8 Die Exponentialverteilung

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1 8 Die Exponentialverteilung 8.1 Einführung Modelle Zuverlässigkeitsmodelle Lebensdauermodelle Bedienungsmodelle. 277 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Def. 26 (Exponentialverteilung) Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [0, ). Sie heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ, λ > 0, falls die Verteilungsfunktion beschrieben wird durch 1 e λt falls t 0 F(t) = P(X < t) = 0 sonst. Die Dichte der Exponentialverteilung ist λe λt falls t 0 f(t) = 0 sonst. 278 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Erwartungswert EX = = 0 0 x f(x)dx x λe λx dx u v = x ( e λx ) ( e λx )dx u v u v = e λx dx = 1 λ e λx 0 = 1 λ. 279 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Der Erwartungswert einer exponential verteilten Zufallsvariable, X Exp(λ), ist EX = 1 λ. 280 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Varianz EX 2 = = 0 0 x 2 f(x)dx x 2 λe λx dx u v = x 2 ( e λx ) 0 0 2x ( e λx )dx u v u v = 2 λ EX = 2 λ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 VarX = EX 2 (EX) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2 σ X = 1 λ (Standardabweichung) Schiefe Kurtosis = = E(X EX)3 (VarX) 3/2 = 2 E(X EX)4 (VarX) 2 = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 Bsp 47 Die zufällige Wartezeit eines Kunden am Schalter sei exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 10 min. Wie groß ist die Wkt,. dass Sie mindestens 15 min. warten müssen? X: zufällige Wartezeit eines Kunden am Schalter, Frage: P(X > 15)? X Exp(λ), λ = P(X > 15) = e 15λ = e W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 8.2 Gedächtnislosigkeit Def. 27 (Gedächtnislosigkeit) Eine Verteilung P (mit Verteilungsfunktion F ) heißt gedächtnislos, wenn für alle s,t 0, gilt: P(X > s + t X > t) = P(X > s). Bem. 9 Bei stetigen Verteilungen ist das äquivalent zu P(X s + t X t) = P(X s). 284 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Es gilt (Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit) P(X s + t X t) = = P({X s + t} {X t}) P(X t) P(X s + t). P(X t) 285 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Eine Verteilung(sfunktion) ist also gedächtnislos, genau dann wenn P(X s + t) P(X t) = P(X s) bzw. 1 F(s + t) 1 F(t) = 1 F(s). Def. 28 Die Funktion G(t) = 1 F(t) heißt Überlebensfunktion (oder Zuverlässigkeitsfunktion). 286 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 Die Verteilungsfunktion F (mit der Überlebensfunktion G) ist also gedächtnislos genau dann wenn G(s + t) = G(s) G(t) für alle s,t 0 Cauchy- Funktionalgleichung 287 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 Satz 20 Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos. Beweis: Die Verteilungsfunktion ist 1 e λt falls t 0 F(t) = P(X < t) = 0 sonst, und die Überlebensfunktion G(t) = 1 F(t) = 1 (1 e λt ) = e λt. Folglich erhalten wir G(s + t) = e λ(s+t) = e λs e λt = G(s) G(t). 288 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Satz 21 Sei F eine stetige Verteilungsfunktion mit F(0) = 0 und G(t) = 1 F(t). Es gelte die Cauchy-Funktionalgleichung G(s + t) = G(s) G(t) für alle s,t 0. (1) Dann gilt für alle t, t > 0, F(t) = 1 e λt, wobei λ > 0. D.h. F ist Exponential-Verteilungsfunktion. Beweis: 1. Es gilt: d.h. G(t) 0 für alle t. G(t) = G( t 2 + t 2 ) = ( G( t 2 )) 2 0, 289 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 Angenommen, es existiert ein t 0 mit G(t 0 ) = 0, dann folgt: G(t) = G(t t 0 + t 0 ) = G(t t 0 ) G(t 0 ) = 0 für alle t, d.h. wir erhalten die triviale Lösung für die obige Cauchy-Funktionalgleichung, die jedoch wegen G(0) = 1 F(0) = 1 nicht zugelassen ist. 290 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 2. Es gilt also G(t) > 0 für alle t. Sei m, m > 0, eine natürliche Zahl. Dann folgt aus (1) für alle t > 0: G(t) = G( t m t ) = ( G( t }{{ m} m )) m, m mal insbesondere G(1) = ( G( 1 m )) m oder G( 1 m ) = ( G(1) ) 1 m 291 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 3. Für rationale Zahlen r = m n erhalten wir G(r) = G( n m ) = G( 1 m ) }{{ m} n mal = ( G( 1 m )) n = ( G(1) ) n m = ( G(1) ) r. 292 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 4. Da die Funktion (G(1)) t stetig ist auf R + folgt für alle t > 0: G(t) = G(1) t = e t ln(g(1)) 5. Wir setzen λ := ln G(1). Da F als Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, ist G monoton fallend, d.h. ln G(1) < 0 und λ > 0. Wir erhalten demnach G(t) = e λ t, also F(t) = 1 e λ t. 293 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Bsp 48 (Fortsetzung von Beispiel 1) Der Kunde hat schon 10 min. gewartet. Wie groß ist die Wkt., daß er insgesamt länger als 15 min. warten muss? P(X > 15 X > 10) = P(X > 5) = e 5λ = e Bsp 49 Postschalter mit 2 Personen besetzt. Die Bedienungszeit sei zufällig, exponential verteilt, mit Erwartungswert 1. Es werden gerade zwei Kunden bedient, λ Sie sind der nächste. Frage: Wkt. dafür, daß Sie nicht der letzte der 3 Kunden sind? 294 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 Antwort: Sie werden bedient, sobald der erste Platz frei wird. Wegen der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung hat die Bedienungszeit des anderen Kunden dieselbe Verteilung wie Ihre. P = 0.5. Bem. 10 Unter den diskreten Verteilungen hat nur die geometrische Verteilung diese Eigenschaft (siehe Abschnitt 6). 295 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 8.3 Zuverlässigkeitsmodelle Def. 29 (Zuverlässigkeit) Die Zuverlässigkeit eines Systems ζ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System zum Zeitpunkt t intakt ist: Rel(ζ) = P(X t). Annahme: Das System besteht aus mehreren Komponenten Die Komponenten sind unabhängig X i Exp(λ i ). 296 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Reihensystem Parallelsystem k aus n System Proversionswahrscheinlichkeit Faltung 297 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 .. Reihensystem ζ R G 1 (t) G n (t) Rel(ζ R ) = P(X R t) = P(X 1 t,...,x n t) = n n = P(X i t) = G i (t) = = i=1 n i=1 i=1 ( e λit = exp n i=1 ) λ i t. 298 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 Die zufällige Lebensdauer X R des Reihensystems ist ( n X R Exp λ i ). i=1 Die mittlere Lebensdauer des Reihensystems ist EX R = 1 n i=1 λ. i 299 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 Reihensystem: ( Rel(ζ R ) = e P ) n i=1 λ it, n,λ i = λ : Rel(ζ R ) 0. n n, λ i,n λ : Rel(ζ R ) e λt i=1 300 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

25 D.h. die Lebensdauer X R des Reihensystems ist, wenn λ i <, i=1 asymptotisch wieder exponentialverteilt. Die Exponentialverteilung ist eine sogenannte Extremwertverteilung. 301 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

26 Bem. 11 Die Lebensdauer X R des Reihensystems kann beschrieben werden durch Die Zufallsvariable X R hat oft X i Exp(λ)) der Dichte X R = min i X i. (auch dann wenn nicht asymptotisch eine Weibull-Verteilung mit f(t) = b(λt) b 1 e (λt)b, t > 0,b > 0,λ > 0. Das ist dann der Fall, wenn die Dichte der unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen X i kurze Tails hat. 302 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

27 Parallelsystem ζ P G 1 (t) G n (t) 303 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

28 Rel(ζ P ) = P(X P t) = 1 P(X P < t) = 1 P(X 1 < t,...,x n < t) }{{} = = 1 = 1 alle Komponenten sind vor dem Zeitpunkt t ausgefallen n P(X i < t) i=1 n F i (t) i=1 = 1 (1 e λt ) n wenn λ i = λ i 304 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

29 Parallelsystem.. Rel(ζ P ) = 1 (1 e λt ) n n,λ i = λ : Rel(ζ P ) 1 n : Rel(ζ P ) 1 e e λt+ln n 305 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

30 Das ist auch eine Extremwertverteilung, die sogenannte Gumbel-Verteilung. Bem. 12 Die Lebensdauer X P des Parallelsystems kann beschrieben werden durch X P = max i X i. Der Fall der Gumbel-Verteilung tritt ein, wenn X i mittlere Tails hat. 306 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

31 Mittlere Lebensdauer des Parallelsystems (λ i = λ) 0.. }{{} T 1 }{{} T 2 }{{} T 3 Exp(λn) Exp(λ(n-1)) Exp(λ(n-2)) T 1 : T i : Wartezeit bis zum ersten Ausfall einer Komponente Wartezeit zwischen (i 1)-tem und i-tem Ausfall einer Komponente X P = n i=1 T i. 307 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

32 Zwischen (i 1)-tem und i-tem Ausfall einer Komponente arbeiten genau n i + 1 Komponenten gleichzeitig. Die Lebensdauer dieses Teilsystems aus n i + 1 Komponenten (Reihensystem) hat eine Exponentialverteilung mit Parameter µ i = (n i + 1) λ, ET i = 1 µ i = 1 n i λ EX P = n i=1 1 µ i = 1 λ n i=1 1 n i + 1 = 1 λ n i=1 1 i. 308 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

33 k aus n Systeme Das System fällt aus, wenn k Komponenten ausgefallen sind. Lebensdauer: T = k T i. i=1 309 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

34 Mittlere Lebensdauer: ET = = 1 λ = 1 λ k i=1 1 µ i k i=1 1 n i + 1 n aus n-system: Parallelsystem 1 aus n-system: Reihensystem (1 n + 1 n n k + 1 ). 310 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

35 Proversionswahrscheinlichkeiten Problem: Reihensystem mit 2 Komponenten und der zufälligen Lebensdauer X 1,X 2 : X 1 Exp(λ 1 ), X 2 Exp(λ 2 ). System fällt aus. Mit welcher Wkt. liegt das an der ersten Komponente? 311 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

36 P(X 1 < X 2 ) = = = = 1 P(X 1 < X 2 X 2 = t)f 2 (t)dt P(X 1 < t) λ 2 e λ2t dt (1 e λ 1t ) λ 2 e λ 2t dt 0 λ 2 e (λ 1+λ 2 )t dt 312 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

37 P(X 1 < X 2 ) = 1 λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 =. λ 1 + λ 2 Beispiel: 1 λ 1 = 1000h, 1 λ 2 = 500h : P(X 1 < X 2 ) = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

38 Faltung der Exponentialverteilung System mit 2 Komponenten: Zunächst ist nur die erste Komponente eingeschaltet. Wenn diese ausfällt, wird automatisch die 2. Komponente zugeschaltet. Das System fällt aus, wenn beide Komponenten defekt sind. Die Lebensdauern X 1,X 2 seien unabhängig und exponential, X 1,X 2 Exp(λ) verteilt. Frage: Wkt. für Systemausfall? 314 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

39 F(t) = P(X 1 + X 2 < t) = = = = = t 0 t 0 P(X 1 + X 2 < t X 2 = s)f(s)ds P(X 1 < t s)f(s)ds F(t s)f(s)ds ( 1 e λ(t s) ) λe λs ds λe λs ds t 0 = 1 e λt λte λt. λe λt ds 315 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

40 Dichte (t > 0): F (t) = λe λt + λ 2 te λt λe λt = λ 2 t e λt Erlang-Verteilung mit Parameter (2,λ). Bem. 13 Seien X 1,...,X n unabhängig, X i Exp(λ), i = 1,...,n. Dann ist X 1 + X 2 + X n Erlang(n,λ). Dichte: Beweis: durch Induktion. λt (λt)n 1 f Erl (t) = λe (n 1)!. 316 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

41 Ausfallrate-Funktion Def. 30 (Ausfallrate-Funktion) Sei F eine Verteilungsfunktion mit Dichte f. Dann heißt µ(t) = f(t) 1 F(t) Ausfallrate-Funktion (oder Hazardrate-Funktion). Interpretation: Die Zufallsvariable X habe bereits die Zeit t überlebt. Frage: Wie groß ist die Wkt., dass X den Zeitraum [t,t + dt] 317 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

42 nicht überlebt, also P(X t + dt X > t) = = = P(X [t,t + dt]) P(X > t) t+dt t f(x)dx 1 F(t) F(t + dt) F(t) 1 F(t) f(t)dt 1 F(t) = µ(t)dt. µ(t): Rate mit der ein Bauteil, das t alt ist, ausfällt. 318 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

43 F(t) = 1 e λt µ(t) = λe λt e λt = λ. Bei Exponentialverteilung ist die Ausfallrate konstant, sie hängt nicht vom Zeitpunkt ab! Übungsaufgabe: Sei F eine stetige Verteilungsfunktion mit Dichte f und konstanter Ausfallrate. Zeigen Sie, dass f Exponential-Dichte ist. Hinweis: Setzen Sie u(t) := 1 F(t) und lösen Sie die Differentialgleichung u λu = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

44 Def. 31 (IFR, DFR) Eine Verteilungsfunktion F hat Increasing Failure Rate (IFR), falls µ(t) monoton wachsend ist. F hat Decreasing Failure Rate (DFR), falls µ(t) monoton fallend ist. Bsp. 50 (Weibull-Verteilung) Verteilungsfkt.: F(t) = 1 e (λt)b, t,λ,b > 0, Dichtefkt.: f(t) = b(λt) b 1 e (λt)b µ(t) = f(t) 1 F(t) = b(λt)b 1 e (λt)b e (λt)b = b(λt) b W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

45 IFR falls b > 1 IFR, DFR falls b = 1 (exp) DFR falls b < 1 System mit verdeckten Mängeln, aber langsamen Altern Ausfallrate sinkt Weibull, b < 1 System mit wenig verdeckten Mängeln, aber schnellem Altern Ausfallrate steigt Weibull, b > W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

46 Bsp. 51 (Hjorth-Verteilung) /2 Verteilungsfkt.: F(t) = 1 e λt2 (1 + bt) γ/b, t,λ,γ,b > 0, λt(1 + bt) + γ Dichtefkt.: f(t) = (1 + bt) γ/b+1 fallend für λ = 0 µ(t) = f(t) 1 F(t) = λt + γ 1 + βt badewannenförmig für 0 < λ < bγ. 322 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

47 Die Hjorth-Verteilung modelliert also badewannenförmige Ausfallraten. - zunächst fallen viele Objekte aus (Kinderkrankheiten) - dann Ausfallrate zeitweilig konstant - schliesslich mehren sich die Ausfälle aufgrund von Alterungserscheiningen. 323 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

48 Bedienungstheorie M/M/s - Wartesystem X Exp(λ) Zeit zwischen Ankünften/Anforderungen Forderungen reihen sich in eine Warteschlange ein. B Exp(µ) Bedienungszeiten, unabhängig s parallele Bedienungsplätze Bei frei werdendem Bedienungsplatz wird die nächste Forderung sofort bedient. Fragestellungen: Mittlere Anzahl der Forderungen im System Mittlere Warteschlangenlänge Mittlere Wartezeit EW t 324 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

49 Besetztwahrscheinlichkeit P B Wartezeitverteilung P(W t u) = 1 P B e (sµ λ)u EW t = P B sµ λ. Stationärer Fall, wenn 1 sµ < 1 λ. 325 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

50 M/M/s - Verlustsystem X Exp(λ) Zeit zwischen Ankünften/Anforderungen Eine ankommende Forderung wird sofort bedient, wenn ein Bedienungsplatz frei ist, ansonsten geht sie verloren. B Exp(µ) Bedienungszeiten, unabhängig s parallele Bedienungsplätze Fragestellungen: Verlustwahrscheinlichkeit Mittlere Anzahl der besetzten Bedienungsplätze 326 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

51 Zusammenfassung (Exponentialverteilung) Exponentialdichte λe λt if t 0 f(t) = 0 else. Erwartungswert EX = 1 λ. Überlebensfunktion G(t) = 1 F(t) = e λt. Cauchy-Funktionalgleichung G(s + t) = G(s) G(t). 327 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

52 Die Exponential-Verteilung ist gedächtnislos. Die einzige gedächtnislose stetige Verteilung ist die Exponential-Verteilung Exponential-Verteilung ist eine Extremwertverteilung. 328 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

53 Anwendungen in der Zuverlässigkeitstheorie. Reihensystem Parallelsystem Ausfallrate-Funktion µ(t) = f(t) 1 F(t). Die Ausfallratefunktion der Exponentialverteilung ist konstant. 329 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin