AUFGABEN. Klausur: Modul Planen mit mathematischen Modellen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

2 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 1 25 Punkte Ein Marktforschungsunternehmen untersucht den Markt Babynahrung, um die Absatzchancen der entsprechenden Produkte zu testen. Das Projekt läuft in der in nachfolgender Tabelle beschriebenen Form ab. Kürzel Bezeichnung Tabelle: Projektbeschreibung Babynahrung Dauer [Tage] zeitliche Abhängigkeiten EFR Entwurf eines Fragebogens 10 mit Projektbeginn ZB BST DPR RF SAT Zusammenstellung aller bekannten Babynahrungen Berechnung eines als ausreichend angesehenen Stichprobenumfangs Durchführung von Pretests im Rahmen von Voranalysen Redesign des Fragebogens nach Pretests Suche und Auswahl einer repräsentativen Menge von Testpersonen kann bereits vier Tage vor dem Ende von Vorgang EFR beginnen (Überlappung!) kann erst nach Abschluss von ZB begonnen werden kann frühestens nach Abschluss von Vorgang EFR begonnen werden muss sich unmittelbar an DPR anschließen es wird festgelegt, dass damit nach Ende von Vorgang ZB begonnen werden soll; das Ergebnis von BST muss ebenfalls vorliegen AIN Auswahl der Interviewer 9 kann nach Abschluss von EFR beginnen SIN DIN AUS Schulung der Interviewer mit dem vorliegenden Fragebogen Durchführung der Interviews Auswertung der Interviews END Projektende kann frühestens nach Ende von AIN beginnen; RF muss ebenfalls abgeschlossen sein kann nach Abschluss von SIN beginnen; Vorgang SAT muss ebenfalls abgeschlossen sein kann 7 Tage vor Ende von DIN beginnen (Überlappung!) alle Vorgänge müssen abgeschlossen sein Und nun Ihre Aufgabe: Die Strukturanalyse ist bereits in Teilen abgeschlossen und die Marktanalyse einschließlich der erforderlichen Maßnahmen in einem Vorgangsknotennetzplan mit Ende-Start-Beziehungen festgehalten. In den Knoten sind die Dauern sowie an den Pfeilen eventuell einzuhaltende Wartezeiten notiert; beachten Sie das Vorzeichen!

3 Modul vom Aufgabenteil a) Berechnen Sie nun die FAZ, FEZ, SAZ und Pufferzeiten GP, FP für alle Vorgänge und tragen Sie diese in die vorgesehenen Felder des Netzplans ein. b) Notieren Sie die minimale Projektdauer und den kritischen Pfad. c) Sie erfahren bereits vor Projektbeginn, dass die bisherigen Interviewer für die bevorstehende Befragung nicht zur Verfügung stehen und müssen für die Anwerbung potenzieller Kandidatinnen und Kandidaten drei Tage einplanen (Kürzel: WIN). WIN kann nach Abschluss von EFR beginnen und muss vor Beginn von AIN abgeschlossen sein. Welche Konsequenzen ergeben sich hinsichtlich der FAZ nachgelagerter Vorgänge, dem kritischen Pfad und der Projektdauer? d) Die Zeitrechnung in der Netzplantechnik kann auch als lineares Optimierungsproblem formuliert werden. Da dieses für das vorliegende Projekt Babynahrung sehr umfangreich wäre, soll ein kleineres Projekt betrachtet werden. Gegeben sei dazu die nachfolgende Vorgangsliste, die neben Dauern und Vorgängerbeziehungen auch eventuelle Wartezeiten enthält. Nr. Vorgang Dauer Vorgänger 1 A B C Ende Gehen Sie von folgenden Prämissen aus: 1. Variable x 1, x 2, x 3, x 4 des Modells sind die FAZ der Vorgänge Nr. 1 bis Das Projekt startet zum Zeitpunkt Ziel ist es, das frühestmögliche Projektende zu bestimmen, also die FEZ des Vorgangs ENDE. 4. Jede Vorgang-Vorgänger-Beziehung muss als Restriktion formuliert werden. Wie lautet das zugehörige lineare Optimierungsproblem?

4 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 2 25 Punkte Gegeben sei das folgende lineare Programm: max 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 unter den Nebenbedingungen. NB 1) x 1 + x 2 + x 3 + x NB 2) 2x 1 + 3x 3 + 4x NB 3) x 2 75 NB 4) x 3 + x NB 5) x i 0 (i = 1,,4) Die Variablen x i geben die herzustellenden Mengen der vier Produkte P i (i = 1,,4) an. Die Nebenbedingungen NB j beinhalten die fünf Restriktionen des linearen Programms (j = 1,,5). Die fünfte Nebenbedingung NB 5) ist noch zu ergänzen. Das lineare Programm wird mit dem Solver von Excel gelöst. a) Durch die fünfte Nebenbedingung NB 5) soll sichergestellt werden, dass höchstens 20% der gesamten Produktionsmenge aus allen vier Produkten auf das Produkt P 3 entfällt. Geben Sie die fehlende fünfte Nebenbedingung für das lineare Programm an! b) Zur Lösung des linearen Programms wird das folgende Datenblatt verwendet. B C D E F G H I J 10 Koeffizientenmatrix Matrix- Rechte 11 x 1 x 2 x 3 x 4 multiplikation Seite 12 NB 1)???? 0? 13 NB 2)???? 0? 14 NB 3)???? 0? 15 NB 4)???? 0? 16 NB 5)???? 0? Zielfunktionskoeffizienten Zielfunktionswert 19 x 1 x 2 x 3 x 4 20???? Variablen 23 x 1 x 2 x 3 x

5 Modul vom Aufgabenteil b1) Ergänzen Sie die fehlenden Werte in der Koeffizientenmatrix A in den Zellen C12:F16, der rechten Seite in den Zellen J12:J16 und der Zielfunktionskoeffizienten in den Zellen C20:F20. b2) Geben Sie die Excel-Formeln zur Bestimmung der Matrixmultiplikation aus Koeffizientenmatrix A und dem Variablenvektor x in den Zellen H12:H16 sowie des Zielfunktionswertes in der Zelle H20 an. b3) Geben Sie für das zu lösende lineare Programm die Excel-Formeln im Solver für 1) Zielzelle, 2) veränderbare Zellen und 3) Nebenbedingungen mit den Zellreferenzen an. c) Der Solver liefert folgende optimale Lösung: x 1 = 55, x 2 = 75, x 3 = 50, x 4 = 70. Welche Werte finden sich mit dieser Lösung in den Zellen H12:H16 der Matrixmultiplikation und der Zelle H20 für den Zielfunktionswert. d) Ein Mitarbeiter der Produktionsabteilung schlägt folgende Lösung vor: x 1 = 180, x 2 = 75, x 3 = 0, x 4 = 45. Diese Lösung sei schließlich besser als die vom Solver ermittelte Lösung. Stimmt diese Aussage? Sollte dem Vorschlag gefolgt werden? Begründen Sie Ihre Antwort!

6 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 3 25 Punkte Neben dem aus dem Kursmaterial bekannten multiplikativen Kongruenzgenerator nach Lehmer gibt beispielsweise die zwei folgenden Möglichkeiten zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen: Den gemischten linearen Kongruenzgenerator: z i+1 = [(a z i ) + k]mod b, mit z i, a, b, k N. Die Middle-Square-Methode von Neumann: Ein zweistelliger Startwert wird quadriert. Die mittleren beiden Stellen des Ergebnisses dienen als neuer Startwert. Fehlen vorangehende Stellen, so werden diese von links mit führenden Nullen gefüllt. Beispiel: z 1 = 26 z 2 1 = z 2 = 67 z 2 2 = z 3 = 48 usw. Auf dem Intervall [0,1[ -verteilte Zufallszahlen x i erhält man durch Normieren der Form x i = z i. 99 a) Generieren Sie mit dem Neumann-Verfahren 10 normierte Zufallszahlen, beginnend mit dem Startwert z 0 = 42. b) Generieren Sie 10 normierte Zufallszahlen mit dem multiplikativen Kongruenzgenerator nach Lehmer bei Wahl der Parameter z 0 = 127, b = 157 und a = c) Generieren Sie 10 normierte Zufallszahlen mit dem gemischten linearen Kongruenzgenerator bei Wahl der Parameter z 0 = 127, b = 157, a = 4639 und k = 102. d) Vergleichen Sie die so erzeugten Zufallszahlen mit dem Ihren aus dem Skript bekannten einfachen Test auf gleichverteilte Zufallszahlen. Welches Verfahren würden Sie vorziehen? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.

7 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 4 25 Punkte Ein Automobilhersteller interessiert sich für Einblendungen von Werbebannern auf den Webseiten einer großen Sozialen-Netzwerk-Plattform (SNP). Die Marketingabteilung der SNP erklärt, dass Mitglieder verwaltet werden und liefert zusätzliche statistische Daten aus einer Stichprobenuntersuchung von Besuchern. Hiernach erfolgen durchschnittlich 50 Seitenaufrufe/Tag mit einer Standardabweichung von 28 Seitenaufrufe/Tag bei einem Sicherheitsniveau von 82,3 %. Jeder dieser Seitenaufruf ist mit einer Bannereinblendung verbunden. a) Die SNP garantiert dem Automobilhersteller zum gegebenen Sicherheitsniveau mindestens 48 Seitenaufrufen/Tag für jeden Besucher. Kann der Automobilhersteller der Aussage glauben schenken? Berechnen Sie hierzu das approximative Konfidenzintervall und treffen Sie Ihre Entscheidung. b) Der Hersteller hat ein Kontingent von 225 Werbeeinblendungen/Tag gekauft. Die Betreiber der SNP werden täglich zufällig 225 Besuchern Werbeeinblendungen des Herstellers platzieren. Die Kundenbetreuung ermittelt, dass im Durchschnitt 7,5 % der täglichen Besucher - bei einer Standardabweichung von 3,2 % und einem Konfidenzniveau von 99,2 % - das Werbebanner anklicken. In welchem Konfidenzintervall liegt der wahre Wert für die durchschnittliche Tagesklickquote und wie hoch ist die Fehlertoleranz? c) Wie viele Kontingente sollte der Automobilhersteller noch erwerben, wenn er eine Fehlertoleranz von maximal 0,25 erreichen möchte?

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname : Matrikelnummer : Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus. Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden. Die Lösungen müssen in den vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Die Klausur umfasst 4 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten ist. Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden. Als Hilfsmittel für diese Klausur sind zugelassen: 1. die Kurseinheiten des Moduls einschließlich der darin enthaltenen Aufgaben und Lösungen; 2. ein gemäß den Ankündigungen der Fakultät Wirtschaftswissenschaft zugelassener Taschenrechner. Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul vom Name: 1 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 1 a) EFR ZB 6 DPR 8 BST 2 RF 3 AIN 9 SAT 5 SIN 4 Legende: DIN 14 Bez. Dauer -- 7 FAZ FEZ SAZ GP FP AUS 12 END 0

11 Modul vom Name: 2 Matr.-Nr.: b) Minimale Projektdauer: Kritischer Pfad : c) d) Mathematisches Modell

12 Modul vom Name: 3 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 2 a) b1) + c) B C D E F G H I J 10 Koeffizientenmatrix Matrix- Rechte 11 x 1 x 2 x 3 x 4 multiplikation Seite 12 NB 1) 13 NB 2) 14 NB 3) 15 NB 4) 16 NB 5) Zielfunktionskoeffizienten Zielfunktionswert 19 x 1 x 2 x 3 x Variablen 23 x 1 x 2 x 3 x 4 24 b2) b3)

13 Modul vom Name: 4 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) d)

14 Modul vom Name: 5 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 3 a) b) c) i z i z i 2 x i z i x i z i x i , , , x i i= x i 2 i=1 d)

15 Modul vom Name: 6 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 4 a) b)

16 Modul vom Name: 7 Matr.-Nr.: Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung) c)

17 Modul vom Name: 8 Matr.-Nr.: Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

18 Modul vom Name: 9 Matr.-Nr.: Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.