Summe von Zufallsvariablen

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1 Summe von Zufallsvariablen Gegeben sind die unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen X und Y mit den Wahrscheinlichkeitsdichten f() und g(). { für f() = g() = sonst Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeiten P(X + Y ). Für ihre Berechnung ist das Volumen des von der Ebene abgeschnittenen Teilkörpers in Abhängigkeit von u bestimmen. Das Ergebnis, die Verteilungsfunktion F(), sowie deren Ableitung, die Wahrscheinlichkeitsdichte, sind dargestellt. Die Funktionsterme sind einfach u ermitteln. = F() F () = f () F() = f () = ( ) für { für Die Summenbildung führt u einer Glättung der beteiligten Funktionen. Die Dichte von X +Y ist stetig. Es kann erwartet werden, dass die Dichte von X +Y +Z dreier gleichverteilter Zufallsvariablen differenierbar ist.

2 Summe dreier Zufallsvariablen Zu den vorigen Zufallsvariablen X und Y nehmen wir noch eine dritte unabhängige Zufallsvariable Z mit derselben Wahrscheinlichkeitsdichte h() hinu.. { für f() = g() = h() = sonst Wir ermitteln nun die Wahrscheinlichkeiten P(X +Y +Z ), hierbei können wir die Dichte der Wahrscheinlichkeiten P(X + Y ) verwenden. Für die Berechnung ist wieder (diesmal jedoch etwas mühsam) das Volumen des von der Ebene abgeschnittenen Teilkörpers in Abhängigkeit von u bestimmen. Die Verteilungsfunktion F() lautet (auf den wesentlichen Intervallen): F() = ( ) (3 )3 6 ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )3 3 für 3 F() F () = f 3 () 3

3 Unabhängige Zufallsvariable Seien X und Y stetige unabhängige Zufallsvariable ( ) mit den Dichten f X und f Y. Dann ist: P(X d, Y d) = P(X d) P(Y d) = f X d f Y d = f X f Y dd = P(X A, Y B) = A B f X () f Y () dd 3

4 Faltung Betrachten wir die Summe weier diskreter unabhängiger Zufallsvariablen X und Y, die die Werte,,,... annehmen können, 5 dann ist.b. P(X +Y = 5) = P(X = k) P(Y = 5 k) und allgemeiner: P(X +Y [a, b]) = k= n [a, b] k= n P(X = k) P(Y = n k) Seien nun X und Y stetige unabhängige Zufallsvariable ( ) mit den Dichten f X und f Y. Dann ist: P(X A, Y B) = f X () d f Y () d = f X () f Y () dd und P(X +Y ) = A B A B f X () f Y () dd In diesem Volumenintegral werden die Querschnittsflächen (längs der gestrichelten Linie) Q() = nach integriert. f X () f Y () d = Um die Dichte u erhalten, betrachten wir die Querschnittsflächen, die parallel ur Geraden = verlaufen und führen eine Scherung parallel ur -Achse durch. Integrieren wir nun diese (einfach begrenten) Querschnitte, so erhalten wir: P(X +Y ) = t f X (t u) f Y (u) dudt = Es liegt also die Tranformation vor. (t,u) (t u,u) = (,) u f X+Y (t) = t f X (t u) f Y (u) du f X+Y heißt Faltung von f X und f Y. Die Analogie um diskreten Fall ist offensichtlich. u = t (t u,u) (t,u) 4 t

5 Faltung P(X +Y ) = f X () f Y () dd In diesem Volumenintegral werden die Querschnittsflächen (längs der gestrichelten Linie) Q() = nach integriert. f X () f Y () d = Um die Dichte u erhalten, betrachten wir die Querschnittsflächen, die parallel ur Geraden = verlaufen und führen eine Scherung parallel ur -Achse durch. Integrieren wir nun diese (einfach begrenten) Querschnitte, so erhalten wir: P(X +Y ) = u f X (t) f Y (u t) dtdu = Es liegt also die Tranformation vor. (t,u) (t,u t) = (,) f X+Y (u) = u f X (t) f Y (u t) dt f X+Y heißt Faltung von f X und f Y. u (t,u) u = t (t,u t) Lettlich wurden lediglich X und Y vertauscht. t 5

6 Faltung verkürte Darstellung u u +du u u t t t +dt t Der Grafik kann die Berechnung der Verteilung P(X +Y ) = u unmittelbar entnommen werden. f X (t) f Y (u t) dtdu Zu beachten ist: P((X,Y) Parallelogramm) = f X (t) f Y (u t)dtdu Zuerst werden die infinitesimalen Volumenelemente u jeweils festem u und den Grundflächen mit A Parallelogramm = dtdu, die auf der Schrägen u = u t liegen, addiert (Integration nach t von bis u). Anschließend werden diese Volumenscheiben usammengefasst (Integration nach u von bis ). f X+Y (u) = u f X (t) f Y (u t) dt f X+Y ist die Dichte von X +Y. 6

7 Eponentialverteilung Für manche (gedächtnislosen) Bauteile ist die Annahme sinnvoll, dass u jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil noch weitere n Zeiteinheiten funktioniert, unabhängig ist von der Dauer, wie lange es bereits eingesett war. Diese Eigenschaft ist charakteristisch für die Eponentialverteilung der Lebensdauer. Die Verteilungsfunktion besitt die Dichte: { λe λ, f() = < Für eine eponentialverteilte Zufallsvariable X mit dem Parameter λ gilt: Für die kumulative Verteilungsfunktion von X ergibt sich: E(X) = λ und V(X) = λ. F() = Somit folgt f()d = P(X > ) = F() = e λ { e λ, < Aus Sicherheitsgründen werde einem Sstem eine identische, unabhängige Kopie eingebaut, so dass das Sstem so lange funktioniert, so lange einer der beiden Bauteile funktionstüchtig ist. Die gesamte Lebensdauer des Sstems ist somit die Summe der Zufallsvariablen. f X+Y () = f X (u) f Y ( u) du = λe λu λe λ( u) du = λ e λ du = λ e λ f F f X+Y λ = 4 5 Für n = 3 erhalten wir die Dichte (einfache Rechnung): f X+Y+Z () = und dann allgemein: f n () = λn n (n )! f X+Y (u) f Z ( u)du =... = λ3 e λ (Erlang-Verteilung) e λ

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