j K j d j m j h j f j

Transkript

1 Für eine stetige Zufallsvariable X in einem Intervall [ a ; b ] kann X jeden beliebigen Wert annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten werden in diesem Fall nicht mehr wie bei einer diskreten Zufallsvariable auf nur bestimmte Punkte k konentriert, sondern sind kontinuierlich im Intervall a X b verteilt. Für einen k -Wert einer diskreten Zufallsvariable liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( k ) die Wahrscheinlichkeit P ( X k ) oder in einem bestimmten Intervall [ a ; b ] ist die Wahrscheinlichkeit P ( a X b ) die Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten die verschiedenen k - Werte in diesem Intervall. Dagegen eine stetige Zufallsvariable sind die -Werte in einem Intervall [ a ; b ] so viele, dass sie nicht mehr abählbar sind und folglich deren Wahrscheinlichkeiten auch nicht aufsummiert werden können. Somit wird die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariable in einem Intervall mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion f ( ) angegeben. Die Wahrscheinlichkeit in einem Intervall a X b wird durch die Fläche unterhalb der Dichtefunktion in diesem Intervall repräsentiert. Aus der Serienproduktion ur Herstellung von Autobatterien wurde eine Stichprobe vom Umfang N 4 entnommen. Die Messungen der Lebensdauer X (in Jahren) der Batterien ergab die folgende Tabelle Häufigkeitsverteilung: j K j d j m j h j f j f * j F j : j d j f [,5 ;, ),5,75,5,,5 [, ;,5 ),5,5,5, [,5 ; 3, ),5,75 4,,,75 4 [ 3, ; 3,5 ),5 3,5 5,375,75,55 5 [ 3,5 ; 4, ),5 3,75,5,5,8 6 [ 4, ; 4,5 ),5 4,5 5,5,5,95 7 [ 4,5 ; 5, ),5 4,75 3,75,5 Zeichnen Sie ein Histogramm der relativen Häufigkeiten. ein Dichtehistogramm der Klassendichten der relativen Häufigkeiten und ein Häufigkeitspolygon ein geglättetes relatives Häufigkeitspolygon Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit da, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer wischen 3,5 bis 4,5 Jahre hat?

2 Relative Häufigkeiten,375,5,5 f j,75,5,75 3,5 3,75 4,54,75,5 5 Lebensdauer [Jahre] Klassendichte der relative Häufigkeiten,75,5,5 f * j,5,75,5,75 3,5 3,75 4,54,75 5,5,5 5 Lebensdauer [Jahre] Klassendichte der relative Häufigkeiten,75,5,5,75,5,75 3,5 3,75 4,5 4,75 Lebensdauer [Jahre] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ufällig entnommene Batterie eine Lebensdauer wischen 3,5 bis 4,5 Jahre hat, ist der Flächeninhalt des 5. und 6. Rechteckes, d.h.,5,5 +,5,5,375 oder die Fläche unterhalb des Häufigkeitspolygons oder näherungsweise die gefärbte Fläche unterhalb der Glockenkurve des geglätteten Häufigkeitspolygons (Dichtefunktion). Zeichnen Sie Daten des vorigen Beispiels ein kumulatives relatives Häufigkeitspolygon (die empirische Verteilungsfunktion) ein geglättetes kumulatives relatives Häufigkeitspolygon. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit da, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer weniger als 3,5 Jahre hat? Häufigkeiten F j!",,75,5,5,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Lebensdauer [Jahre] # Kumulierte Relative Häufigkeiten " Lebensdauer [Jahre] P 3, 5 ( X 3, 5 ) F ( 3, 5 ) f ( ) d, 55

3 $% &"' ( $%%'( Stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert in einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann. $%%)&!'( Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable X lässt sich durch die Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte f ( ) beschreiben oder durch die daugehörige Verteilungsfunktion: darstellen. Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften: f ( ) F ( ) P ( X ) f ( u)du f ist stetig bis auf endliche Punkte f ( ) d )ba Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige Zufallsvariable. Die Flugdauer diese Flugstrecke kann wischen und 4 Minuten dauern. Die Dichtefunktion, die diesen Flug beschreibt sei wie folgt: f ( ) < > 4 4 Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist.. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X graphisch dar. Wie groß ist der Anteil an Flügen diese Strecke, die weniger als 3 Minuten dauern? 3

4 *+ f f ( ) ( ) / d 4 Flugdauer [min] Die Verteilungsfunktion ist: d + d Die Dichtefunktion ist in dem Definitionsbereich [ ; 4] positiv. Die Dichte Funktion ist in dem Definitionsbereich [ ; 4] stetig. Es muss noch überprüft werden, ob ( ) d f gilt: d F ( ) f ( u ) d u d u + du + 6 F ( ) 6 < > 4 4 F ( ) " 4 Flugdauer [min] 4

5 Die Wahrscheinlichkeit alle Flugdauern unterhalb von X 3 Minuten ist: F 3 ( 3 ) P ( X 3 ) f ( ) d d + 3 d +, f ( ) F ( ) " /,5,5 3 4 Flugdauer [min] 3 4 Flugdauer [min], Wie groß ist der Anteil an Flügen die Flugstrecke des vorigen Beispiels, die mehr als 5 Minuten dauern? Für die Gesamtwahrscheinlichkeit der Dichtefunktion gilt f ( ) d Folglich ist die Wahrscheinlichkeit alle Flugdauern oberhalb von X 3 Minuten ist: P ( X > 3 ) [ P ( X 3 ) ] F ( 3 ), 5, 5 f ( ) / 3 4 Flugdauer [min] 5

6 $%) "' & Ähnlich den Maßahlen in der beschreibenden Statistik ordnet man der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X Kennwerte oder Maßahlen u. Zu ihnen ählen der Mittelwert (Erwartungswert) und die Varian bw. die Standardabweichung. $%)%!../.!' & Erwartungswert µ E[ X ] einer Stetigen Zufallsvariable Der Erwartungswert E[ X ] einer stetigen Zufallsvariable X ist: µ E [ X ] f ( ) d, Dabei ist f ( ) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable. ba Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion: f ( ) sonst 4 Berechnen Sie die mittlere Flugdauer diese Flugstrecke. *+ µ f ( ) d d + d d 3 Also beträgt die mittlere Flugdauer diese Flugstrecke 3 Minuten. 6

7 $%)%)"3 '.!' & Varian ² Var[ X ] und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariable Die Varian ² einer stetigen Zufallsvariable X ist: [ X ] f ( ) ( ) d Var µ Dabei sind f ( ) die Dichtefunktion und µ der Erwartungswert der stetigen Zufallsvariable. - Die Standardabweichung ist: Die Varian stetige Zufallsvariablen kann auch mit der bequemeren Formel berechnet werden. f ( ) d µ,) Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion: f ( ) sonst 4 Die mittlere Flugdauer diese Flugstrecke beträgt 3 Minuten (s. voriges Beispiel: Bsp. 3) Berechnen Sie die Standardabweichung der Flugdauer diese Flugstrecke. 7

8 $%)% 4!'& Das q-quantil mit < q < ist der -Wert, der die Gesamtfläche unterhalb der Dichtefunktion f ( ) in wei Teilflächen aufteilt, so dass links von ihm der Inhalt der einen Teilfläche q und rechts von ihm der Inhalt der anderen Teilfläche ( q ) beträgt. Der Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichtefunktion f ( ) bis u einem beliebigen -Wert wird durch den Funktionswert der Verteilungsfunktion F ( ) bei diesem -Wert angegeben. Wenn die Verteilungsfunktion F streng monoton wachsend ist, dann lassen sich die Quantilen mit Hilfe dieser Verteilungsfunktion bestimmen. Quantile einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Das q-quantil q mit < q < einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Zahl auf der -Achse, die gilt: F ( q ) q, falls die Verteilungsfunktion F streng monoton wachsend ist, Die Flugdauer X (in Minuten) einer Airline Flüge von Berlin nach Rom sei eine stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion: F ( ) 6 < > 4 4 Bestimmen Sie das,5-quantil,5 der Flugdauer diese Flugstrecke. f ( ) / q q,5 Fläche : F ( q ) q,5 F ( ) " F ( q ) q,5 4 Flugdauer [min],5 4 Flugdauer [min] 8

9 ''& In den folgenden Abschnitten werden einige wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt, die in der Technik, Naturwissenschaften und in der Statistik eine wichtige Rolle spielen. $% 5 Die Gaußsche Normalverteilung spielt eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Die Verteilung von vielen stetigen Zufallsvariablen in der Technik und den Naturwissenschaften wie.b. physikalisch technische Messgrößen können durch die Dichtefunktion der Normalverteilung beschrieben werden. Bei vielen Messwerten, die von vielen Eineleinflüssen beeinflusst werden, häufen sich die Werte in der Nähe des Mittelwerts (Sollwert). Die Dichtekurve die Form einer Glockenkurve besitt. 6 Aus der Serienproduktion ur Herstellung von Autobatterien wurde eine Stichprobe vom Umfang N 4 entnommen. Die Messungen der Lebensdauer X (in Jahren) der Batterien ergab die folgende Tabelle die Häufigkeitsverteilung: j K j d j m j h j f j f j F j [,5 ;, ),5,75,5,,5 [, ;,5 ),5,5,5, [,5 ; 3, ),5,75 4,,,75 4 [ 3, ; 3,5 ),5 3,5 5,375,75,55 5 [ 3,5 ; 4, ),5 3,75,5,5,8 6 [ 4, ; 4,5 ),5 4,5 5,5,5,95 7 [ 4,5 ; 5, ),5 4,75 3,75,5 In der Abbildung sind das Dichtehistogramm sowie die Kurve der Dichtefunktion, die an den Messdaten angepasst wurde, dargestellt.,75 7,5,5,75,5,75 3,5 3,75 4,5 4,75 3,5 4,5 [Jahre] Die approimierte Dichtefunktion lautet: 3, 37 f ( ) ep π, 53, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer wischen 3,5 bis 4,5 Jahre hat? 9

10 Der Flächeninhalt des 5. und 6. Rechteckes:,5,5 +,5,5,375 Der Inhalt der Fläche unterhalb des Graphen der an dem Histogramm approimierten Dichtefunktion wischen den Grenen und 4: P ( ), 53 3, 5 X 4, 5 e d, 386 π, 53 4, 5 3, 5 3, 37 Der Wert dieses Integral muss numerisch berechnet werden. $%%85 Gaußsche Normal-Verteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion: f ( ) ep π heißt Gaußsche Normalverteilung. µ Dabei sind die Parameter der Erwartungswert und ² die Varian dieser Verteilung. X kann die Werte : < < annehmen. Die Verteilungsfunktion der Gaußschen Normalverteilung ist: F u µ ( ) P ( X ) ep d u π 5 " f ( ) µ µ µ µ 4 4

11 Eigenschaften der Normalverteilung Die Kurve der Dichtefunktion der Normalverteilung ist symmetrisch bgl. der Gerade Für eine normalverteilte Zufallsvariable liegen ca. 68,% der beobachteten Werte wischen und + ca. 95% der beobachteten Werte wischen und + ca. 99.7% der beobachteten Werte wischen 3 und + 3 µ $%%)& Möchte man eine stetige Zufallsvariable, deren Verteilung durch die Normalverteilung gegeben ist, die Wahrscheinlichkeit alle Werte kleiner als einen bestimmten Wert bestimmen, so berechnet man definitionsgemäß folgendes Integral P o ( X o ) F ( o ) f ( ) d ep d π o µ Leider kann F ( ), d.h. die Stammfunktion der Dichtefunktion f ( ) der Normalverteilung nicht analytisch mit Hilfe von Integraltechniken bestimmt werden. Der Wert des Integrals muss numerisch berechnet werden.

12 6 Die Lebensdauer X (in Jahren) der Batterien einer Serienproduktion sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion: (s. Bsp. 4) f ( ) 3, 37, 53 e π, 53 f ( ) P ( X 3,5 ),53 µ 3,37 mit µ 3,37 und,53 3 µ 4 5 3,5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer weniger als 3,5 Jahre hat? P ( ) ( ), 53 X 3, 5 F 3, 5 e d, 596 π, 53 3, 5 3, 37 $%%' 5 " & " 5 Da die Stammfunktion F ( ) der Dichtefunktion f ( ) der Normalverteilung nicht bestimmt werden kann, muss der Wert F ( ) einen beliebigen numerisch berechnet werden. Man kann also numerische berechnete Werte-Tabellen erstellen, die verschiedene - Werte sowie - und -Werten die daugehörigen F ( ) enthalten. Leider werden solche Tabellen sehr groß und unübersichtlich. Geht man aber von einer beliebigen normalverteilten Zufallsvariable X durch die lineare Transformation (Substitution) u der standardisierten Variable: Z X µ über, so genügt die Zufallsvariable Z auch einer Normalverteilung mit und Somit lassen sich alle Normalverteilungen durch die Standardisierung auf eine einige Verteilung urückführen.

13 Standard-Normalverteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable Z mit der Dichtefunktion: heißt Standardnormalverteilung. ϕ ( ) ep π Dabei sind die Parameter und ². Ihre Verteilungsfunktion lautet: Φ ( ) P ( Z ) ep v dv π Im Anhang befindet sich eine Tabelle mit den Werten der Verteilungsfunktion Φ ( ) der Standard-Normalverteilung beliebige. Mit Hilfe der Standard-Normalverteilung kann die Wahrscheinlichkeit F ( ) P ( X ) bestimmt werden. Φ ( ) P ( Z ) Φ ( ) P ( Z ) ( ).B.,76 beträgt die Wahrscheinlichkeit P ( Z,76 ) Φ (,76 ),7764 3

14 Beiehung ur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P ( X ) einer beliebigen normalverteilten Zufallsvariable X mit Hilfe der Standard-Normalverteilung P ( X ) P ( Z ) F ( ) Φ ( ) f ( ) F ( ) Φ ( ) ( ) µ π o ep µ d µ d d π o ep d 6 Bestimmen Sie mit Hilfe der Tabelle die Werte der Verteilungsfunktion der Standard- Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit aus dem vorigen Beispiel da, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer weniger als 3,5 Jahre hat? Die Lebensdauerverteilung entspricht einer Normalverteilung mit: µ 3,37 und,53. Es soll die Wahrscheinlichkeit alle -Werte kleiner als die obere Grene 3,5 berechnet werden. Die Substitution liefert folgende obere Grene die Zufallsvariable Z: Z X µ o o µ 3, 5 3, 37, 53, 45 Somit erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit: 4

15 f ( ) P ( X 3,5 ) ( ) ( ) ep ² Z X Φ (,45 ) 3 3,5 4 5,45 P ( X 3,5 ) P ( Z,45 ) Φ (,45 ), Da in der Tabelle der Wert,45 nicht eingetragen ist, wird die Wahrscheinlichkeit Φ (,45 ) näherungsweise als das arithmetische Mittel der Wahrscheinlichkeiten Φ ( ) die beiden benachbarten -Werten angegeben. Φ (,45 ) ½ [ Φ (,4 ) + Φ (,5 ) ] ½ [,5948 +,5987 ], Liegt ein -Wert mit mehr als Nachkommastellen vor, so kann Φ ( ) aus der Tabelle der Standard-Normal-Verteilung genauer durch lineare Interpolation bestimmt werden.,6 Geben Sie mit Hilfe der Tabelle die Werte der Verteilungsfunktion der Standard- Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit aus dem vorigen Beispiel da an, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer weniger als 4,5 Jahre hat? P( X 4,5 ) P(,3 ) Φ (,3), Bestimmen Sie mit Hilfe der Werte die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit aus dem vorigen Beispiel da, dass eine ufällig aus der Produktion entnommene Batterie eine Lebensdauer wischen 3,5 und 4,5 Jahre hat? 5

16 *+ Gesucht ist also: P ( 3,5 X 4,5 )? f ( ) P ( 3,5 X 4,5 ) 3 3,5 4 4, " f ( ) P ( X 4,5 ) f ( ) P ( X 3,5 ) , , ϕ ( ) P (,45 Z,3 ) ' 5 " ,3,45 ϕ ( ) P ( Z,3 ) ϕ ( ) P ( Z,45 ) ,3 3, P ( 3,5 X 4,5 ) P (,45 Z,3 ) P ( Z,3 ) P ( Z,45 ),9834,5967,3867 6

17 Formel ur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariable X wischen wei -Werten a und b : Aus der Beiehung folgt: P ( a X b ) P ( Z ) P ( Z b ) P ( Z a ) P ( Z ) P ( Z ) F ( b ) F ( a ) Φ ( ) Φ ( ) f ( ) ( ) F ( b ) F ( a ) Φ ( ) Φ ( ) a µ b Formel urbestimmung der Wahrscheinlichkeiten mit der Standardnormalverteilung negative Wert von : Da die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung symmetrisch u ist, gilt: Φ ( ) Φ ( ) 9 Der Durchmesse X von seriengefertigten Kugeln sei eine normalverteilte Zufallsgröße. Langeitige Messungen des Durchmessers von mehreren hergestellten Kugeln ergab eine Normalverteilung mit 5 [mm] und [mm]. Geben Sie an, welcher Anteil der hergestellten Kugeln einen Durchmesser wischen 45 [mm] und 6 [mm] hat. Normalverteilung mit 5 [mm] und [mm]. Der Anteil der Kugel mit einem Durchmesser wischen a 45 [mm] und b 6 [mm] muss berechnet werden. Da soll die Wahrscheinlichkeit alle -Werte wischen den Grenen 45 und 6 berechnet werden. 7

18 . Lösungsweg mit Hilfe des Integrals: P ( 45 X 6 ) d F ( 6 ) F ( 45 ) π 6 e 45 5 Dieses Integral können wir numerisch mit Hilfe des Taschenrechners ausrechnen, denn die beiden Grenen sind Zahlen. Oder wir verwenden die Standard-Normal-Verteilung.. Lösungsweg mit Hilfe der Tabelle der Standard-Normal-Verteilung: Die Substitution liefert folgende Grenen die Zufallsvariable Z: Z X µ , 5, Somit erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit: ( ) ( ) ep ² F (6) F(45) f ( ) Z X µ Φ (,) Φ (,5) 4 6 a 45 µ b 6,5, P ( 45 X 6 ) P (,5 Z, ) Φ (, ) Φ (,5 ),8849,385,5764 8

19 $%%64 5 Das q-quantil q mit < q < teilt die Fläche unter dem Graphen der Standard-Normal- Verteilung ϕ ( ) in Teilflächen, so dass links von ihm der Inhalt der einen Teilfläche q und rechts von ihm der Inhalt der anderen Teilfläche q beträgt. P ( Z q ) q ( ) Φ ( q ) q q q Quantilen / Perentilen der Normal-Verteilung Das q-quantil q mit < q < der Sandard-Normal-Verteilung ist die Zahl auf der -Achse, die gilt: Φ ( q ) q Das q-quantil q mit < q < der Gaußschen Normal-Verteilung ist die Zahl auf der -Achse, die gilt: F ( q ) q Dieses lässt sich dann mit Hilfe von q wie folgt berechnen: q µ q q q + µ,9 Bestimmen Sie das,5-quantil (,5%-Quantil),5 die Verteilung der Lebensdauer der Batterien aus Bsp. 4. 9

20 $%6!: Die Eponentialverteilung spielt eine wichtige Rolle in der Warteschlangentheorie (queuing theory) und Zuverlässigkeit von Systemen (reliability problems). Die Verteilung der Lebensdauer.B. von Bauteilen kann durch die Dichtefunktion der Eponentialverteilung beschrieben werden. $ Die Lebensdauern in (Jahren) von 4 baugleichen elektronischen Dioden einer Serienproduktion wurden gemessen.,,3,4,55,6,8,84,,,45,5,6,7,8,9,9,,,35,5,7,78 3, 3, 3,8 3,96 4, 4,3 4,5 4,65 4,8 5, 5,8 5,99 6, 6,7 7, 7,4 8,6 9,4 Aus den Ergebnissen der Messungen wurde die folgende klassierte Häufigkeitstabelle erstellt. j Klasse K j Klassen- Breite: d j Klassen- Mitte: m j Abs. Häuf. h j Rel. Häuf. f j Klassendichte: f j Kumulierte Häufig. F j [ ; ) ½ (+) 6 64,4,4,,4 [ ; 4) 3,5,5,65 3 [4 ; 6) 5 8,,,85 4 [6 ; 8) 7 4,,5,95 5 [8 ; ) 9,5,5 In der Abbildung sind das Dichte-Histogramm und die Kurve der Dichtefunktion, die an den Messdaten angepasst wurde, dargestellt. f j Häufig..3 f ( ) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Diode eine Lebensdauer wischen bis 4 Jahren besitt? Mit Hilfe des Dichte-Histogramms: Der Flächeninhalt des. Rechteckes: Die approimierte Dichtefunktion lautet: f ( ),5,5, 3 e, 3 >

21 Mit Hilfe der Dichtefunktion: Der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Dichtefunktion wischen den Grenen und 4: 4 P ( 4 ) 3, 3 X, e d, 47 Eponential-Verteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion: f ( ), mit α > α e α > heißt Eponetialverteilung. Die Verteilungsfunktion der Eponentialverteilung lautet: F ( ) P ( X ) f ( u ) du e α > f ( ).4..!: " F ( ) P ( X ) F ( ) F ( ) "!: " Sat: Erwartungswert und Varian der Eponential-Verteilung Der Erwartungswert der Eponential-Verteilung ist: µ f ( ) d α Die Varian der Eponential-Verteilung ist: f ( ) ( µ ) d α

22 ,$ Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lebensdauer X aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 6) wurde durch die folgende Dichtefunktion gegeben: f ( ),3 e,3, > Geben Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit da an, dass die Lebensdauer einer Diode wischen bis 4 Jahren beträgt. Geben Sie die durchschnittliche Lebensdauer an. Geben Sie die Varian (bw. die Standardabweichung) der Verteilung der Lebensdauer an. Sat: Quantilen der Eponential-Verteilung Das q-quantil q mit < q < der Eponentialverteilung ist die Zahl auf der -Achse, die gilt: α q F ( q ) q e q Folglich lässt sich das q-quantil q der Eponentialverteilung wie folgt bestimmen: q ln ( q ) α f ( ).4..!: " Fläche: F ( q ) F ( ) F ( q ) q "!: " q q-quantil q-quantil 5 5 q q

23 $%9 & " Die Zuverlässigkeit (Reliability) wird meist mit der Überlebenswahrscheinlichkeit (Lebensdauerwahrscheinlichkeit) beeichnet. Das Gegenteil dau ist die Ausfallwahrscheinlichkeit. Der Zusammenhang wischen der Ausfallrate und der Lebensdauer lässt sich mit Hilfe der Weibull-Verteilung darstellen. Die Weibull-Verteilung kann als eine Verallgemeinerung der Eponential-Verteilung angesehen werden. Die Eponentialverteilung bietet sich als Verteilung von Lebensdauern an, wenn die Ausfallrate als konstant angesehen wird. Ändert sich dagegen die Ausfallsrate mit der Zeit, so wird die Verteilung durch die Weibull-Verteilung gegeben. Weibull-Verteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion: f ( ), mit α > und > α e α > heißt Weibull-Verteilung. Die Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung lautet: F ( ) P ( X ) f ( u ) du e α > - Für ergibt sich aus der Weibull-Verteilung die Eponential-Verteilung. f ( ) α 4 α α α,5 3

24 Sat: Erwartungswert und Varian der Weibull-Verteilung Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist: µ f + ( ) d α Γ Die Varian der Weibull-Verteilung ist: + f + ( ) ( ) µ d α Γ Γ -Γ ( α ) gibt die Gamma-Funktion an. Gamma-Funktion Die Funktion Γ ( α ) wird als die Gamma-Funktion beeichnet. Einige Werte der Gammafunktion können mit Hilfe von Rekursionsformeln berechnet werden. Einige speielle Werte und Rekursionsformeln der Gammafunktion sind wie folgt: Γ ( ) π Γ ( ) Γ ( α + ) α Γ ( α ) mit α > Γ ( n + ) n! mit n ; ; 3 ;... Γ ( n + ) 3 5 n ( n ) π mit n ; ; 3 ;... ; Die Lebensdauer X (in Stunden) einer mechanischen Feder sei eine Zufallsgröße, die durch eine Weibull-Verteilung mit α, und,5 beschrieben wird. Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer der Feder. die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer der Feder mehr als 3 Stunden ist., 5,, 5 + µ Γ Γ 3 h, 5, ( )! [ ] 4

25 P ( X > 3 ) P ( X 3 ) f ( ) 3, 5,, 5 { d +,, 5 e d } 3 d + e,, e, 3, 5 e,, 5 {,4 },578,; Leiten Sie aus der Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung F α ( ) e > die Dichtefunktion dieser Verteilung her.,; Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Lebensdauer X einer mechanischen Feder aus Beispiel wurde durch eine Weibull-Verteilung mit α, und,5 gegeben. Geben Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit da an, dass die Lebensdauer der Feder mehr als 3 Stunden dauert. 5

26 $%$ * 5 " $%$%* 5 Wenn eine Zufallsvariable nicht selbst normalverteilt ist, sondern ihr Logarithmus normalverteilt ist, so spricht man von einer Lognormalverteilung Log-Normal-Verteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion: f ( ), mit > ln α π ep > heißt Lognormalverteilung. Die Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung ist: F α ( ) P ( X ) f ( u ) du ep du u π lnu f ( ) α α α Sat: Erwartungswert und Varian der Log-Normalverteilung Der Erwartungswert der Lognormalverteilung ist: µ ( ) f d e α + Die Varian der Lognormalverteilung ist: α + f d e e ( ) ( µ ) 6

27 $%$%)& ' 5 Für eine beliebige log-normalverteilte Zufallsvariable X erhält man durch die Substitution Y ln X eine Zufallsvariable Y, deren Verteilung der Gaußschen-Normalverteilung mit α und genügt. Analog u der standardisierten Variable erhält man durch die Transformation α Y ln X α Z eine Zufallsvariable, deren Verteilung der Standard- Normalverteilung gehorcht. Somit lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer log-normalverteilte Zufallsvariable X, X <, d.h. P ( X < ) mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standard- Normalverteilung bestimmen. Die folgenden Abbildungen eigen die graphisch Vorgehensweise ur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P ( X ) F ( ) einer beliebigen log-normalverteilten Zufallsvariable X mit Hilfe der Standard-Normalverteilung. * 5 85 ' 5 " f ( ) F ( ) f ( y ) F ( y ) ( ) Φ ( ) α y y o ep π ln α d y ln dy d π y o ep y α dy y α d dy π o ep d 7

28 Beiehung ur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P ( X ) F ( ) einer beliebigen log-normalverteilten Zufallsvariable X mit Hilfe der Standard- Normalverteilung Sei eine log-normalverteilte Zufallsvariable, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit P ( X ) mit Hilfe der Standard-Normal-Verteilung, wie folgt berechnen: F ( ) P ( X ) o o o π ep ln α d o π ep d P ( Z ) Φ ( ) o o Dabei ist o Normalverteilung ln o α und µ α und sind die Parameter der < Die Stromausbeute eines bestimmten Transistors wird in Einheiten des Logarithmus I a ln gemessen, wobei I a die Ausgangsstromstärke und I e die Eingangsstromstärke I e I a angeben. Die Zufallsvariable ln ist normalverteilt mit µ und,. I e I a Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit da, dass der Quotient geringer als 6, ist. I e I a I a Die Zufallsvariable ist log-normalverteilt aber die Zufallsvariable y ln I e I e ist normalverteilt mit µ und, daher gilt die Log-Normalverteilung von X: α und,. Es soll die Wahrscheinlichkeit alle -Werte kleiner als die obere Grene 6, berechnet werden. Die Substitution liefert folgende obere Grene die Zufallsvariable Z: o ln o α ln 6,, Somit erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P ( X 6, ) P ( Z ) Φ ( ),8 8

29 $%; 3 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X wischen wei Werten a und b liegt, kann dann eakt bestimmt werden, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung aber nicht bekannt, so ermöglicht die Tschebyschevsche Ungleichung eine Abschätung die gesuchte Wahrscheinlichkeit P ( a X b ), wenn nur der Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung bekannt sind und a bw. b gilt: a µ c und b µ + c, wobei c größer als ist. Tschebyschevsche Ungleichung Die Wahrscheinlichkeit da, dass eine Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert (Mittelwert) µ und Varian innerhalb der c-ten Standardabweichung um den Mittelwert µ liegt, wobei c > ist, beträgt mindestens c. P ( µ c X µ + c ) c f ( ) mindestens: c ² c µ c c µ µ + c - Die Tschebyschevsche Ungleichung gilt sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen.,< Die Lebensdauer X (in Stunden) von seriengefertigten Halogenlampen sei eine Zufallsvariable mit einem Mittelwert von 8 [h] und einer Standardabweichung von 4 [h]. Wie groß ist mindestens der Anteil der hergestellten Lampen mit einer Lebensdauer wischen 74 [h] und 86 [h]? a 74 [h] ; b ; µ 8 [h] ; a µ c bw. b µ + c 74 8 c 4 c P ( a X b ) 9