9. Übungen. Statistik: Mittelwert und Standardabweichung Statistik: Median Statistik: Kennwerte

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1 QM-Übungsaufgaben 9. Übungen F1 Statistik: Mittelwert und Standardabweichung F2 Statistik: Median F3 Statistik: Kennwerte F4 Statistik: Kennwerte F5 Lebensdauer F6 Vertrauensgrenzen und Histogramm F7 Statistik: Grenzen in Verteilung F8 Statistik: Normalverteilung F9 Statistik: Normalverteilung F10 Statistik: Normalverteilung F11 Statistik: Normalverteilung F12 Statistik: Vertrauensbereich F13 Statistik: Vertrauensgrenzen F14 Statistik: Stichproben, mittlere Fehlerzahl F15 AQL F18 Kennwerte und Vertrauensgrenzen F19 Histogramm und Kennwerte F20 Lebensdauer F21 Statistik: Larson-Nomogramm F22 Statistik: Normalverteilung F23 Histogramm und Kennwerte F24 AQL F25 Lebensdauer F26 AQL F27 Statistik: Fertigungskennwerte F28 Lebensdauer und Ausfallrate F29 Prozessregelkarte F30 Übung Klassen und Wahrsch.Netz F31 Graphische Lösung mit Werten der Aufgabe 30 F32 Kennwerte ermitteln mit Werten der Aufgabe 30 F33 Histogramm mit 50 Werten zeichnen F34 Normalverteilung punktweise zeichnen F35 Maschinenfähigkeit graphisch auf Formblatt 9_inhalt.dtp

2 QM-Übungsaufgaben F1. Übungsaufgabe Für eine erstellte Qualitätsregelkarte für das Maß 30 f7 eines Bolzens müssen der Mittelwert und die Standardabweichung s aus einer Stichprobe ermittelt werden. Dazu wird der Grundgesamtheit eine Stichprobe vom Umfang n = 5 entnommen und das Ergebnis entsprechend ausgewertet. Es wurden folgende Werte gemessen. X 1 = 29,972 mm X 2 = 29,968 mm X 3 = 29,973 mm X 4 = 29,966 mm X 5 = 29,970 mm a) Ermitteln Sie den Mittelwert X-quer und die Standardabweichung s (Drei Stellen n.d.komma). b) Ist die Forderung erfüllt, daß die Standardabweichung 6mal in die Toleranz paßt? F2. Übungsaufgabe In einer Abteilung weisen die Mitarbeiter im Jahr 1999 folgende Fehltage auf: Wie lautet der Median dieser Stichprobe? F3. Übungsaufgabe Die Messung von 5 Steckbolzen ergab folgende Werte. Die Bolzen waren mit 10 +/- 0,1 toleriert. 10,01 10,03 10,06 10,09 10,06 a) Wie groß sind Mittelwert, Spanne, Median, Modalwert und Standardabweichung? b) Skizzieren Sie die theoretische Normalverteilung dieser Stichprobe. c) Berechnen Sie die beiden Prozeßfähigkeitsindizes cp und cpk. d) Wieviel % der Teile sind über der oberen und wieviel % der Teile sind der en Toleranzgrenze zu erwarten? F4. Übungsaufgabe Bei einer Zeitaufnahme wurden 81 Werte aufgenommen. Nachdem die Einzelwerte geordnet und in Klassen teilt worden sind, ergaben sich die folgenden Werte: Klassen (in min) Häufigkeit je Klasse a) Berechnen Sie den Mittelwert der Zeiten. b) Ermitteln Sie den Modalwert c) Ermitteln Sie den Medianwert. d) Berechnen Sie die Standardabweichung. F5. Übungsaufgabe Ermitteln Sie die durchschnittliche Lebensdauer eines Schalters, wenn 10 Schalter nach 21, 32, 34, 51, 69, 81, 87, 108, 113, 121 Tagen ausgefallen sind. Zu Aufgabe F4 Wenn der Taschenrechner die klassierten Werte nicht verarbeitet, dann kann mit folgenden Formeln gerechnet werden: x = s = xi * f f i i i 2 (xi - x) f * f i fi = Häufigkeit der Werte in den Klassen F1.dtp Seite 2

3 QM-Übungsaufgaben F6. Vertrauensgrenzen und Histogramm (Vorgedrehte Wellen) Die Qualitätssicherung hat 250 vorgedrehte Wellen ausgemessen. Dabei gab es die nachstehenden Ergebnisse. Mittelwert Xquer = 40,012 mm Standardabweichung s = 0,00265 mm a) Erstellen Sie mit den Tabellenwerten ein Histogramm. Benutzen Sie dazu das vorgedruckte Feld. k x n 1 39, , , , , , , , , , , , b) Ermitteln Sie den Vertrauensbereich für den Mittelwert µ. Dabei gilt: Die Wahrscheinlichkeit für den Vertrauens bereich soll 95% betragen. Steht keine Tabelle für t zur Verfügung, so ist t = 1,97 anzunehmen. c) Was sagt der Vertrauensbereich aus? µ o = X µ u = X + t t s n s n d) Ein Kunde verlangt einen Prozeßfähigkeitsindex von cp = 1,33 Wie groß muß die Fertigungstoleranz T sein, damit diese Forderung erfüllt werden kann? T cp = 6 s 1,33 F1.dtp Seite 3

4 QM-Übungsaufgaben F7. Übungsaufgabe An einem Drehautomaten werden Messingbolzen in großer Stückzahl hergestellt. Durch ausführliche Stichprobenanalyse ist bekannt, daß die Bolzen normalverteilt sind mit den Parametern: Mittelwert xquer = 10,05 mm. Standardabweichung s = 0,05 mm Ein Kunde möchte die Bolzen abnehmen, verlangt aber daß die Bolzen innerhalb der Toleranz 10,0 +/- 0,1 liegen sollen. a) Wie groß ist der Bolzenanteil, der oberhalb des Höchstwertes xob liegt? b) Wie groß ist der Anteil der Bolzen, die halb des Mindestmaßes xun liegen? c) Wie groß ist der Anteil der in den Grenzwerten liegt? F8. Übungsaufgabe. Die Meßwerte einer Grundgesamtheit sind normalverteilt. Der arithmetische Mittelwert der Grundgesamtheit beträgt xquer = 65,0 mm und die Standardabweichung beträgt sigma = 0,02 mm. Wieviel % der der Meßwerte können innerhalb der Grenzwerte erwartet werden, wenn eine Toleranz von 65,0 +/- 0,05 mm vorgegeben ist? F9. Übungsaufgabe Eine vorgestellte Grundgesamtheit ist normalverteilt mit den Parametern Mittelwert = 110,2mm und sigma (Standardabweichung) = 0,2 mm. Die Toleranz wird mit 110 +/- 0,5 mm vorgegeben. Mit welchem Anteil außerhalb der Toleranz muß gerechnet werden? F10. Übungsaufgabe Ein Hersteller von Unterlegscheiben weiß, daß die Dicke der von ihm gefertigten Scheiben normalveretilt ist. Auch Mittelwert und Standardabweichung sind ihm bekannt. Mittelwert = 3,25 mm Standardabweichung = 0,15 mm Ein Kunde fragt an, ob Unterlegscheiben innerhalb folgender Toleranz geliefert werden können: Oberer Grenzwert = 3,6 mm Unterer Grenzwert = 3,0 mm Der Hersteller kann die Unterlegscheiben nach der Dicke sortieren. Wieviel % seiner Fertigung kann der Hersteller für seinen Kunden verwenden? F11. Übungsaufgabe Ein Fertigungslos von elektrischen Widerständen wird geprüft. Die Widerstandswerte sind normalverteilt und ergeben einen Mittelwert von 105 Ohm und eine Standardabweichung von 10 Ohm. Wie groß ist der Anteil Widerstände der zwischen 80 Ohm und 120 Ohm zu erwarten ist? F1.dtp Seite 4

5 9. Aufgaben: F19 Aufgabe F19 F19 Histogrammerstellung Ein Aufnahmestern für Planetenräder wurde in einer Vorserie gefertigt. Um zu prüfen, ob Normalverteilung vorliegt soll ein Histogramm der Messergebnisse von 15 Teilen gezeichnet werden. Nutzen Sie das Formblatt F19.xls und halten Sie sich streng an die folgenden (genormten) Regeln. a) Ermitteln Sie die Klassenweite W nach der Formel 1. Wichtig ist die Rundung, sie erfolgt stets auf die Größe der Messfeinheit. Im vorliegenden Fall wurde in µm gemessen, d.h. in ganzen Zahlen ohne Kommastellen. b) Die Strichliste beginnt immer am en Grenzwert (Untere Toleranzgrenze), selbst wenn die en Klassen unbesetzt sind und nicht gezeichnet werden. Wichtig! Werte die auf die Grenze fallen gehören immer in die darüberliegende Klasse!!!! c) Tragen Sie in die letzte Spalte der Strichliste die Häufigkeit n ein. W = R n Formel 1 W = Klassenweite R = Spanne n = Anzahl der Messwerte d) Schreiben Sie an die x-achse des Histogrammfeldes die jeweiligen en Klassengrenzen und an die y-achse die Häufigkeiten. Dann sind die Balken zu zeichnen. Sie sind Rechtecke, die sich gegenseitig berühren. e) Ist die Serie prozessfähig? Um diese Frage zu beantworten müssen Mittelwert und Standardabweichung der Einzelwerte berechnet werden. Danach werden die bekannten Formeln für cp und cpk angewendet. Ergebnis: cp = cpk = Prozessfähig? Ja Nein Kann Normalverteilung angenommen werden? Ja Nein Anlage: Arbeitsblatt F19.xls F19.dtp Seite F19-1

6 9. Aufgaben: F19 Histogramm Teilname: Merkmal Zeichnungsmaß: Planetenstern Lochkreis 34 j6 (-5/+11) Spanne Klassenwei te W = = = Anzahl der Werte Achtung: Werte die auf die Grenze fallen, gehören in die darüberliegende Klassel! Urliste Die Zahl der Kommastellen richtet sich danach, wie die Meßwerte in der Urliste aufgenommen worden sind. Zum Beispiel: 30 0 Stellen 30,1 1 Stelle 30,01 2 Stellen 30,001 3 Stellen Nennmaß OGW UGW Toleranz Kommastellen? Häufigkeit 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Klassengrenzen F19.dtp Seite F19-2

7 9. Aufgaben: F30 Aufgabe F30 Auf der Fräsmaschine sollen die in der hier nicht beiliegenden Zeichnung dargestellten Werkstücke zukünftig hergestellt werden. Wesentliches Qualitätsmerkmal ist der Taschendurchmesser 30H7. Die Maschine soll hinsichtlich ihrer Fähigkeit überprüft werden, diese Fertigungsaufgabe erfüllen zu können. Zu diesem Zweck soll eine Maschinenfähigkeitssuchung durchgeführt werden. Es werden 50 Teile hergestellt und ausgewertet. Die Messwerte sind in der abgebildeten Tabelle aufgeführt, wobei der Einfachheit halber immer nur die Nennmaßabweichungen in um angegeben sind R W = n Formel: Klassenweite, Ergebnis runden auf die Messfeinheit Tabelle F30/1: Urliste mit 50 Nennmaßabweichungen in µm Führen Sie nach den üblichen Regeln eine Klasseneinteilung durch und erstellen Sie die Strichliste, sowie die Häufigkeitstabelle. absolute relative absolute relative Klassen Strichliste Summenhäufigkeihäufigkeit Summen- Häufigkeit Häufigkeit von einschl. n n% H H% Tabelle F30/2: Strichliste und Häufigkeitstabelle F30.dtp Seite F30-1

8 9. Aufgaben: F30 Aufgabe F31 Überprüfen Sie mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsnetzes, ob von einer Normalverteilung der Messwerte von Aufgabe 30 ausgegangen werden kann. Ermitteln Sie dann graphisch den Mittelwert. Unten waagerecht sind jeweils die Klassengrenzen zu beschriften. Die zugehörigen Häufigkeitspunkte in % sind aber an den oberen Klassengrenzen zu setzen!!! F30.dtp Seite F30-2

9 9. Aufgaben: F30 Aufgabe F32 Berechnen Sie - aus den Urwerten der Aufgabe F30 - die Maschinenfähigkeitskennwerte cp und cpk. cp soll 1,66, der Wert cpk soll 1,33 betragen. Beurteilen Sie die Qualitätsfähigkeit der Maschine Spezifikation: 30 H Tabelle F30/1: Urliste mit 50 Nennmaßabweichungen in µm Ergebnisse und Zwischenwerte Mittelwert aller Werte Standardabweichung aller Werte cp DeltaKrit cpk Prozessfähig? F30.dtp Seite F30-3

10 9. Aufgaben: F33 Aufgaben F33 Histogramm Teilname: Merkmal Zeichnungsmaß: F33 Durchmesser 50 +/- 0,12 Spanne Klassenwei te W = = = Anzahl der Werte Achtung: Werte die auf die Grenze fallen, gehören in die darüberliegende Klassel! Urliste n Nennmaß OGW UGW Toleranz Kommastellen? Häufigkeit 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Klassengrenzen F33.dtp Seite F33-1