Ü b u n g s b l a t t 11
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- Ruth Baum
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1 Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden Lösungen von -Aufgaben sind schriftlich abzugeben im Zettelkasten Nr 5 auf dem D bis Mittwoch, 707, :00 Uhr Lösungen von -Aufgaben sind per Web-Formular unter ( Lehre SS 07 Übungen abzuliefern bis spätestens Mittwoch, 707, 59 Uhr Aufgabe 59: (Spezielle Verteilungen: Poisson Verteilung Rechne die Aussagen von Abschnitt 4 der Vorlesung nach: zeige, dass für eine Poisson verteilte Variable X mit P (X k λk eλ, k 0,,, gilt: E(X λ, Var(X λ, σ(x λ Erwartungswert von X: E(X k P (X k k0 k0 k λ k e λ λe λ λ k (k! k λe λ λ k k0 }{{} e λ λ Erwartungswert von X : e λ ( E(X λ d dλ k0 k0 λ k ( k λk eλ e λ k(k λk + λ d dλ Hiermit folgt Varianz und Streuung: k0 λ k k0 e λ ( λ d dλ eλ + k0 kλ k + λ d dλ eλ Var(X σ (X E(X E(X λ + λ λ λ λ + λ Aufgabe 0*: (Spezielle Verteilungen: Poissonnäherung 0 Punkte In einem aus vielen gleichen Bauteilen aufgebauten System stellt man fest, dass im Mittel Elemente pro Arbeitszyklus ausfallen Wieviele Ersatzteile sollte man zur Hand haben, um mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit das System für einen Arbeitszyklus in Betrieb halten zu können? (Das System ist nur betriebsfähig, wenn alle Bauteile funktionieren
2 Ein Arbeitszyklus wird als n-fache Wiederholung des Bernoulli-Experiments ein bestimmtes Bauteil fällt aus interpretiert, wobei n die Anzahl der Bauteile ist Die Erfolgswahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebenes Bauteil ausfällt, ist gering Der Erwartungswert E(X der Zufallsvariable X Anzahl der Bauteile, die pro Arbeitszyklus ausfallen, ist als E(X n p bekannt Die Poisson Näherung besagt Es ist K so zu bestimmen, dass P (X k λk eλ gilt Für λ ist dies für K erfüllt: P (X K K k0 λ k eλ 095 K P (X K Man sollte also mindestens Ersatzteile parat haben Aufgabe **: (Szenen einer Ehe, Teil Hypergeometrische Verteilung 0 Punkte Dies ist eine Online-Aufgabe, die bis zum 707, 59 Uhr, abzuliefern ist Meine Frau ist unternehmungslustig und geht regelmäßig an m Tagen der Woche allein aus Im Zuge der Gleichberechtigung tue ich dies an n Tagen der Woche ebenfalls Da unsere Aktivitäten unabhängig voneinander sind, ziehen wir manchmal an den selben Wochentagen, manchmal an unterschiedlichen Wochentagen jeder für sich los Wieviele Wochentage bleiben uns im Mittel für gemeinsame Aktivitäten? (Zahlenwerte für m und n werden vom Aufgabenserver zufällig gewählt Anleitung: vergleiche mit Aufgabe auf Blatt In der Musterlösung von Aufgabe (Blatt findet man: P ( genau k gemeinsame Tage k m! n! N! (k + m + n N! (N m j j0 k (N n j für max(0, N m n k N, wobei N 7 die Anzahl der Wochentage ist (Das Produkt j j0 für k 0 wird in der obigen Formel als definiert Als Erwartungswert der Variablen X Anzahl der gemeinsamen Wochentage erhält man j0 E(X N kmax(0,nmn k P ( genau k gemeinsame Tage N kmax(0,nmn k k m! n! N! (k + m + n N! (N m j j0 k (N n j j0
3 Dieser Ausdruck läßt sich vereinfachen zu E(X (N m (N n/n Anstatt dies formal anhand der Formel zu beweisen, betrachten wir eine alternative Lösung: Alternative Lösung: In der Menge von N ( 7 Wochentagen werden die m Tage markiert, an denen meine Frau ausgeht Ich ziehe nun ohne Zurücklegen meine n Tage aus den N Wochentagen Betrachte ich die m markierten Wochentage meiner Frau als Erfolge, so ist die Anzahl Y der von mir gezogenen Erfolge bekannterweise hypergeometrisch verteilt, also ( m ( N m P (Y k k n k ( N, k 0,,, n n mit dem Erwartungswert (nach Abschnitt 44 der Vorlesung: E(Y m n N Die Anzahl der gemeinsam zur Verfügung stehenden Tage X ist also X N m n + Y, E(X N m n + EW (Y N m n + n m N Mit MuPAD ergeben sich für N 7 folgende Werte: (N n (N m N n 0 n n n n 4 n 5 n n m m /7 0/7 4/7 8/7 /7 /7 0 m 5 0/7 5/7 0/7 5/7 0/7 5/7 0 m 4 4/7 0/7 /7 /7 8/7 4/7 0 m 4 8/7 5/7 /7 9/7 /7 /7 0 m 5 /7 0/7 8/7 /7 4/7 /7 0 m /7 5/7 4/7 /7 /7 /7 0 m Gleitpunktapproximationen: n 0 n n n n 4 n 5 n n m m m m m m m m
4 Aufgabe *: (Spezielle Verteilungen: Exponentialverteilung 0 Punke Die Lebensdauer einer Glühbirne sei exponentiell verteilt Sie überlebe 00 Stunden mit Wahrscheinlichkeit 09 (a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 00 Stunden überlebt? (b Wieviele Stunden überlebt sie mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit? Sei T der Zeitpunkt, an dem die Birne durchbrennt Diese Variable sei exponentiell verteilt mit der Dichte ρ(t λ e λ t für t 0 Hierbei ist λ durch P (T > 00 bestimmt, also λ ln(09/00 00 ρ(t dt λ a Die Birne überlebt 00 Stunden mit der Wahrscheinlichkeit P (T > b Es ist das τ zu bestimmen, für welches ρ(t dt λ e λ t dt e 00 λ 09 : p e λ t dt e 00 λ p 08 gilt, also P (T > τ τ τ ln(095 λ ρ(t dt λ ln(095 ln(09 τ e λ t dt e τ λ (Stunden Aufgabe : (Spezielle Verteilungen: kontinuierliche Gleichverteilung Rechne die Aussagen von Abschnitt 4 der Vorlesung nach: zeige, dass für eine auf dem Intervall [a, b] gleichverteilte kontinuierliche Variable X gil: E(X a + b, Var(X (, σ(x Erwartungswert von X: E(X b a r dr [ r ] rb ra b a (b + a ( a + b
5 Erwartungswert von X : E(X b a r dr [ r ] rb ra b a Hiermit folgt Varianz und Streuung: (b + a b + a ( b + a b + a Var(X σ (X E(X E(X b + a b + a ( a + b 4 (b + a b + a (a + a b + b b a b + a ( Aufgabe 4*: (Spezielle Verteilungen: diskrete Gleichverteilung 0 Punkte Zeige für eine Variable X, die die ganzzahligen Werte {n, n +,, m} mit der selben (kombinatorischen Wahrscheinlichkeit mn+ annimmt: Hinweis: es gilt E(X n + m p k k p (p +,, Var(X p k k Rechnerei, bei der MuPAD kräftesparend wirken kann Erwartungswert von X: E(X k P (X k kn m n + Erwartungswert von X : E(X ( m (m + m n + k P (X k kn m n + m n + m n + (n n (m n (m n + p (p + ( p + Es ergibt sich etwas k kn (m n + (m + n m n + k kn ( m (m + ( m + ( m k m n + k m n + m + n n k k m n + m + n ( m k m n + k (n n ( (n + (m n + ( m + n + m n + m n n k k
6 m + n + m n + m n Hiermit folgt Varianz und Streuung: Var(X σ (X E(X E(X m + n + m n + m n ( m + n + m n + m n m m n + n + m n (m n (m n + (m + m n + n (m n + (m n ( m + n
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