Grundlagen der Statistik

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1 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T08 01 Grundlagen der Statistik In der Produktion von Massenteilen steht man immer wieder vor dem Problem, dass man die Qualität einer Lieferung beurteilen muss: entspricht die Lieferung den geforderten Toleranzen, ist die Ausführung fachgerecht,... Dabei ist es aber (aufgrund der großen Stückzahl) nicht möglich, alle Teile zu überprüfen. Daher hat man statistische Methoden entwickelt, mit Hilfe derer man aus den Eigenschaften einer kleinen Zahl Werkstücke, die man der Lieferung zufällig entnommen hat (eine sog. Stichprobe), auf die Eigenschaften aller Werkstücke schließen kann. Da diese Methoden sehr zuverlässig, einfach und aussagekräftig sind, werden sie mittlerweile auch verwendet, um die Eigenschaften von Kleinserien zu beschreiben. 1. Begriffe und Definitionen Stichprobe: Alle Werkstücke, die in der Lieferung geprüft wurden Stichprobenumfang n: Anzahl der als Stichprobe entnommenen Werkstücke 2. Das Balkendiagramm Will man sich einen Überblick über die Eigenschaft einer Stichprobe verschaffen, so stellt man diese Eigenschaft gerne grafisch dar. Dabei wird die jeweilige Eigenschaft meist nach rechts, die Anzahl der entsprechenden Werkstücke nach oben angetragen. Arbeitsauftrag: Fasse die folgenden Ergebnisse einer Durchmessermessung (nächste Seite) zusammen zu Gruppen von je 0,1 mm (also 49,50mm 49,59mm; 49,60mm 49,69mm...) und zähle die Häufigkeit der Messergebnisse. Erstelle dann ein Balkendiagramm dazu. 49,50 49,60 49,70-49,80 49,90 50,00 50,10 50,20 50,30 50,40 49,59 49,69 49,79 49,89 49,99 50,09 50,19 50,29 50,39 50,50 Team.Klasse Metall 1/6 t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt\

2 49,56 50,34 49,89 49,55 50,32 50,15 49,92 49,86 49,86 50, 49,85 49,82 50,04 50,02 50,29 49,88 50,01 49,79 49,98 49,98 49,70 49,61 49,97 49,97 50,08 50,25 50,29 50,09 50,00 49,84 49,75 50,12 49,89 50,03 49,75 50,03 50,01 49,81 49,93 50,05 50,02 49,84 49,77 49,91 50,09 49,94 50,06 49,92 49,90 50,10 49,83 50,22 49,89 49,76 50,23 50,50 49,92 49,89 50,03 50,37 49,66 50,29 49,67 50,19 50,10 50,31 50,26 49,87 50,47 50,32 50,29 50,10 50,17 49,97 50,21 50,02 49,90 50,13 50,46 50,24 Anzahl ,50 49,59 49,60 49,69 49,70-49,79 49,80 49,89 3. Die Normalverteilung 49,90 49,99 50,00 50,09 Wenn man die folgenden Testmethoden anwendet, geht man davon aus, dass die gesamte Lieferung der sog. Gauß schen Normalverteilung entspricht. Dazu dürfen die Eigenschaften eines Werkstücks nicht von denen seines Vorgängers oder seines 50,10 50,19 50,20 50,29 50,30 50,39 50,40 50,50 Geldschein mit dem Bild von Gauß und der Normalverteilungskurve Nachfolgers abhängen (es muss statistisch unabhängig sein). Außerdem muss eine Abweichung nach oben genauso wahrscheinlich sein wie eine Abweichung nach unten. Bsp.: Sticht man Scheiben von einer Welle ab, so ist die Dicke einer Scheibe nicht abhängig von einer anderen. Gegenbeispiel: Die Leistung von Schülern in einer Klasse hängt selbstverständlich von deren Nachbarn ab. Noten sind deshalb meist nicht normalverteilt. Durchmesser t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt \ /6 Team.Klasse Metall

3 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T08 01 Bei der Normalverteilung stellt man fest, dass sich die Messergebnisse um eine (häufigste) Wertegruppe herum gleichmäßig verteilen. Je weiter man nach außen geht, desto seltener werden diese Messergebnisse. Dies kann man aber erst erkennen, wenn der Stichprobenumfang groß genug ist (n 50). Es ergibt sich ein Balkendiagramm der folgenden Form: Eigenschaft Fasst man sehr wenige Eigenschaften zusammen (das heißt: verwendet man sehr viele, sehr schmale Balken), so entsteht eine Art Glockenkurve (die rote Linie als Verbindung der Balken). 4. Die Spannweite Eigenschaft Die Spannweite (engl.: range ) gibt an, wie weit der größte und der kleinste Messwert voneinander entfernt sind: R = x max x min 5. Werte, um die Mitte der Verteilung zu kennzeichnen: 5.1. Der Modalwert D Dieser Wert ist der am häufigsten gemessene Wert, er liegt (bei einer normalverteilten Stichprobe) in der Mitte Zentralwert (Medianwert) x ~ (sprich: x Tilde ) Dieser Wert ist der Wert, der in der Mitte zwischen größtem und kleinstem gemessenen Wert liegt. Team.Klasse Metall 3/6 t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt\

4 5.3. Der (arithmetische) Mittelwert Der Mittelwert x ist der (rechnerische) Wert, der in der Mitte der Stichprobe liegt. Er wird häufig auch als Durchschnitt bezeichnet (manchmal: µ): x = x 1 + x n x n X n : Messwert Nummer n n: Stichprobenumfang Arbeitsauftrag: Ermittle den Mittelwert für die obige Messreihe (S. 2)! x = 6. Die Standardabweichung (Streuung) Der Mittelwert sagt alleine nichts über die Qualität einer Stichprobe aus. Hat man zum Beispiel bei 50 gemessenen Teilen 25 mal das Maß 9,7 mm und 25 mal das Maß 10,3 mm, so beträgt der Mittelwert x = 10,0 mm, die Toleranz 10,0 ± 0,1 mm kann trotzdem nicht eingehalten werden. Also braucht man ein Maß für die Streuung. Das heißt, man möchte wissen wie weit weg die Messwerte im Mittel liegen. Dazu verwendet man diestandardabweichung oder Streuung s (oder σ): s = ( x x)² + ( x 1 2 Dabei bedeutet das Maß s folgendes: x)² n 1 ( x x)² 68,3 % der Messwerte der Lieferung liegen im Bereich x ± 1 s 95,4% der Messwerte der Lieferung liegen im Bereich x ± 2 s 99,7% der Messwerte der Lieferung liegen im Bereich x ± 3 s n Je nach Qualitätsanforderung sollte die Toleranz also 4*s (d.h. 4,55% Ausschuss) bis 6*s (d.h. 0,27% Ausschuss) betragen. µ - 2s µ - s µ µ + s µ + 2s Dabei bedeutet eine große Streuung, dass die Messwerte sehr weit auseinander liegen, eine kleine Streuung, dass die Messwerte nahe beieinander liegen. Daher kann man mit kleinen Streuungen kleine Toleranzen einhalten während man für große Toleranzen auch nur große Streuungen benötigt. t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt \ /6 Team.Klasse Metall

5 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T08 01 Arbeitsauftrag: Berechne für die ersten zwei Zeilen der Messwerttabelle auf Seite 2 den Mittelwert und die Standardabweichung. Für Starke: Die Messwerte liegen auch als Excel Tabelle vor. Versuche, den Mittelwert und die Standardabweichung mit Hilfe der Excel Funktionen auszuwerten (gesondertes Skript vorhanden) oder selber zu programmieren. Erstelle außerdem ein Balkendiagramm für die Messwerte! Zusammenfassung der wichtigen Begriffe: Team.Klasse Metall 5/6 t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt\

6 Übung: Prüfung einer Lieferung von Passschrauben Der Durchmesser in der Mitte der Klemmlänge ist für den Wareneingang zu prüfen. Aus der Lieferung wurden an verschiedenen Positionen neun Prüflinge für eine Zufallsstichprobe entnommen. Mit einem Feinzeiger wurden folgende Messwerte in μm festgestellt: Zu bestimmen sind der Modalwert, Median, Mittelwert, die Spannweite der Streuung und die Standardabweichung; dazu ein Balkendiagramm für die Abmaße von 0 bis 12 μm. Im Balkendiagramm sind Mindest- und Höchstmaß einzutragen sowie die sich durch s ergebende Verteilungskurve. t08_01_skript_grundlagen_statistik_normalverteilt.odt \ /6 Team.Klasse Metall

7 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T08 03 Auswertung von Messungen Statistik Ein Mensch der von Statistik hört, denkt dabei nur an Mittelwert. Er glaubt nicht dran und ist dagegen, ein Beispiel soll es gleich belegen: Ein Jäger auf der Entenjagd Hat einen ersten Schuß gewagt. Der Schuß, zu hastig aus dem Rohr, lag eine Handbreit vor. Der zweite Schuß mit lautem Krach Lag eine gute Handbreit nach. Der Jäger spricht ganz unbeschwert Voll glauben an den Mittelwert: Statistisch ist die Ente tot. Doch wär er klug und nähme Schrot - dies sei gesagt ihn zu bekehren er würde seine Chancen mehren: Der Schuss geht ab, die Ente stürzt, weil Streuung ihr das Leben kürzt. Das mathematische Opfer: Eugen Roth A. Lindner 1/2 t08_03_eugen_roth_auswertung_von_messungen.odt\03.02.

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9 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 01 Die Maschinen- und Prozessfähigkeit Situation: Du arbeitest bei einem kleinen Zulieferbetrieb für die Luftfahrtindustrie und wirst gebeten, ein Angebot für eine Welle abzugeben. Die Welle soll auf eine Länge von 60 ± 0,03 mm abgestochen werden. Dazu überlegst du, ob der alte Drehautomat aus der Fertigung die 5000 Stück pro Woche in der geforderten Toleranz fertigen kann. Ansonsten musst du überlegen, ob die Beschaffung einer neuen CNC Drehmaschine notwendig ist. Die Maschinen- und die Prozessfähigkeit sind dazu (neben der Hauptnutzungszeit, vgl. FTNC) die wichtigsten Größen in der statistischen Prozessregelung. Sie lassen sich (bei gleichen Formeln) folgendermaßen voneinander abgrenzen: Kennzeichen Maschinenfähigkeit Prozessfähigkeit Untersuchungszeitraum Neuinstallation einer Kurzzeituntersuchung, z.b. Langzeituntersuchung Maschine Untersuchungsgegenstand Stichprobe Ziel Komponenten innerhalb einer Produktionsanlage Entnahme einer einzigen Stichprobe Beurteilung einer Maschine hinsichtlich Fähigkeiten (Abnahme) Produktionsprozess, d.h. Zusammenwirken von Menschen, Maschinen, Material, Arbeitsmethoden und Arbeitsumwelt Entnahme kleiner Stichproben über einen längeren Zeitraum Beurteilung eines Prozesses hinsichtlich Fähigkeit Ermittlung der Maschinenfähigkeit C m und C mk : (engl. capability) (Stichprobengröße n > 50) c m T = 6 s C m gibt Auskunft, ob die Maschine im Rahmen ihrer normalen Schwankungen in der Lage ist, in der geforderten Toleranz zu fertigen. Bildlich gesprochen ist der Wert ein Maß dafür, wie viel von der Normalverteilungskurve (begrenzt durch ± 3s) in die Toleranz hineinpasst. Daher entscheidet diese Prüfung, ob die Maschine fähig ist. G u N G O Team.Klasse Metall 1/2 t10_01_skript_mfu_pfu.odt\

10 Um zu überprüfen, ob die Kurve auch ausreichend mittig G u N G O zwischen den Toleranzgrenzen liegt (in der Fertigung strebt man häufig die Toleranzmitte an), benötigt man den Kennwert C mk. c mk Z krit = 3 s mit Z ob = G O x und Z un = x G U Entscheidend ist hier, ob ib den Abstand des Mittelwertes zur nächstliegenden Toleranzgrenze (G O / G U ) die Hälfte der Normalverteilungskurve (begrenzt durch ± 3s) hineinpasst. Deshalb wird der kleinere der beiden Werte als Z krit in die Formel eingesetzt. Ablauf einer Prüfung: Durch Verträge einigen sich Kunde und Lieferant auf den Grenzwert für die Prüfung der Maschinen- und Prozessfähigkeit. Durch Vertrag kann der Wert auf 1,33 (ungenau) festgelegt werden, Automobilproduzenten steigern den Wert häufig auf 2,66 oder 3,0. Dabei muss beiden Vertragspartnern klar sein, dass diese größere Genauigkeit auch mehr Geld kostet (in etwa gilt: eine Zehnerstelle genauer verdoppelt die Fertigungskosten). Solange Sie keine weiteren Angaben haben, gilt der Wert aus dem Tabellenbuch (obwohl der in der Praxis nicht mehr oft verwendet wird). Zunächst wird die Maschinenfähigkeit geprüft, um festzustellen, ob die Maschine technisch in der Lage ist, den Auftrag in der geforderten Genauigkeit zu erledigen. Danach wird die kritische Maschinenfähigkeit geprüft, um sicherzustellen, dass die Maschine richtig eingestellt ist. Damit die Teile auch im Fertigungsprozess die gewünschte Qualität aufweisen, werden während der Fertigung die Prozessfähigkeit (und die kritische Prozessfähigkeit) überwacht, damit das System aus den Maschinenkomponenten und dem Bediener funktioniert. t10_01_skript_mfu_pfu.odt \ /2 Team.Klasse Metall

11 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 02 Arbeitsauftrag 1: Beschrifte das Arbeitsblatt. Hilfsmittel: Fachkundebuch Metall und Skript Statistik! Maschinenfähigkeit 1. Welchen Zweck erfüllt die Maschinenfähigkeit? Beurteilung, ob eine Maschine (nach Aufstellung oder bei Wartung) eine vorgegebene Toleranz einhalten kann. 2. Was muss bei der Maschinenfähigkeit berücksichtigt werden? - Toleranz - Standardabweichung der Stichprobe (Kurzzeit) - Stichprobengröße - Lage von Mittelwert und Mitte des Toleranzfelds zueinander Team.Klasse Metall

12 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 03 Arbeitsauftrag 2: Beschrifte das Arbeitsblatt. Hilfsmittel: Fachkundebuch Metall, Tabellenbuch und Skript Statistik! Maschinenfähigkeit c m und c mk Erklärung c m Kurzzeituntersu- chung, ob das Tole- ranzfeld getroffen wird Kurzzeituntersuchung, ob die Maschine die geforderte Genauigkeit erreicht c mk Formel c m = c m k = Bedeutung der Abkürzungen (Legende) c m m = machine c mk k = kritisch c = capability Z krit ( krit) = s = Standardabweichung Zkrit: kleinerer Wert aus: N = Nennmaß Zoben = Go - G u = unteres Grenzmaß Zunten = - Gu G o = oberes Grenzmaß x = gemessener Mittelwert 6s = 99,8% Qualität! Team.Klasse Metall

13 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 04 Arbeitsauftrag 3: Beschrifte die Grafik (siehe Beispiel in Prozess 2). Hilfsmittel: Fachkundebuch Metall und Skript Statistik! Maschinenfähigkeit T = 10 krit = 5 s = 0,98 C m C mk Beispiel: Maschine ist fähig und beherrscht T = 10 krit = 2 s = 0,98 C m = 1,70 > 1,67 C mk = 0,68 < 1,67 Maschine fähig, aber nicht beherrscht T = 10 krit = 5 s = 4 C m C mk Maschine ist nicht fähig und nicht beherrscht T = 10 krit = s = 4 C m C mk Maschine ist nicht fähig und nicht beherrscht Team.Klasse Metall

14 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 05 Arbeitsauftrag 4: Beschrifte das Arbeitsblatt. Hilfsmittel: Fachkundebuch Metall, Tabellenbuch und Skript Statistik! Prozessfähigkeit c p und c pk Erklärung c p Untersuchung, ob der Prozess (Maschine, u Umwelt,...) die geforderte Genauigkeit erreicht c pk Fähigkeit des Prozesses die Ergebnisse um das richtige Nennmaß herum zu fertigen Formel c p = c pk = Bedeutung der Abkürzungen (Legende) c p p = process c pk k = kritisch c = capability Z krit ( krit) = s = Streuung N = G u = unteres Grenzmaß G o = oberes Grenzmaß T= Toleranz 6s = 99,8% Qualität! Z krit : kleinerer Wert aus: x = gemessener Mittelwert Team.Klasse Metall

15 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 06 Arbeitsauftrag 5: Beschrifte die Grafik (siehe Beispiel in Prozess 2). Hilfsmittel: Fachkundebuch Metall und Skript Statistik! Prozessfähigkeit T = 1 krit = 0,5 s = 0,1 C p C pk Beispiel: T = 1 krit = 0,2 s = 0,1 C p > 1,33 C pk < 1 Prozess: fähig aber nicht beherrscht T = 1 krit = 0,5 s = 0,15 C p C pk T = 1 krit = 0,1 s = 0,3 C p C pk Team.Klasse Metall

16 Qualitätssicherung Datum: Blatt: T10 07 Arbeitsauftrag 6: Berechne die Aufgabe. Hilfsmittel: Tabellenbuch und Taschenrechner! Während des Verpackens wurden bei einem Lebensmittelhersteller in den letzten 10 Stunden jede Stunde eine Stichprobe (fünf Fischstäbchenpackungen) entnommen, um die Prozessfähigkeit zu ermitteln. Das Gewicht der Packungen in Gramm betrug: Stichproben Nr. Packung i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9 i=10 j= j= j= j= j= Berechne den c p - und c pk - Index. (Die Standardabweichung beträgt 2,64) Info: Nach der deutschen Fertigpackungsverordnung (zum in großen Teilen zurückgezogen) darf ein fertigverpacktes Lebensmittel mit einer Nennfüllmenge von 300g bis 500g höchstens um 3% der Nennfüllmenge nach unten abweichen. Im Mittel muss die Nennfülmenge eingehalten werden. Geg: Ges: Lös.: Team.Klasse Metall

17 - Qualitätssicherung Datum: Blatt: T12 02 Qualitätsregelkarten Um möglichst wenig Ausschuss zu produzieren, empfiehlt es sich, die Teile sofort in der Fertigung zu kontrollieren und wenn sich Probleme andeuten Maßnahmen zur Verbesserung der Produktqualität zu treffen. Da an der Maschine in der Produktion häufig ungelernte Arbeiter sitzen, muss man die Messergebnisse grafisch so aufbereiten, dass jeder Mitarbeiter erkennen kann, wann Maßnahmen gefordert sind. Zu diesem Zweck wurden Qualitätsregelkarten entwickelt. Prinzipiell gibt es hierbei zwei verschiedene Arten von Karten: Zählkarten Geeignet für attributive Merkmale, um Häufigkeit von Fehlern zu erfassen Zählkarte: Fehlersammelkarte Messwertkarten Geeignet für quantitative Merkmale, um Tendenzen zu erfassen Auftrag Nr. Bauteil: Fahrertür rechts Stichprobe Nr. n = 20 Fehlerart Σ % Lackfehler Falten in Oberfläche Schweißfehler Teile nicht montiert Fehler je Stichprobe Um bei Messwertkarten die Stichprobenergebnisse darzustellen, wird einerseits der Mittelwert der Stichproben und andererseits die Spannweite oder die Standardabweichung der Stichprobe eingetragen, um das Streuverhalten der Fertigung mit zu berücksichtigen. Die Spannweite hat den Vorteil, dass sie sich sehr leicht im Kopf ermitteln lässt. Daher findet sie obwohl sie weniger aussagekräftig ist immer dann Anwendung, wenn die Karten von Hand geführt werden. Die Standardabweichung wird nur bei rechnergestützten Karten verwendet, ist aber genauer in der Aussage. A. Lindner t12_02_qualitaetsregelkarte_loesung.odt\10.01.

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