Klausur - Mantelbogen

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1 Klausur - Mantelbogen Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung BW-WMT-P Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluß der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite / Rand für Korrekturen frei, und numerieren Sie die Seiten fortlaufend. Schreiben Sie jeweils zu Ihren Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese beziehen. Viel Erfolg! Ausgegebene Arbeitsblätter Abgegebene Arbeitsblätter Ort, Datum Aufsichtsführende(r) Ort, Datum Prüfungskandidat(in) Aufgabe 4 6 Summe max. Punktezahl erreichte Punktezahl. Prüfer Gesamtpunktzahl bestanden/ nicht bestanden Datum,. Prüfer Datum,. Prüfer Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 99047

2 Mantelbogen Anmerkungen des Erstprüfers: Datum,. Prüfer Anmerkungen des Zweitprüfers: Datum,. Prüfer 0F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite

3 Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WMT-P Datum Bei jeder Aufgaben ist neben der Lösung auch der Lösungsweg anzugeben. Aus der Dokumentation des Lösungsweges sollte eindeutig zu erkennen sein, wie Ihre Lösung zustande gekommen ist. Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: 0 Minuten Taschenrechner Anzahl Aufgaben: Studienbriefe Höchstpunktzahl: Formelsammlung Vorläufiges Bewertungsschema: Punktzahl Note von bis einschl. 9 00,0 sehr gut 90 94, sehr gut 8 89,7 gut 80 84,0 gut 7 79, gut 70 74,7 befriedigend 6 69,0 befriedigend 60 64, befriedigend 9,7 ausreichend 0 4 4,0 ausreichend 0 49,0 nicht ausreichend Viel Erfolg! Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 99047

4 Klausuraufgaben Aufgabe vgl. SB, Kap.., Kap.., Kap..4 insg. 6 Punkte Ein Unternehmer setzt sich am mit Euro zu 8% p.a. angelegt zur Ruhe. a) Welche gleichbleibende nachschüssige Rate kann er ab 08 jährlich davon 6 Jahre lang abheben, so daß dann das Kapital aufgebraucht ist? b) Welchen Betrag hat er am Ende des 0.0. noch auf seinem Konto, wenn er ab 06 jährlich vorschüssig Euro abgehoben hat? ( Die Bank sei auch an jedem.. geöffnet.) (8 Pkte) (8 Pkte) Aufgabe vgl. SB 7, Kap. u. insg. Punkte Ermitteln Sie das unbestimmte Integral : a) x x dx x e b) 7 7x 7 dx Aufgabe vgl. SB7, Kap. 4 u. insg. 6 Punkte Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen gx ( )= x + 4 hx ( )= x 4 eingeschlossen wird. und Aufgabe 4 vgl. SB, Kap.4 insg. Punkte Bestimmen Sie für die Gesamtkostenfunktion K( x)= x x + x diejenigen Stückzahlen, 0 für die die Stückkosten k(x) minimal werden. Für welche Warenmenge liegt bei einer Ertragsfunktion E( x)= x 7 ein maximaler Gewinn vor? Aufgabe vgl. SB9, Kap..4 insg. 4 Punkte Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Extremwerte : fxy (,)= x + 9x xy+ 0y y 0F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite

5 Klausuraufgaben Aufgabe 6 vgl. SB6, Kap..6 insg. Punkte In einer Produktionsanlage werden aus drei Rohstoffen R, R und R zwei Zwischenprodukte Z und Z sowie drei Endprodukte E,E und E gemäß den angegebenen Produktionsmatrizen A und B hergestellt. Wieviele Rohstoffe R, R und R werden benötigt um 00 Einheiten des Endprodukts E, 400 Einheiten des Endprodukts E und 00 Einheiten des Endprodukts E herstellen zu können. Dabei sei R A = R R Z Z 4 8 B Z Z = E E E F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite

6 Korrekturrichtlinie Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am Betriebswirtschaft BW-WMT-P Um größtmögliche Gerechtigkeit zu erreichen, ist nachfolgend zu jeder Aufgabe eine Musterlösung inklusive der Verteilung der Punkte auf Teilaufgaben bzw. Lösungsschritte zu finden. Natürlich ist es nicht möglich, jede denkbare Lösung anzugeben. Stoßen Sie daher bei der Korrektur auf einen anderen als den angegebenen Lösungsweg, so nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte auf die einzelnen Lösungsschritte sinngemäß vor. Sind in der Musterlösung die Punkte für eine Teilaufgabe summarisch angegeben, so ist die Verteilung dem Korrektor überlassen. Rechenfehler sollten nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wird also mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so sind die hierfür vorgesehenen Punkte zu erteilen. Die Bewertung der Studienleistung erfolgt differenziert. Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist folgendes Notenschema zugrunde zu legen: Punktzahl Note von bis einschl. 9 00,0 sehr gut 90 94, sehr gut 8 89,7 gut 80 84,0 gut 7 79, gut 70 74,7 befriedigend 6 69,0 befriedigend 60 64, befriedigend 9,7 ausreichend 0 4 4,0 ausreichend 0 49,0 nicht ausreichend Die Prüfungsleistung gilt als bestanden, wenn mindestens 0 Punkte erreicht wurden. Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 99047

7 Korrekturrichtlinie Lösung vgl. SB, Kap.., Kap.., Kap..4 insg. 6 Punkte a) Das Kapital wird zunächst binnen zwei Jahren verzinseszinst : K = K0 q mit q = 08,, ergibt sich für K = Euro n ( Bei nachschüssiger Zahlung gilt für die Rentenrate : r R q q ) = 0 n q Mit q=,08 und n= 6 ergibt sich für die Rate r =, Euro b) Man benutze die Sparkassenformel für vorschüssige Entnahme : E K q r q q n n n = 0 q mit q = 08, ; K 0 = 0, 000 Euro ; r = Euro und n = 6 ergibt sich ein Wert von E6 = 9. 04, 48 Euro vor Empfang der siebenten Rate. Nach einer weiteren Entnahme von Euro am 0.0. verbleiben am Ende des 0.0. noch 9.044,48 Euro. ( Pkte) ( Pkte) Lösung vgl. SB 7, Kap. u. insg. Punkte a) x dx 4 x = x dx = x dx x x = + = + x e 7 ( ) b) dx = ln ( ) 7x 7 sofern x 0 e dx= x + C e + C = ln x e + C x x x x Lösung vgl. SB 7, Kap. 4 u. insg. 6 Punkte Bestimmung der Schnittstellen g(x) = h(x) : x + 4= x 4 x x+ 90 = 0 x x+ 0 = 0 Durch Lösen der quadratischen Gleichung folgt : x = ; x = 6 Berechnung der Fläche im Intervall : [ 6, ] x [ ] A = g( x) h( x) dx x 6 ( ) A = x x+ 90 dx = x x + 90x = ( ) ( ) A = = 6 = 6 ( Pkte) ( Pkte) ( Pkte) ( Pkt) 0F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite /

8 Korrekturrichtlinie Lösung 4 vgl. SB, Kap. 4 insg. Punkte 0 Aus der Kostenfunktion K( x)= x x + x ergibt sich die Stückkostenfunktion Kx ( ) kx ( ) = = x x+ durch Division von K(x) durch x. ( Pkte) x 0 Es gilt, die Minima dieser Funktion zu finden. Dazu bildet man die erste Ableitung : k ( x) = x (4 Pkte) und bestimmt deren Nullstellen : k ( x) = x = 0 x = 0 Als nächstes ist festzustellen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dazu muß man die zweite Ableitung von k(x) bilden, und deren Wert an der Stelle x bestimmen. k ( x) = k ( x ) > 0 x Da der Funktionswert der zweiten Ableitung von k(x) größer als Null ist, handelt es sich um ein Minimum der Stückkostenfunktion bei 0 Stück. Die Gewinnfunktion G(x) bildet sich aus K(x) und E(x) gemäß Gx ( ) = Ex ( ) Kx ( ) Gx ( ) = ( x 7) ( x x + x) = x + x Ein Extremum dieser Funktion ergibt sich aus den Nullstellen ihrer ersten Ableitung : G ( x) = x + 4x= 0 x = oder x = ; G ( x ) = G ( ) =+ G ( x) = x+ 4 0 G ( x ) = G ( 40) = 4 Die Stelle x = 0 ist uninterressant, da bei einer Stückzahl von 0 keine Produktion stattfindet. Außerdem ist der Funktionswert der zweiten Ableitung der Gewinnfunktion an der Stelle x = 0 größer Null, so daß bei x ein Minimum vorliegt. Allerdings ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle x 40 = negativ, so daß es sich um ein Maximum an dieser Stelle handelt. Der Gewinn ist also für eine Stückzahl von dreizehn maximal. ( Pkte) ( Pkte) Lösung vgl. SB9, Kap..4 insg. 4 Punkte Die Fkt. lautet : fxy (,)= x + 9x xy+ 0y y f (,) x y = x y + 9 ; f (,) x y = 4y x+ 0 x y Schritt : Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet : f (, x y) = 0 und f (, x y) = 0 x y + 9 = 0 y = 4x+ 8 y= 4x+ 8 Mögliches Extremum im Punkt P ( 4, ) 4y x+ 0 = 0 x 6= 0 x = 4 und y = + x y 0F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite /

9 Korrekturrichtlinie Schritt : Nun ist zu prüfen, ob gilt : fxx( xe, ye ) fyy( xe, ye ) fxy( xe, ye) > 0 Es gilt : fxx(,) x y = ; fyy(,) x y = 4 ; fxy(,) x y = Schritt : Man betrachte den Punkt P ( 4, ) : fxx( 4, ) = ; fyy( 4, ) = 4 ; fxy( 4, ) = fxx( 4,,) fyy( 4, ) fxy( 4, ) = + > 0 4 da f xx ( 4, ) < 0 bzw. f yy ( 4, ) < 0 ist, handelt es sich um ein lokales Maximum in P ( 4, ). Lösung 6 vgl. SB6, Kap..6 insg. Punkte Die Multiplikation der Matrizen AundB ergibt die Produktmatrix P P R R R = E E E = A B : (7 Pkte) Die Produktmatrix gibt an, wieviele der Rohstoffe zur Herstellung eines der jeweiligen Erzeugnisse benötigt werden. Um zu ermitteln wieviele Rohstoffe zur Produktion einer vorgebenen Menge an Erzeugnissen erforderlich sind, bildet man zunächst die Erzeugnismatrix E E 00 E 400 E = und multipliziert die Produktmatrix P mit dieser. E 00 PE = = Es werden also 600 Einheiten vom Rohstoff R, 600 Einheiten vom Rohstoff R und 7400 Einheiten vom Rohstoff R benötigt. 0F99BwMaPrVG7Jo9908 BW-WMT-P Seite /