AUFGABEN. Klausur: Modul Planen mit mathematischen Modellen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ-Prof Dr Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ-Prof Dr Andreas Kleine

2 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 1 20 Punkte In Ihrem Unternehmen werden abschnittweise neue Gebäude bezugsfertig und das Umzugsunternehmen Antonius Triller erhält den Auftrag, Mobiliar und Material verschiedener Abteilungen zu transportieren Da Triller nur drei Leute einsetzen kann und da auch noch weitere zeitkritische Restriktionen bestehen, muss der Umzug sorgfältig geplant werden Sie haben umfangreiche Spezialkenntnisse auf dem Gebiet der Projektplanung erworben und erhalten den Auftrag, entsprechende Analysen durchzuführen Insgesamt beziehen in einer ersten Phase 6 Abteilungen (A i ) neue Räume Aufgrund seiner langjährigen Erfahrung mit dem Unternehmen kann Herr Triller die dazu benötigten Zeiten mit Sicherheit festlegen Sie sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt Vorgang A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 Dauer [Wochen] Herr Triller weiß außerdem, dass folgende Reihenfolgen bzw Sachverhalte zu berücksichtigen sind: 1 A 1 hat mit seinen zahlreichen Mitarbeitern alles vorbereitet und beginnt genau zum Projektanfang 2 Sobald A 1 die neuen Räume bezogen hat, sollen zum frühestmöglichen Zeitpunkt danach die Abteilungen A 2 und A 3 umziehen Der Umzug von A 5 kann erst 2 Wochen nach Beendigung des Umzugs von A 1 beginnen, da das hierfür benötigte Spezialgerät zwischenzeitlich noch anderweitig zum Einsatz kommt 3 A 4 kann erst nach Abschluss der Umzüge von A 2 und A 3 beginnen 4 A 6 kann erst nach Beendigung der Umzüge von A 4 und von A 5 beginnen 5 Mit Beendigung des Umzugs von A 6 ist die erste Phase des Umzugs abgeschlossen Und nun Ihre Aufgabe: a) Konstruieren Sie auf der Basis des nachfolgenden Schemas einen Netzplan, der alle Abhängigkeiten berücksichtigt Verbinden Sie hierzu die vorgegebenen Knoten, tragen Sie die Vorgangsbezeichnungen und die -dauern in die Felder ein Notieren Sie zwingend vorgeschriebene Wartezeiten direkt an den jeweiligen Pfeilen

3 Modul vom Aufgabenteil b) Berechnen Sie die frühesten Anfangs- und Endzeiten (FAZ und FEZ) sowie die spätesten Anfangszeiten (SAZ) Ermitteln Sie ferner die Gesamtpuffer (GP) und die freien Puffer (FP) aller Vorgänge c) Welche Vorgänge liegen auf dem kritischen Pfad, und nach wie viel Wochen ist das Projekt abgeschlossen? Aufgabe 2 25 Punkte Ein Betrieb stellt Gefäße aus Zink, sogenannte Ganzzinkgefäße, außerdem feuerverzinkte Gefäße und auch galvanisch verzinkte Gefäße her Jedes Ganzzinkgefäß erfordert 2 kg Zink und bringt einen Stückdeckungsbeitrag von 0,40 EURO Für jedes feuerverzinkte bzw galvanisch verzinkte Gefäß werden 0,4 bzw 0,8 kg Zink benötigt Die Stückdeckungsbeiträge betragen 0,30 bzw 0,20 EURO je Gefäß Abzusetzen sind maximal 1000 Ganzzinkgefäße, 2500 feuerverzinkte und 1000 galvanisch verzinkte Gefäße Insgesamt sind nur 2200 kg Zink verfügbar Gefragt ist nach dem Produktionsprogramm, durch das der maximale Gesamtdeckungsbeitrag erzielt wird a) Stellen Sie das lineare Optimierungsmodell mit Zielfunktion und Restriktionen auf Erläutern Sie die Bedeutung der Variablen b) Stellen sie das Ausgangstableau auf Verwenden Sie das im Lösungsteil abgedruckte Schema c) Was würde sich für das Optimierungsmodell ergeben, wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen verlangt würde, dass von Ganzzinkgefäßen genau 500 Stück erzeugt werden müssten? Notieren Sie die veränderte Zielfunktion und das vereinfachte Restriktionensystem d) Lösen Sie das lineare Optimierungsmodell aus c), das nur noch zwei Variable besitzt, grafisch! Verwenden Sie das im Lösungsteil abgedruckte Koordinatensystem Markieren Sie den Lösungsraum, zeichnen Sie die Isoquante der Zielfunktion für den Wert x 0 = 500 ein und kennzeichnen Sie die optimale Lösung

4 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 3 25 Punkte Nach dem erfolgreichen Abschluss eines Projektes erhält Frau Projektin eine einmalige Prämie Sie beabsichtigt die Prämie in unterschiedliche Wertpapiere anzulegen Der Anlageberater ihrer Bank stellt drei Wertpapiere WP1, WP2 und WP3 zur Auswahl vor Die Rendite von WP1 liegt bei 5%, die von WP2 bei 3% und die von WP3 bei nur 1% Der Anlageberater erklärt Frau Projektin, dass die Rendite bei WP3 so gering sei, da diese Anlage kein Risiko aufweisen würde Im Unterschied dazu sei das Risiko der ersten beiden Anlagen nicht zu vernachlässigen Gemessen an der Standardabweichung liegt diese bei WP1 bei 40% und bei WP2 bei 20% Da Frau Projektin die Rendite von 1% zu gering ist und sie bereit ist ein begrenztes Risiko einzugehen, beauftragt sie den Anlageberater, eine Mischung mit minimaler Varianz aus den drei Wertpapieren zusammenzustellen, so dass die Mischung eine Mindestrendite von 3% erwarten lässt Hinweis: Es handelt sich um Wertpapiere aus unterschiedlichen Branchen, deren Korrelationen (Kovarianzen) sämtlich null sind (ρ ij = σ ij = 0 für i, j=1,2,3 und i j) a) Formulieren Sie das quadratische Optimierungsproblem zur Bestimmung der Mischung mit minimaler Varianz und mit der Mindestrendite von 3% Geben Sie sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen mit den konkreten Werten (Zahlen) für die Koeffizienten in diesem Beispiel an b) Der Anlageberater löst das Optimierungsproblem mit dem Solver von Excel und verwendet folgendes Datenblatt B C D E 2 Kovarianzen WP1 WP2 WP3 3 WP1??? 4 WP2??? 5 WP3??? 6 Rendite??? 7 Anteile 0,00% 0,00% 0,00% 8 9 Gesamtanteile: 0,00% 10 Erwartete Rendite: 0,00% 11 Varianz der Mischung: 0 12 Mindestrendite: 3,00% Beantworten Sie hierzu folgende Teilfragen

5 Modul vom Aufgabenteil b1) Ergänzen Sie in der Tabelle im Lösungsteil die fehlenden Werte für die Kovarianzen σ i,j (i, j = 1,2,3) in den Zellen C3:E5 und die Renditen in den Zellen C6:E6 b2) Geben Sie die Excel-Formeln zur Bestimmung der Gesamtanteile (Zelle E9), Erwartete Rendite (Zelle E10) und Varianz der Mischung (Zelle E11) an b3) Geben Sie für das zu lösende Optimierungsproblem die Excel- Formeln im Solver für Zielzelle, Veränderbare Zellen und Nebenbedingungen mit den Zellreferenzen an c) Der Solver bestimmt eine optimale Lösung mit einem Anteil von 25% an WP1, 50% an WP2 und 25% an WP3 Wie groß ist die Varianz und Standardabweichung für die Mischung aus diesen drei Wertpapieren? d) Der Lebensgefährte von Frau Projektin fragt, warum sie nicht einfach die gesamte Prämie in das zweite Wertpapier WP2 investiert? Schließlich habe dieses Wertpapier genau die Mindestrendite von 3% und mit 20% ein moderates Risiko gemessen an der Standardabweichung Warum ist die Argumentation des Lebensgefährten falsch? e) Frau Projektin möchte in der Mischung zusätzlich berücksichtigen, dass das Verhältnis vom sicheren WP3 zum risikoreichen WP1 mindestens 2 zu 1 beträgt Welche zusätzliche lineare Nebenbedingung ist im Optimierungsproblem unter a) zu berücksichtigen? Wird der optimale Zielfunktionswert steigen, sinken oder unverändert bleiben? Begründen Sie die Antwort!

6 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 4 30 Punkte Ein kleines Postamt im Stadtteil von Hagen-Eilpe wird von zwei Postangestellten A1 und A2 geführt Ankommende Kunden stellen sich immer an der kürzeren Schlange an Sind beide Schlangen gleich lang (insbesondere auch dann wenn keine Schlange existiert), stellt sich der nächste Kunde an den Schalter von Postangestellten A1 an Es wird nach der FIFO-Regel bedient Ein Wechsel der Schlange ist nicht möglich Die Zahl der ankommenden bzw pro Zeiteinheit bedienten Kunden wird mit einer Exponentialverteilung beschrieben Die mittlere Zwischenankunftszeit eines Kunden beträgt 6 Minuten und die Bedienung an jedem Schalter dauert im Mittel 12 Minuten (Ankunftsrate λ = 10 und Bedienrate µ = 5) a) Beschreiben Sie das Warteschlangenmodell, und geben Sie dazu den entsprechenden Klassifizierungscode an b) An einem Samstag soll für die Zeit von 900 bis 1030 Uhr eine Simulation der Warteschlange durchgeführt werden Gehen Sie wie folgt vor: b1) Erzeugen Sie 10 normierte gleichverteilte Zufallszahlen (ZZ) nach Lehmer mit den Parametern a = 2144, b = 75 und z 0 = 244 Runden Sie dabei bitte auf zwei Nachkommastellen Tragen Sie die ZZ anschließend in die entsprechenden Spalten der Tabelle 2 Simulation Postamt des Lösungsbogens nach folgender Zuordnung ein: Kunde Nr Zufallszahl für Ankunftsprozess (ZZ A ) Zufallszahl für Bedienprozess (ZZ B ) 1 z 1 z 10 2 z 2 z 9 10 z 10 z 1 Tabelle 1: Zuordnung der Zufallszahlen b2) Berechnen Sie für die Simulation des Warteschlangemodells die exponentialverteilten Zufallszahlen für die Zwischenankunfts- (ZZA) und die Bedienzeiten (ZZB) aus den in Aufgabenteil b1) erzeugten gleichverteilten Zufallszahlen (ZZ A bzw ZZ B ) b3) Führen Sie die vollständige Simulation gemäß nachfolgender Gestalt durch und tragen Sie die Ergebnisse in Tabelle 2 Simulation Postamt des Lösungsbogens ein Runden Sie bitte wie in der unten stehenden Legende angegeben

7 Modul vom Aufgabenteil Gestalt der Tabelle: KD ZZ A ZZA ZAZ AZ ZZ B ZZB BZ A SB1 BE1 WS1 WZ1 SB2 BE2 WS2 WZ2 1 0,15 0, :11 0,25 0, :11 9: : ,25 0,14 0,15 0,38 10:00 10:23 Legende: KD: Kunde ZZ A : Gleichverteilte Zufallszahlen für den Ankunftsprozess (auf zwei Nachkommastellen) ZZA: exponentialverteilte Zufallszahlen zur Simulation der Zwischenankunftszeit (auf zwei Nachkommastellen) ZAZ: Zwischenankunftszeit (Minuten) (= ZZA 60 ganzzahlig gerundet) AZ: Ankunftszeit (Uhrzeit hh:mm) ZZ B : Gleichverteilte Zufallszahlen für den Bedienprozess (auf zwei Nachkommastellen) ZZB: exponentialverteilte Zufallszahlen zur Simulation der Beratungszeit (auf zwei Nachkommastellen) BZ: Beratungszeit (= ZZB 60 ganzzahlig gerundet) A Angestellter (= 1 A1 bedient Kunden; = 2 A2 bedient Kunden) SB1: Startzeit Bedienung bei A1 BE1: Endzeit Bedienung bei A1 WS1 Anzahl Kunden in Warteschlange 1 WZ1 Wartezeit des Kunden bei Bedienung durch A1 SB2: Startzeit Bedienung bei A2 BE2: Endzeit Bedienung bei A2 WS2 Anzahl Kunden in Warteschlange 2 WZ2 Wartezeit des Kunden bei Bedienung durch A2 Beantworten Sie zur Simulation bitte die folgenden Fragen separat: c) Nennen Sie die Ein- und Austrittszeiten des letzte Kunden d) Wie hoch ist die Warte- und Verweilzeit des Kunden Nr 10? e) Wie viel Minuten beträgt die mittlere Wartezeit in der ersten Warteschlange? f) Wie lang ist die zweite Warteschlange im Durchschnittlich?

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ-Prof Dr Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ-Prof Dr Andreas Kleine Name, Vorname : Matrikelnummer : Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden Die Lösungen müssen in den vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird Die Klausur umfasst 4 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten ist Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100 Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden Als Hilfsmittel sind die Kurseinheiten des Moduls einschließlich der darin enthaltenen Aufgaben und Lösungen zugelassen Außerdem kann ein gemäß den Ankündigungen der Fakultät Wirtschaftswissenschaft zugelassener Taschenrechner verwendet werden Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul vom Name: 1 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 1 a)+b) c)

11 Modul vom Name: 2 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 2 a)

12 Modul vom Name: 3 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) b) x 0 c)

13 Modul vom Name: 4 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) d)

14 Modul vom Name: 5 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 3 a) b1) B C D E 2 Kovarianzen WP1 WP2 WP3 3 WP1 4 WP2 5 WP3 6 Rendite 7 Anteile 0,00% 0,00% 0,00% 8 9 Gesamtanteile: 0,00% 10 Erwartete Rendite: 0,00% 11 Varianz der Mischung: 0 12 Mindestrendite: 3,00%

15 Modul vom Name: 6 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) b2) b3) c)

16 Modul vom Name: 7 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) d) e)

17 Modul vom Name: 8 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 4 a) b) KD ZZ A ZAA ZAZ AZ ZZ B ZZB BZ A SB1 BE1 WS1 WZ1 SB2 BE2 WS2 WZ2 1 0,15 0, :11 0,25 0, :11 9: : ,25 0,14 0,15 0,38 10:00 10:23 Durchschnitte Tabelle 2: Simulation (Postamt)

18 Modul vom Name: 9 Matr-Nr: Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung) c) d) e) f)

19 Modul vom Name: 10 Matr-Nr: Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen

20 Modul vom Name: 11 Matr-Nr: Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen