Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am , bzw

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1 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am , bzw Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht bzw. drei gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung. Da keine Taschenrechner zugelassen sind, brauchen Zahlenrechnungen, für die man normalerweise einen Taschenrechner benutzen würde, nicht durchgeführt zu werden. Ausnahme: Zwischenergebnis, für das der Zahlenwert für die weitere Behandlung der Aufgabe unbedingt nötig ist. Dieser Zahlenwert kann aber dann durch Kopfrechnung ermittelt werden. Ein Endergebnis ist vollständig, wenn zur Ermittlung des Zahlenwertes höchstens die Ausführung der elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Anwendung elementarer Funktionen (exp x( e x ), ln x, log x, sin x, cosx, tanx, arcsin x, arccosx, arctan x, x y, x, y x) nötig wäre. Z.B. wären (1. ) oder arctan(./ 1.) gültige Endergebnisse. Die Bildung von m! und des Binomialkoeffizienten z.b. gehören nicht zu den elementaren Rechenoperationen. c) Zugelassene Hilfsmittel: 15 bzw. Seiten DIN A mit Sätzen, Definitionen und Formeln (einschließlich begleitender Text dazu), aber ohne Aufgaben, ohne Lösungsvorschläge von Aufgaben und auch ohne Beispiele, Fremdsprachenwörterbücher (ohne zusätzliche Einträge). Weitere Hinweise: a) Wer mindestens bzw. 8 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem File allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe WS78/.

2 2 Aufgabe 1 1 Punkte a) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergent oder bestimmt divergent sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert (als reelle Zahl oder oder ) : a n := 15n 1n 2 7n 2 1n + 2, b n := n 2n (n 2 + 1) 2, c n := 6n 6 + n 2 6n 6 + n n 2. b) Prüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie sie gegebenenfalls (als reelle Zahl oder oder ): lim f(x), x lim f(x), x ( 7) lim f(x), x 1+ lim f(x) und lim f(x) x 1 x 1 mit f(x) := x + 9x x + 7. x 2 + 6x 7 Lösungsvorschlag: a) a n := 15n 1n 2 7n 2 1n + 2 = n n 15 1/n 2 7 1/n + 2/n Damit ist die Folge bestimmt divergent mit dem Grenzwert +. = für n. b n := n 2n = n (n 2 + 1) 2 n 1 2/n2 + 1/n 1 1 = 1 für n. (1 + 1/n 2 ) 2 12 Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 1. c n = 6n6 + n 2 6n 6 n + n 2 6n6 + n 2 + 6n 6 + n n = n 2 n 6 + 1/n /n /n 1/n 1 1 für n. Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 1/(2 6). b) x + 9x x + 7 x 2 + 6x 7 = x x 1 + 9/x + 15/x2 + 7/x 1 = für x /x 7/x 2 1 Da der Nenner sowohl bei 1 als auch bei (-7) gleich ist, müssen wir soweit wie möglich durch Linearfaktoren kürzen. Bei dem Zähler erhalten wir x + 9x x + 7 x=1 = und durch Anwendung des Horner Schemas: also (x + 9x x + 7) = (x ( 7))(x 2 + 2x + 1). x + 9x x + 7 x 2 + 6x 7 = (x + 7)(x2 + 2x + 1) (x + 7)(x 1) = x2 + 2x + 1 x 1 ( 7) für x ( 7)

3 x 5x 2 + x + 5 x 2 + x 1 = x2 + 2x + 1 x 1 = 1 x 1 (x2 +2x+1) (± ) = ± für x 1±, da (x 1) von oben (unten) gegen strebt, wenn x von oben (unten) gegen 1 strebt. Da nun die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert nicht. lim f(x) x 1 Aufgabe 2 bzw. 1 8 Punkte a) Ein Berufsanfänger verfügt am 1. Januar 211 über ein Sparguthaben von 2 Euro. Zusätzlich schließt er einen Ratensparvertrag ab. Es wird ein nomineller Jahreszinssatz von.6% vereinbart. Über welchen Betrag kann er am 1. Dezember 229 verfügen, wenn er vom 1. Januar 211 bis zum 1. Dezember 229 an dem ersten Tag jedes Monats Euro einzahlt und wenn die Zinsen i) am Ende jedes Monats gutgeschrieben werden? ii) am Ende jedes Jahres gutgeschrieben werden? b) Bei welchem Jahreszinssatz wächst ein Kapital von Euro (ohne weitere Zahlungsaktivitäten) nach 2 Jahren auf 8 Euro an, wenn die Zinsen am Ende jedes Jahres gutgeschrieben werden? Lösungsvorschlag: a) i) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten (wobei die Monate von 229 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: Zinsfaktor: q 12 := ( ) = 1., Zahl der Monate: 19 12(= 2 12 = 228) Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: K 228 = 2 1. (19 12) 1.(19 12) ii) Es werden Zinsen auch für die Teilabschnitte berechnet, aber nicht am Ende des Monats, sondern erst am Ende des Jahres gutgeschrieben. Es ist also die Formel (6.2) mit m = 1, l = 12 und dem Zinsfaktor q 1 = q := 1 +.6/1 = 1.6 anzuwenden, und daher erhalten wir, da es sich um vorschüssige Zahlungen handelt, als Endkapital K 19 = ( 12 + ) (12 + 1)

4 b) Nach Formel (6.5) erhalten wir für den Zinsfaktor q = 8 und damit für den Zinssatz p = Aufgabe bzw. 2 Punkte Ein Kredit in Höhe von Euro soll mit festen monatlichen Beträgen A zurückgezahlt werden, und zwar jeweils am Ende des Monats. Der nominelle Jahreszinssatz betrage 6%, die Zinsgut- oder lastschrift erfolgt ebenfalls monatlich. Wie groß muss A sein, damit der Kredit nach 1 Jahren vollständig abgezahlt ist? Lösungsvorschlag: Es wird ein konstanter Betrag A monatlich (nachschüssig) zurückgezahlt, und zwar 1 Jahre lang. Damit gilt nach Formel (6.22) mit m = 12 und q 12 = = 1.5 und N = 1 12 = 12 (Laufzeit in Monaten) für den Betrag der monatlichen Zahlung: A = Aufgabe bzw. Punkte In eine Anlage, die zwei Jahre lang betrieben wird, werden Euro am Anfang des ersten Jahres investiert. Im ersten Betriebsjahr wird ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von 2 Euro erzielt, im zweiten ein Einzahlungsüberschuss in Höhe von 1 Euro, die jeweils am Jahresende dem Betrieb zufließen. Wie hoch ist der interne Zinssatz (d.h. der Zinsatz unter dem ein Kreditszinssatz unbedingt bleiben muss)? Zur Erleichterung der Zahlenrechnung: =.1,.2 2 = 17.6, = 8.1, =.6 Lösungsvorschlag: Mit E :=-investierte Summe= 1 und den Einzahlungsüberschüssen E 1 =.2 1 und E 2 = 1 erhalten wir, dass die Voraussetzungen von Satz 6.5.1, nämlich E <, E k für k = 1, 2, E + E 1 + E 2 = ( ) 1 >, erfüllt sind und damit ein eindeutig bestimmter interner Zinssatz p existiert. Bestimmung des internen Zinssatzes: v( )(Kapitalwert) = ( ) 1! = liefert die Lösungen 1 = = = =.8 und 2 = <. Da (, 1) sein muss, ist nur die erste Lösung zu verwenden, und wir erhalten q = 1/.8 und damit p = 1 (1/.8 1).

5 5 Aufgabe 5 16 Punkte a) Vorgegeben sei die Funktion f(x) := x x + 1. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton wachsend ist, und die Intervalle, in denen sie monoton fallend ist. (Dabei soll jedes x IR zu mindestens einem der Intervalle gehören.) Prüfen Sie, ob f(x) (relative) Extremwerte besitzt, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Stelle(n), an der (denen) sie angenommen werden. b) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 16 p 2, p >, gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die Kostenfunktion sei 1 + q für q, K(q) := q für < q 16. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion p = N 1 (q) der Funktion q = N(p), und prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn (p q K) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis. Hinweis: Untersuchen Sie zuerst g(q), also den Gewinn als Funktion von q. Zur Erleichterung der Zahlenrechnung: = 6.9. Lösungsvorschlag: a) f (x) := x 12x 2 = x 2 (x 12) Da x 2 immer ist, ist f (x) (x 12) x und f (x) (x 12) x f ist also auf (, ] monoton fallend und auf [, ) monoton wachsend. Da f auf IR stetig ist, besitzt f an der Übergangsstelle x = ein relatives Minimum. b)q = 16 p 2 p 2 = 16 q 1. Da p > ist, gilt damit p = N 1 (q) = q 1/2 1 + q für q, g(q) = q 1/2 q K(q) = q 1/ q für < q 16. Für die Ableitung erhalten wir somit g (q) = 2 q 1/2 1 für q <, 2/ für < q 16. Nullstellen der Ableitung: In q < : 2 q 1/2! = 1 2 = q q =. Da nun / [, ) ist, ist dies keine Nullstelle der Ableitung. In < q 16: 2 q 1/2! = 2/ = q q = 9.

6 6 Da nun q 1 := 9 (, 16] ist, ist dies eine Nullstelle der Ableitung. Wir bilden nun an allen extremwertrelevanten Stellen, also an der einzigen Nullstelle der Ableitung, an den Randstellen und 16 und an der Nahtstelle, soweit möglich Funktionswerte und soweit nötig einseitige Grenzwerte: g(9) = / = = 7 g() = g(+) = 1, g() = g( ) = 1 = 6.9 = 2.9 g(+) = 1 2 = = 8.7 g(16) = g(16 ) = / < = 7 Der größte Wert davon ist offensichtlich 2.9. Dies ist das absolute Maximum und wird an der Nahtstelle q = als Funktionswert angenommen und nur dort. Der zu fordernde Preis ist somit p = 1/2 Aufgabe 6 Punkte An welcher Stelle besitzt der Graph der Funktion f(x, y) := x 2 + 6xy + y 2 + 5x y + 1 eine waagerechte Tangentialebene? Lösungsvorschlag: Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x, y) :=:= x 2 + 6xy + y 2 + 5x y + 1 sind überall stetig, und somit besitzt der Graph von f eine waagerechte Tangentialebene, wenn beide ersten partiellen Ableitungen = sind: f x (x, y) = 2x + 6y + 5 =! f y (x, y) = 6x + 2y 1 =!. Zieht man das fache der ersten Gleichung von der zweiten ab, so erhält man 16y 16 = und damit y = 1. Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt 2x = = 1 und damit x =.5. Somit besitzt der Graph von f an der Stelle (.5, 1) eine waagerechte Tangentialebene und nur dort. Aufgabe 7 6 Punkte Im IR seien die Vektoren a 1 := 2 1, a 2 := 1, a := 2 gegeben. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a 1 und a 2, den Flächeninhalt des von a 1 und a 2 aufgespannten Parallelogramms und das Volumen des von den drei Vektoren a 1,a 2,a aufgespannten Spats. Lösungsvorschlag: a 1 = ( 1) 2 = 1, a 2 = = 17. Für den Winkel ϕ(! [, π]) zwischen den Vektoren a 1 und a 2 gilt ( ) ( )) ϕ = arccos (= arccos

7 a 1 a 2 = 2 = ( 1) 1 = Damit erhalten wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms F = a 1 a 2 = ( ) und für das Volumen des Spats 6 V = (a 1 a 2 ) a = 2 = 6 + ( ) = Aufgabe 8 11 Punkte a) Bestimmen Sie den (endlichen und positiven) Flächeninhalt zwischen den Kurven zu f(x) := x + x und g(x) := 17x + 5. b) Bestimmen Sie folgende Integrale: π x cosx dx, 2 2x cos(x 2 ) dx. Lösungsvorschlag: a) Zunächst bestimmen wir die Schnittstellen zwischen beiden Kurven: f(x) g(x) = x + x (17x + 5) = x + x 2 17x + 15 =!. Offensichtlich ist x 1 = 1 eine Nullstelle von f g und damit eine Schnittstelle der Kurven. Wir dividieren f(x) g(x) durch (x 1) z.b. mit Hilfe des Horner Schemas: Damit erhalten wir f(x) g(x) = (x 1)(x 2 + 2x 15) und somit als weitere Schnittstellen die folgenden Lösungen der quadratischen Gleichung (x 2 + 2x 15) = : x 2, = ( 2 ± + 15 )/2 = ( 2 ± 8)/2, also x 2 = und x = 5. ( 5) und sind also die beiden äußersten Schnittstellen und (f g) ist auf den Intervallen ( 5, 1) und (1, ) stetig und nullstellenfrei und hat damit jeweils einheitliches Vorzeichen. Welches, lässt sich mit Hilfe der Linearfaktorzerlegung f(x) g(x) = (x )(x 1)(x + 5) klären: Im Intervall ( 5, 1) ist (x ) <, (x 1) <, (x + 5) > und damit (f(x) g(x)) >. Im Intervall (1, ) ist (x ) <, (x 1) >, (x + 5) > und damit (f(x) g(x)) <. Wir erhalten somit als die Flächeninhalt zwischen den Kurven: 5 x + x 2 17x + 15 dx = 1 5 x + x 2 17x + 15 dx + 1 x + x 2 17x + 15 dx

8 8 = 1 5 [ x (x + x 2 17x + 15) dx ] 1 1 [ x (x + x 2 17x + 15) dx = + x 17x2 + 15x 2 + x 17x2 + 15x ( 1 = 1 17 ) ( ) ( 5) ( 5) 17 ( 5) ( 5) 2 ( ) ( ) ] b) π π x cosx dx = [x sin x] π sin x dx = [cosx] π Mit der Substitution x 2 =: u ( 2x dx = du) erhalten wir: = cosπ cos 2 2x cos(x 2 ) dx = cosu du = [sin u] = sin sin