Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik I

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1 Name: 4. Februar 2002, Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 120 min, 2 Zeitstunden Vorlesungsmitschrift, Übungen Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der dafür vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. Ausgerissene Aufgabenblätter können nicht gewertet werden. Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenblätter! Es steht für jede Lösung ausreichend Platz zur Verfügung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die Rückseite oder die entsprechend gekennzeichnete Rückseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Blätter als die Aufgabenblätter können nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift! Unterschrift: Auswertung: Aufgabe Nr.: Bonus Summe Punktzahl: Davon erreicht: 4. Februar 2002, Seite 1 von 9

2 1. Aufgabe: (5 Punkte) Überprüfen Sie, ob die Funktion f : R R 2 mit f(x) = (x, 2x) linear, monoton, eindeutig oder umkehrbar ist. 4. Februar 2002, Seite 2 von 9

3 2. Aufgabe: (5 Punkte) Betrachten Sie die (kartesischen) Vektoren α 3 x 1 = 2 x 2 = 2 und x 3 = 1 1 (3P.) (a) Für welche Parameter α steht x 1 senkrecht auf dem Vektorprodukt x 2 x 3? (2P.) (b) Für welche Parameter α sind x 1 und x 2 linear abhängig? Februar 2002, Seite 3 von 9

4 3. Aufgabe: (4 Punkte) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens die inverse Matrix A 1 von A = Februar 2002, Seite 4 von 9

5 4. Aufgabe: (4 Punkte) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform dar. (2P.) (a) z = 3 j 3 (2P.) (b) z = j e 1 j 1 4. Februar 2002, Seite 5 von 9

6 5. Aufgabe: (4 Punkte) Bestimmen Sie unter Verwendung des Determinantenkalküls für welche α das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat. x αy = 1 x y + z = 1 x 2y + z = 0 4. Februar 2002, Seite 6 von 9

7 6. Aufgabe: (4 Punkte) Auf dem Vektorraum P 2 aller Polynome vom Maximalgrad 2 wird durch die Vorschrift [p, q] := 1 p(x) q(x) x dx p, q P 2 1 ein Skalarprodukt definiert. Prüfen Sie, für welche α R die Polynome p(x) = x + α und q(x) = x 2 bezüglich dieses Skalarprodukts orthogonal sind! 4. Februar 2002, Seite 7 von 9

8 (6P.) (1P.) 7. Aufgabe: (7 Punkte) Betrachten Sie die lineare Abbildung im R 3, welche durch eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn mit dem Winkel π/4 um die z-achse und die anschließende Orthogonalprojektion auf die Ebene E entsteht, welche senkrecht auf der Winkelhalbierenden der (x, y)-ebene steht. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung dieser Abbildung, indem Sie (a) (b) die Matrixdarstellungen der oben beschriebenen Teilabbildungen bestimmen und daraus die Matrixdarstellung der Gesamtabbildung herleiten. 4. Februar 2002, Seite 8 von 9

9 8. Aufgabe: (7 Punkte) Zeigen Sie, dass der Vektorraum R 2 eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren der Matrix ( ) 1 1 A = 1 1 besitzt und bestimmen Sie eine Komponentendarstellung des (kartesischen) Vektors ( ) 1 x = 1 bezüglich dieser Basis. 4. Februar 2002, Seite 9 von 9