Zufallszahlen in Testbetten und Simulationen

Transkript

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2 Zufall Wofür brauchen wir Zufallszahlen?

3 Zufall Wofür brauchen wir Zufallszahlen? Simulation von Dingen, die wir nicht genau beschreiben wollen

4 Zufall Wofür brauchen wir Zufallszahlen? Simulation von Dingen, die wir nicht genau beschreiben wollen Simulation von Dingen, die wir nicht genau beschreiben können

5 Zufall Beispiel Wartezeit

6 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierung von Zufall Wahrscheinlichkeitsmaße Zufallsverteilungen 2 PRNGs Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen

7 Wahrscheinlichkeitsmaße Wahrscheinlichkeitsmaß Wie erfasst man Zufall mathematisch?

8 Wahrscheinlichkeitsmaße Wahrscheinlichkeitsmaß Definition Sei Ω die abzählbare Menge von möglichen Ergebnissen eines Experimentes. Eine Funktion P : 2 Ω [0, 1] X P(X ) heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn gilt: 1 P(Ω) = 1 2 A, B 2 Ω, A B = = P(A B) = P(A) + P(B)

9 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Statt ganz R betrachte kleine Intervalle [x, x + x]

10 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Statt ganz R betrachte kleine Intervalle [x, x + x] Jetzt haben wir natürlich abzählbar viele Intervalle

11 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Statt ganz R betrachte kleine Intervalle [x, x + x] Jetzt haben wir natürlich abzählbar viele Intervalle Mit x 0 bekommen wir infitesimale Intervalle [x, x + dx]

12 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Wir nennen das Wahrscheinlichkeitsmaß nun auch Dichtefunktion.

13 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Wir nennen das Wahrscheinlichkeitsmaß nun auch Dichtefunktion. Eine Punktweise Auswertung ergibt keinen Sinn mehr, da wir unechte Intervalle [x, x + dx] haben

14 Wahrscheinlichkeitsmaße Der Übergang ins Kontinuierliche Wir nennen das Wahrscheinlichkeitsmaß nun auch Dichtefunktion. Eine Punktweise Auswertung ergibt keinen Sinn mehr, da wir unechte Intervalle [x, x + dx] haben Stattdessen: b a P([x, x + dx])dx = P([a, b])

15 Zufallsverteilungen Zufallsverteilungen Setze b =

16 Zufallsverteilungen Zufallsverteilungen Setze b = Dann ist F (b) = eine Verteilungsfunktion b P([x, x + dx])dx

17 Zufallsverteilungen Zufallsverteilungen Setze b = Dann ist F (b) = eine Verteilungsfunktion b Sie steigt monoton und es gilt P([x, x + dx])dx lim F (b) = 1 b

18 Zufallsverteilungen Zufallsverteilungen Setze b = Dann ist F (b) = eine Verteilungsfunktion b Sie steigt monoton und es gilt P([x, x + dx])dx lim F (b) = 1 b Sie gibt nun die Wahrscheinlichkeit für x b an

19 Zufallsverteilungen Gleichverteilung Falls P({n}) = c unabhängig von n haben wir eine Gleichverteilung

20 Zufallsverteilungen Gleichverteilung Falls P({n}) = c unabhängig von n haben wir eine Gleichverteilung Falls P([x, x + dx]) = c unabhängig von x haben wir eine Gleichverteilung

21 Zufallsverteilungen Gleichverteilung Falls P({n}) = c unabhängig von n haben wir eine Gleichverteilung Falls P([x, x + dx]) = c unabhängig von x haben wir eine Gleichverteilung Falls f (x) = c unabhängig von x haben wir eine Gleichverteilung

22 Zufallsverteilungen Gleichverteilung Die Gleichverteilung kennen wir aus der Schule, z.b. von Würfeln

23 Zufallsverteilungen Gleichverteilung Die Gleichverteilung kennen wir aus der Schule, z.b. von Würfeln Wir können sie einfach simulieren!

24 Zufallsverteilungen Exponentialverteilung Die für uns interessante Verteilung ist die Exponentialverteilung { λe λx x 0 f λ (x) = 0 x < 0

25 Zufallsverteilungen

26 Zufallsverteilungen Exponentialverteilung Die für uns interessante Verteilung ist die Exponentialverteilung { λe λx x 0 f λ (x) = 0 x < 0 Sie modelliert z.b. Lebensdauern und Zerfallsprozesse

27 Zufallsverteilungen Exponentialverteilung Die für uns interessante Verteilung ist die Exponentialverteilung { λe λx x 0 f λ (x) = 0 x < 0 Sie modelliert z.b. Lebensdauern und Zerfallsprozesse Wir werden eine Möglichkeit sehen, sie zu simulieren!

28 PRNGs Vorgehensweise

29 PRNGs Vorgehensweise Wir simulieren zunächst eine Gleichverteilung

30 PRNGs Vorgehensweise Wir simulieren zunächst eine Gleichverteilung Aus der berechnen wir dann unsere gewünschte Verteilung

31 PRNGs Anforderungen

32 PRNGs Anforderungen Zufallszahlen müssen eine große Periode haben

33 PRNGs Anforderungen Zufallszahlen müssen eine große Periode haben Zufallszahlen müssen unvorhersagbar sein

34 PRNGs Anforderungen Zufallszahlen müssen eine große Periode haben Zufallszahlen müssen unvorhersagbar sein Zufallszahlen sollten einer bekannten Verteilung entsprechen

35 PRNGs Eine mögliche Definition Definition ζ : Λ Λ, Λ N ψ : Λ Ω

36 PRNGs Eine mögliche Definition Definition ζ : Λ Λ, Λ N ψ : Λ Ω ζ ist eine Zustandsüberführungsfunktion

37 PRNGs Eine mögliche Definition Definition ζ : Λ Λ, Λ N ψ : Λ Ω ζ ist eine Zustandsüberführungsfunktion ψ weist jedem Zustand eine Zahl zu

38 PRNGs Lineare Kongurenzgeneratoren Wahl von ψ und ζ ψ(x) := ζ(x) M ζ(x) := a x + c mod M

39 PRNGs Lineare Kongurenzgeneratoren Wahl von ψ und ζ ψ(x) := ζ(x) M ζ(x) := a x + c mod M Eigenschaften Bei passender Wahl von a und c erzielen wir eine Periode von M Durch geschickte Kombination mehrerer Generatoren können wir die Eigenschaften noch verbessern

40 PRNGs Der Algorithmus von Wichman-Hill 1 c l a s s WichmannHill ( Random ) : 2 def s e e d ( s e l f, a ) : 3 a, x = divmod ( a, 30268) 4 a, y = divmod ( a, 30306) 5 a, z = divmod ( a, 30322) 6 s e l f. s e e d = i n t ( x )+1, i n t ( y )+1, i n t ( z)+1 7 def random ( s e l f ) : 8 x, y, z = s e l f. s e e d 9 x = (171 x ) % y = (172 y ) % z = (170 z ) % s e l f. s e e d = x, y, z 13 r e t u r n ( x / y / z / ) % 1. 0

41 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wie erzeugen wir exponentialverteilte (λe λx ) Zufallszahlen?

42 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wie erzeugen wir exponentialverteilte (λe λx ) Zufallszahlen? Einfach: Die Verteilung y(x) = 1 e λx umkehren

43 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wie erzeugen wir exponentialverteilte (λe λx ) Zufallszahlen? Einfach: Die Verteilung y(x) = 1 e λx umkehren x(y) = 1 λ ln(1 y)

44 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wie erzeugen wir exponentialverteilte (λe λx ) Zufallszahlen? Einfach: Die Verteilung y(x) = 1 e λx umkehren x(y) = 1 λ ln(1 y) Wende die Funktion auf die Ausgabe eines Gleichverteilungsgenerators an

45 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen

46 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wähle je zwei gleichverteilte Zufallszahlen auf dem Bereich { ( (u, v) R 2 : 0 u f 0.5 u )} v

47 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wähle je zwei gleichverteilte Zufallszahlen auf dem Bereich { ( (u, v) R 2 : 0 u f 0.5 u )} v Teile v durch u

48 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen Wähle je zwei gleichverteilte Zufallszahlen auf dem Bereich { ( (u, v) R 2 : 0 u f 0.5 u )} v Teile v durch u Das Ergebnis ist nach der Dichtefunktion f verteilt!

49 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Unser Beispiel war f (x) = e λx

50 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Unser Beispiel war f (x) = e λx Dann haben wir eingesetzt 0 u 1, v = 2 λ u ln(u)

51 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Erzeugung nicht-gleichverteilter Zufallszahlen 1 def e x p o n e n t i a l ( lambda ) : 2 while 1 : 3 u1 = random ( ) 4 u2 = 1. 0 random ( ) 5 i f u2 <= 2 / lambda u1 l o g ( u1 ) : 6 break 7 return u2/u1

52 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen

53 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Weiterführendes Wo kann ich nach Code suchen?

54 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Weiterführendes Wo kann ich nach Code suchen? Simulationswerkzeuge (NS-2)

55 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Weiterführendes Wo kann ich nach Code suchen? Simulationswerkzeuge (NS-2) Publikationsorte

56 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Ende Weitere Details:

57 Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen Ende Weitere Details: Und Danke für eure Aufmerksamkeit :-)