgt 3 log n 2 O(n 3 ). ³ 3 log n n 3 =0gilt. 53

54 Landau-Symbole Aufgabe 7 Bringe die folgenden Funktionen bezäuglich ihres Wachstumsverhaltens in eine aufsteigende Reihenfolge, d.h., es soll gelten: Steht f(n) vor g(n), sosollf(n) 2 O(g(n)) gelten. f 1 (n) =n 3 f 2 (n) =n log n f 3 (n) =n log n f 4 (n) = p n f 5 (n) =2 2n f 6 (n) =2 n f 7 (n) =3 log n f 8 (n) =n! 54