Klausur zur Vorlesung Angewandte Mathematik 3

Transkript

1 Name: Masterstudiengang Maschinenbau 8. Juli 2005, Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 90 min, 1.5 Zeitstunden Bücher, Vorlesungsmitschrift(en), Taschenrechner Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der dafür vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. Ausgerissene Aufgabenblätter können nicht gewertet werden. Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenblätter! Es steht für jede Lösung ausreichend Platz zur Verfügung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die Rückseite oder die entsprechend gekennzeichnete Rückseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Blätter als die Aufgabenblätter können nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift! Unterschrift: Auswertung: Aufgabe Nr.: Punktzahl: Davon erreicht: Summe 8. Juli 2005, Seite 1 von 7

2 (1P.) (4P.) (1P.) 1. Aufgabe: (6 Punkte) Der Bürgermeister einer Stadt möchte anlässlich eines Kinderfestes beim Wähler Punkte sammeln und lobt für die 30 anwesenden Kinder 10 Preise aus. Um es möglichst gerecht zu machen, zieht er zunächst im Vorhinein zuerst den wertvollen 1. Preis und dann die weiteren Preise bis hin zum 10. Preis und schreibt sich die Gewinner auf. In der feierlichen Gewinnübergabe werden dann, um den Vorgang spannender zu gestalten, die Preise in der Reihenfolge von 10 bis 1 übergeben. Beantworten Sie nun folgende Fragen: (a) (b) (c) Wie groß ist bei dieser Vorgehensweise des Bürgermeisters die Chance (Wahrscheinlichkeit), den 1. Preis zu bekommen? Wenn der Bürgermeister gleich, ohne den umständlichen Weg des Aufschreibens der Preise, den 10. und zuletzt den 1. Preis gezogen hätte, wie groß wäre dann die Chance den 1. Preis zu bekommen? Welches ist (bezüglich der Chance, den 1. Preis zu gewinnen) das gerechtere Verfahren? 8. Juli 2005, Seite 2 von 7

3 (3P.) (1P.) 2. Aufgabe: (8 Punkte) Eine Firma benutzt Maschinen, deren Lebensdauer mit einem exponentialverteilten Modell mit Parameter prinzipell gut beschrieben werden könnte, würde man sie alle so lange laufen lassen, bis sie kaputt gehen. Allerdings werden die Maschinen regelmäßig nach Jahren ausgetauscht, sodass größere Ausfallzeiten gar nicht vorkommen können!! (a) (b) Wie groß ist für eine Maschine die Wahrscheinlichkeit, zu einem Zeitpunkt auszufallen, unter der Bedingung, dass der Zeitpunkt vor ihrer Aussortierung liegt? Folgern Sie aus Teil (a), welcher Verteilungsfunktion die Lebensdauer der im Betrieb verwendeten Maschinen genügt? (2P.) (c) Skizzieren Sie die zugehörige Verteilungsdichte. (2P.) (d) Bestimmen Sie das einseitige "! -Quantil der Maschinenlebensdauer. Hinweis: Sollten Sie keine Idee haben, wie die Verteilungsfunktion aussieht, so verwenden Sie für den Aufgabenteil (d) (und für die Hälfte der Punkte) die angegebene Exponentialverteilung. 8. Juli 2005, Seite 3 von 7

4 3. Aufgabe: (6 Punkte) In einer Abfüllanlage werden Liter Behälter eines flüssigen Rostschutzmittels abgefüllt. Bei einer stichprobenartigen Überprüfung von Behältern wird festgestellt, dass im Mittel nur $# Liter abgefüllt wurden. Die empirische Varianz der Stichprobe kann mit $# % Liter& berechnet werden. Testen Sie zum "! -Niveau die Hypothese, dass der Sollwert für die Füllung noch eingehalten wird gegen die Alternative, dass weniger in die Behälter gefüllt wird. 8. Juli 2005, Seite 4 von 7

5 Aufgabe: (6 Punkte) Betrachten Sie das folgende lineare Optimierungsproblem: ')(+*,.-0/,213/,54 )6 A@ #6 & #68759:6 <; <; $#6 687? 6 & $# 687 <; 6 &>= 687 Bestimmen Sie mit Hilfe des Simplex-Algorithmus eine Lösung des Optimierungsproblems! 8. Juli 2005, Seite 5 von 7

6 5. Aufgabe: (7 Punkte) Bestimmen Sie das Minimum von )6 #6 & 9CB, 1- = 6 & & unter der Nebenbedingung 6 & ; 6 & D 8. Juli 2005, Seite 6 von 7

7 & 6. Aufgabe: (3 Punkte) Diskutieren Sie, ob folgendes Verfahren bei der lokalen Suche des Simulated Annealing Algorithmus Anwendung finden könnte: Im Falle E)FGC)6IHJLK = )6IHJ NMO 1. berechne PQ 'SRUT Y % #V WX5W und 9 = Z [.\G]+^, 2. erzeuge gleichverteilte Zufallszahl _S`ba $# dc 3. akzeptiere 68HJLK, falls _eo., 8. Juli 2005, Seite 7 von 7