Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum. Wirtschaftsingenieurwesen. Klausur-Kennzeichen. WB-WMT-P Datum Abgegebene Arbeitsbögen

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1 Name, Vorname Matrikel-Nr Studienzentrum Studiengang Modul Art der Leistung Klausur-Kennzeichen Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik Prüfungsleistung WB-WMT-P 96 Datum 69 Ausgegebene Arbeitsbögen Ausgegebene Arbeitsblätter Ort, Datum Name in Druckbuchstaben und Unterschrift Aufsichtführende(r) Abgegebene Arbeitsbögen Abgegebene Arbeitsblätter Ort, Datum Prüfungskandidat(in) Aufgabe W W 4 6 T T Note ma Punktezahl Bewertung Prüfer ggf Gutachter Prüfer (Name in Druckbuchstaben) Datum, Unterschrift ggf Gutachter (Name in Druckbuchstaben) Datum, Unterschrift ggf Gutachten im Rahmen eines Widerspruchsverfahrens Mantelbogen, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB 9 GmbH WB-WMT-P 96

2 Mantelbogen, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Anmerkungen Prüfer: Datum, Unterschrift Anmerkungen Gutachter: Datum, Unterschrift Sonstige Anmerkungen: Datum, Unterschrift WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 4

3 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Modul Mathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Kennzeichen WB-WMT-P 96 Datum 69 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer Lassen Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw Teilaufgabe sich diese bezieht Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen (kein Bleistift) Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen Unleserliches wird nicht bewertet Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note bewertet Bearbeitungszeit: Minuten Hilfsmittel: Anzahl Aufgaben: 6 Höchstpunktzahl: HFH-Taschenrechner Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Aufgabe W W 4 6 T T ma Punktezahl Viel Erfolg! Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB 9 GmbH WB-WMT-P 96

4 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Bitte beachten Sie: Die Aufgaben W und W sind nur von den Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen zu bearbeiten Studierende des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen bearbeiten bitte anstelle dieser Aufgaben die Aufgaben T und T am Ende der Aufgabenblätter Aufgabe W nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 6 Punkte Herr Mustermann zahlt beginnend mit dem Jahre jährlich nachschüssig folgende Beiträge in seine Lebensversicherung: :, 6 :, :, ab 6: keine Beiträge Die Lebensversicherung wird im Erlebensfall am Ende des Jahres ausbezahlt Die Verzinsung des einbezahlten Kapitals über die Laufzeit der Lebensversicherung beträgt 7 % pa (Zinseszins) Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag der Lebensversicherung? Aufgabe W nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 8 Punkte Ein Bauherr nimmt zur Finanzierung seines Hauses ein Hypothekendarlehen über, auf Der Zinssatz beträgt 8 % und für das erste Jahr wird eine Tilgung von % vereinbart Es handelt sich um eine Annuitätentilgung (Annuitätenkredit) Berechnen Sie die Laufzeit der Hypothek 6 Erstellen Sie den Tilgungsplan (Restschuld zu Beginn des Jahres, Zinsen, Tilgung und Annuität) für das 7, 8, und 9 Jahr Aufgabe 8 Punkte Durch die drei Vektoren: a, b und c wird ein so genanntes Parallelflach aufgespannt Bestimmen Sie die geometrische Form dieses Parallelflachs, indem Sie die Längen der Vektoren und die Winkel zwischen den Vektoren berechnen Bestimmen Sie das Volumen des Parallelflachs mit Hilfe des Spatprodukts der Vektoren WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

5 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Aufgabe 4 4 Punkte Der im folgenden Bild skizzierte Balken mit loser Einspannung am linken Ende und schrägem Loslager am rechten Ende wird in der Balkenmitte durch eine schräg unter dem Winkel α > angreifende konstante Kraft F belastet Die beiden Lagerkräfte FA und FB sowie das Moment M A genügen dabei dem folgenden linearen Gleichungssystem:, F F M A B A F sinα,f sinα F cosα Bestimmen Sie die unbekannten Kräfte FA und FB sowie das Moment M A für den Fall, dass F und α beträgt Hinweis: Verwenden Sie den Zahlenwert cos und wandeln Sie zu Ihrer Erleichterung bei Ihren Berechnungen den Ausdruck nicht in eine Dezimalzahl um Aufgabe Punkte Lösen Sie die Differentialgleichung y + 9y + 4 WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

6 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Aufgabe 6 4 Punkte Für zwei Produkte P und P ist der Zusammenhang zwischen den Absatzmengen und sowie ihren Preisen und p gegeben durch die Nachfragefunktionen p ( p, p ) p p und ( p, p ) 6 p p Bei welcher Kombination der Preise und p wird der Erlös p E( p, p ) ( p, p ) p + ( p, p ) p maimal? Bitte beachten Sie: Die Aufgaben T und T sind ausschließlich nur von den Studierenden des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen zu bearbeiten Aufgabe T nur für Sonderstudiengang Technik 6 Punkte Bestimmen Sie eine Stammfunktion von cos f ( ) + sin Welcher Flächeninhalt wird vom Graphen der Funktion f () und der positiven -Achse im Intervall [, ] eingeschlossen? bezeichne die erste Nullstelle von f () auf der positiven -Achse 8 8 Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Nullstelle von f () Aufgabe T nur für Sonderstudiengang Technik 8 Punkte Bestimmen Sie Nullstellen, Etremwerte und Wendepunkte der Funktion y f ( ) (ln ) ln mit D { R > } Geben Sie bitte bei den Etremwerten und Wendepunkten auch die jeweiligen Funktionswerte mit an Hinweise: Auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung bei der Bestimmung der Wendepunkte kann verzichtet werden ln Bitte beachten Sie, dass folgende Beziehung gilt: ln( e ) e WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

7 Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Mathematik am 69 Wirtschaftsingenieurwesen WB-WMT-P 96 Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren roten Schrift vor Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie bitte in den Klausur-Mantelbogen ein Unterzeichnen Sie bitte Ihre Notenfestlegung auf dem Mantelbogen Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung das folgende Notenschema zu Grunde zu legen: Punktzahl von bis einschl Note 9, sehr gut 9 94,, sehr gut 8 89,,7 gut 8 84,, gut 7 79,, gut 7 74,,7 befriedigend 6 69,, befriedigend 6 64,, befriedigend 9,,7 ausreichend 4, 4, ausreichend 49,, nicht ausreichend Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 8 Juli 9 in Ihrem Studienzentrum ein Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel 4 / 94- bzw birgithupe@hamburger-fhde) Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB 9 GmbH WB-WMT-P 96

8 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstet angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind Lösung W vgl SB, Abschn / 6 Punkte : Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von, über Jahre: n q Rn r (Formelsammlung 9) q Mit r,, n und q, 7 folgt,7 R, 87,7,7 Verzinsung des erhaltenen Rentenendwertes bis einschließlich ( Jahre): K n n K q (Formelsammlung 8) Mit K 87,7, n und q, 7 folgt K 87,7,7 79,6 6 : Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von, über Jahre: R n n q r q Mit r,, n und q, 7 folgt,7 R, 77,9,7 Verzinsung des erhaltenen Rentenendwertes bis einschließlich ( Jahre): n K n K q Mit K 77,9, n und q, 7 folgt K 77,9,7,74 : Rentenendwert für nachschüssige Einzahlung von, über Jahre: n n R q r q WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

9 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Mit r,, n und q, 7 folgt,7 R, 4,78,7 Verzinsung des erhaltenen Rentenendwertes bis einschließlich ( Jahre): n K n K q Mit K 4,78, n und q,7 folgt K 4,78,7 64,8 Für den Auszahlungsbetrag folgt K K + K + K 79,6 +, ,8 77,8 Lösung W vgl SB, Abschn 8 Punkte Zinsen im Jahr: Z S i,,8 6, Tilgung im ersten Jahr: T S i,,, Annuität: A Z + T 8, Laufzeit des Annuitätenkredits (Formelsammlung ): log A logt n log q Einsetzen von A, T und q, 8 liefert log8, log, n 8, log,8 Damit beträgt die Laufzeit 9 Jahre Restschuld zu Beginn des 7 Jahres (nach Zahlung von 6 Annuitäten), vgl Formelsammlung : S 6 S q 6 6 q A q Mit S,, A 8, und q, 8 ergibt sich 6 6,8 S 6,8 8 49,7,8 WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

10 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Damit ergibt sich folgender Tilgungsplan (in Euro) für die Annuitätentilgung: Jahr j S j Restschuld zu Beginn des Jahre Zinsen, fällig am Ende des Jahres Z j Tilgung fällig am Ende des Jahres T j Annuität 7 49,7 7,9 479,7 8, 8 98,46,88 976, 8, 9 9,4 74,79 9,4 68, 4 Die Zahlenwerte ergeben sich unter Berücksichtigung von: Z j S j,8 für j 7, 8, 9 und S j S j T j für j 7, 8 T j 8, Z j für j 7, 8 und T 9 S8 sowie A 9 Z 9 + T9 A Lösung vgl SB 8, Abschn und SB 8, Abschn 4 8 Punkte Beträge der Vektoren gemäß Formelsammlung 4: a a + a y + az a a + ( ) b b ( ) c c + Bestimmung der Winkel zwischen den Vektoren über das Skalarprodukt der Vektoren, vgl Formelsammlung 4: a b a b a b cos ( a, b) cos ( a, b) a b a b a b + a yby + azbz a b + + ( ) cos ( a, b) ( a, b) 9 a b a c + + ( ) cos ( a, c) ( a, c) 9 a c WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

11 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 4/ ), ( ), ( cos c b c b c b c b Die Beträge (Längen) der Vektoren sind gleich und die Winkel zwischen den Vektoren sind jeweils 9 (die Vektoren stehen jeweils senkrecht aufeinander), damit handelt es sich um einen Würfel Spatprodukt von Vektoren, vgl Formelsammlung 4: z y z y z y c c c b b b a a a c b a ) ( Damit ist Würfel V Berechnung der Determinante über die SARRUS-Regel (Formelsammlung ) bzw über Komponentendarstellung Spatprodukt (Formelsammlung 4): 4 ) 4 ( V Lösung 4 vgl SB 6, Abschn 4 Punkte Einsetzen der Werte führt auf folgendes LGS: cos sin sin, A B A M F F Bilden der erweiterten Matri ), ( b v A und Anwendung des GAUß-Algorithmus: Hinweis: Zur Bildung der oberen Dreiecksmatri sind unterschiedliche Alternativen möglich Zweckmäßig ist es bei diesem LGS sich nach den Zahlenwerten zu richten Die Punkte sind entsprechend zu verteilen,

12 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB I III II III ( ( ) ) : : : ( ( ) ) (nicht mehr unbedingt erforderlich ist Vertauschung der und Zeile) ( ) ( ) Damit erhält man folgende Lösung: F ( ) A F B M ( ) A Lösung vgl SB 8, Abschn Punkte Schritt: Bestimmung der Lösung yh der homogenen Dgl y + 9 y Ansatz k y e und Lösung der charakteristischen Gleichung k + a k + a k + 9 (d h a und a 9 ) k ± 9, Da für die Diskriminante D a 4a < Lösungen k i und k i Der Ansatz für die Lösungsgesamtheit der homogene Dgl lautet (Formelsammlung, Fall ): D < gilt, gibt es zwei zueinander konjugiert komplee δ y e ( A cosω + A sin ω ) Mit a a δ und ω a 9 folgt yh A cos + A sin WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /

13 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Schritt: Bestimmung einer speziellen Lösung y p Störfunktion h ( ) ist Polynom Grades, daher Ansatz p B + B B y + y + p B B y p B Einsetzen in die Ausgangs-Dgl y + 9y + 4 : B + 9( B + B + B ) + 4 9B + 9B + 9B + B + 4 Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem: 9B 9B 9B 4 + B Daraus erhält man die Lösung B 9 4 B 9 B 8 Somit ist 4 y p Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist somit 4 y A cos + A sin + +, mit A, A R WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 6/

14 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Lösung 6 vgl SB 9, Kap 4 4 Punkte Die Erlösfunktion E ergibt sich wie folgt: E( p, p ) ( p p p, p ( p p p ) p p ) p + p p p p Bildung der partiellen Ableitungen: ( p, p + 6 p + (6 p + 6 p ) p p p p p ) p p E p 4 p p ; E p p p E 4 ; E 6 ; E E p p p p p p p p Prüfung der notwendigen Bedingungen für ein Etremum (Formelsammlung 9): E p 4 p p (I) E p p p (II) Aus (I) folgt durch Umformen p p (III) Einsetzen in (II) liefert p p ( p p 9 + p p ) 9 Einsetzen in (III) liefert schließlich p 7 Zu prüfen bleibt die hinreichende Bedingung für lokale Etrema (Formelsammlung 9): p p E (9, 7) E (9, 7) E (9, 7) > p p Diese liefert p p ( 4) ( 6) ( ) > Da E 4 <, liegt bei ( 9, 7) ein lokales Maimum vor Bei der Preiskombination p 9 und p p p 7 wird somit der Erlös maimal WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 7/

15 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Lösung T vgl SB 7, Abschn 4 / 4 6 Punkte Stammfunktion: cos F ( ) d + C + sin Substitution z sin d z dz cos d d cos Somit ist cos + sin d cos dz + z cos dz arctan z arctan(sin ) + C + z Eine Stammfunktion (für C ) ist F ( ) arctan(sin ) Flächenberechnung: Bestimmung der ersten Nullstelle : cos + sin ( + sin ) für alle D cos π Fläche nach Formelsammlung : π A f ( )d, gilt wegen f ( ) für π, A π cos d arctan(sin ) + sin π arctan(sin π ) arctan(sin ) arctan arctan,78 FE Hinweis: Bei der Berechnung der arctan-werte in der letzten Zeile ist für die Argumente Bogenmaß zu verwenden WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 8/

16 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Lösung T vgl SB, Abschn 8 Punkte y f ( ) (ln ) ln mit D { R > } Nullstellen: (ln ) ln ln (ln ) Lösung für ln oder ln, d h oder e (EULERsche Zahl) sind Nullstellen Einsetzen von Etrema: und e in f () zeigt, dass beide Werte Nullstellen sind Bilden der Ableitungen durch Anwendung von Kettenregel bzw Quotientenregel: ln ln f ( ) (ln ) g ( ) ln ; h ( ) ; h ( ) g ( ) ( ln ) g h gh ln ln ( ) + f h Notwendige Bedingung ist f ( ) ln ln ln e e Hinreichende Bedingung: f ( ) und f ( ) ln f ( ) ln e ln e f (e ) >, also liegt ein Minimum vor e e e Der Funktionswert an der Stelle e ist f ( e ) (ln e ) ln e 4 4 WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite 9/

17 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/9, WMT, WB Wendepunkte: Notwendige Bedingung ist f ( ) ln f ( ) ln ln ln e e Auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden Der Funktionswert an der Stelle e ist 9 f ( e ) (ln e ) ln e 4 4 WB-WMT-P 96 9 GmbH Seite /