In den letzten zwei Abschnitten wurde die tatsächliche Häufigkeitsverteilung bzw. prozentuale Häufigkeitsverteilung abgehandelt.

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1 .3.3 Theoretisch-prozentuale Häufigkeitsverteilung In den letzten zwei Abschnitten wurde die tatsächliche Häufigkeitsverteilung bzw. prozentuale Häufigkeitsverteilung abgehandelt. Charakteristisch für die Form dieser Verteilungen ist eine gewisse nregelmäßigkeit. Dies wiederum erklärt sich durch die relativ kleinen Stichprobenmengen. Betrachten wir weiterhin das Beispiel aus.3.1. und führen folgendes Gedankenexperiment durch. Die Stichprobengröße n wird unendlich erhöht. n Die Klassenweite wird unendlich klein gemacht. KW 0 Die Klassenanzahl geht gegen unendlich. KA Mit einigen mathematischen Ansätzen ist eine solche Grenzwertbetrachtung relativ einfach durchzuführen. Der hier jedoch ohne Beweis mitgeteilte analytische Ausdruck für die Normalverteilung lautet: y f (xi) 1 ( x µ ) e y i π Der so genannte Normalverteilung eigen ist eine bestite Form, die einer Glocke, deshalb auch die Bezeichnung Glockenkurve. Man findet aber auch die Bezeichnung nach ihren Vätern Carl-Friedrich-Gauß als Gauß-Verteilung, bzw. nach Pierre Simon Laplace als Laplace- Verteilung. Oder aber auch beides Gauß-Laplace-Verteilung. In unserem Beispiel würde sich die Kurve wie folgt darstellen: - Darstellung als Balkendiagra

2 Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte y in [1/] ,88 5,90 5,9 5,94 5,96 5,98 6,00 6,0 6,04 6,06 6,08 Durchmesser x in [] - Darstellung als Kurve Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte y in [1/] ,85 5,90 5,95 6,00 6,05 6,10 6,15 Durchmesser x in [] Die y -Achse steht für die Wahrscheinlichkeitsdichte, ihre Einheit ist (1/) oder allgemein (1/Maßeinheit) Der Flächeninhalt unterhalb der Kurve stellt die Suenhäufigkeit aller Messwerte dar (100 %). Möchte man die Aussage machen, z.b. wie viel % der Messwerte in dem Teilintervall zwischen 5,96-5,97 liegen, so ist folgendermaßen vorzugehen: 1. Graphische Darstellung dessen, was zu berechnen ist

3 . Die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte für den Wert 5,96 bzw. 5,97 ergibt. W (x) 10, für x5,96 W (x) 17, für x5,97 Die mittlere Wahrscheinlichkeitsdichte ist demzufolge. W (xm) 10, ,033 1 W (xm) 13, Berechnung der theoretisch prozentualen Suenhäufigkeit für den Intervallbereich (5,96-5,97). h (xm) W (xm) * x * 100 h (xm) 13, * 0,01 * 100

4 h (xm) 13,8315 % Ergebnis: 13,83 % aller Messwerte liegen im Intervall (5,96-5,97). Die theoretischen Werte kann man mit der tatsächlichen Häufigkeitsdichte vergleichen. 4. Bereich der tatsächlichen Häufigkeitsdichte für das Intervall (5,96-5,97) 5,96 > 6-mal > 4,00 % 5,97 > 5-mal > 16,66 % tats. h (xm) ( 16,66 + 4)% tats. h (xm) 10,33 % Abweichung zur theoretisch-prozentualen Häufigkeitsverteilung h (xm) (13,83-10,33) % h (xm) 3,50 % Zusaenfassung: Es gibt fast unendliche viele Normalverteilungen, welche sich nur in Lage und Form unterscheiden. Die Fläche unter der Funktion beträgt stets 1, also 100 %. Die Lage der Normalverteilung bestit der Mittelwert µ x Die Form der Normalverteilung bestit die Standardabweichung Nachfolgend ein Beispiel mit unterschiedlicher Streuung bei gleichem Lagemaß.

5 Ist klein, so ist die Kurve schmal und hoch bei scharf ausgeprägtem Maximum. Je größer, desto flacher und breiter ist der Kurvenverlauf. Dabei bleibt die Fläche unter der Kurve konstant. Des Weiteren ist es möglich, mehrere Normalverteilungen miteinander zu vergleichen, über folgenden Zusaenhang: Normalverteilung a: Normalverteilung b: ( a) x ( a) µ ( a) ( a) ( b) x ( b) µ ( b) ( b) 1 f e ( u ) π Letztere Gleichung hat ihre Gültigkeit für µ 0 bzw. 1 und wird als standardisierte Normalverteilung bezeichnet. Standardisierte NV für µ0, s1 0,50 0,40 0,30 0,0 0,10 0, u[f(xi,µ,s)] Da man mit obiger mrechnungsformel jede Normalverteilung in die standardisierte Normalverteilung überführen kann, hat man für gängige u-werte entsprechende Tabellen erstellt, die die Suenwahrscheinlichkeit, bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte etc. als jeweilige Funktion von "u" zeigen. Für den Mathematiker wurde auf den Seiten im Anhang Kapitel 3. eine Integration der e- Funktion, dargestellt als Fourier-Reihe, durchgeführt. Für den, der einen Rechner zur Hand

6 hat, stellt diese Vereinfachung einen weiteren Vorteil dar, da jeder beliebige u-wert berechnet werden kann, ohne dass interpoliert werden muss. Beispiel zur standardisierten Normalverteilung Aus dem zu Anfang zitierten Beispiel soll der Ausschuss für die obere bzw. untere Toleranzgrenze berechnet werden. Folgende Daten sind bekannt: Durchmesser 6 ± 0,1 --> TG 5,9 OTG 6,1 µ 5,98 0,0191 Berechnung der Standardnormalvariablen für TG bzw. OTG ( TG ) x ( TG ) µ ( OTG ) x ( OTG ) µ ( TG ) 5,9 5,98 0,0191 ( OTG ) 6,1 5,98 0,0191 4,3037 6, 1675 ( TG ) ( OTG ) Von - unendlich bis u 4,3037 haben wir laut nachfolgender Tabelle (siehe auch Schaubild) eine Suenhäufigkeit > 99,999% d.h. der Ausschuss wäre < 0,001%. Die Suenhäufigkeit für einen negativen u-wert berechnet sich dann (negativ) 100 % - (positiv) Für u 6,1675 haben wir eine Suenhäufigkeit > 99,99999 % (siehe u 5,1993)

7 Ergebnis: Von 1000 produzierten Teilen liegt 1 Teil maßlich unterhalb TG. Weniger als jedes Teil dagegen oberhalb OTG. (Solche Ausschusszahlen sind in akzeptabler Höhe.) x (i) u Σ (u) 100% Σ (u) 5,875-5,609 0,000% 100,000% 5,880-5,3475 0,000% 100,000% 5,885-5,0858 0,000% 100,000% 5,890-4,84 0,000% 100,000% 5,895-4,565 0,000% 100,000% 5,900-4,3008 0,001% 99,999% 5,905-4,0391 0,003% 99,997% 5,910-3,7774 0,008% 99,99% 5,915-3,5158 0,0% 99,978% 5,90-3,541 0,057% 99,943% 5,95 -,994 0,138% 99,86% 5,930 -,7307 0,316% 99,684% 5,935 -,4690 0,677% 99,33% 5,940 -,074 1,364% 98,636% 5,945-1,9457,585% 97,415% 5,950-1,6840 4,609% 95,391% 5,955-1,43 7,747% 9,53% 5,960-1,1606 1,89% 87,711% 5,965-0, ,434% 81,566% 5,970-0,6373 6,197% 73,803% 5,975-0, ,360% 64,640% 5,980-0, ,465% 54,535% 5,985 0, ,873% 44,17% 5,990 0, ,889% 34,111% 5,995 0, ,89% 5,108% 6,000 0,938 8,454% 17,546% 6,005 1, ,385% 11,615% 6,010 1,4561 9,73% 7,68% 6,015 1, ,709% 4,91% 6,00 1, ,61%,388% 6,05,41 98,749% 1,51% 6,030,509 99,384% 0,616% 6,035, ,715% 0,85% 6,040 3,06 99,876% 0,14% 6,045 3,879 99,950% 0,050% 6,050 3, ,981% 0,019% 6,055 3, ,993% 0,007% 6,060 4,079 99,998% 0,00% 6,065 4, ,999% 0,001% 6,070 4, ,000% 0,000% Suenhäufigkeit der standardisierten NV 100% 80% 60% 40% 0% 0% -3,78 -,47-1,16 0,15 1,46,76 [u]

8 Allgemein ist der Begriff der Standardnormalvariablen doch relativ umständlich. Der folgende analoge Vergleich soll deshalb zum tieferen Verständnis beitragen helfen: Man denke an den täglichen mgang mit Prozentzahlen. z.b. Ein Arbeiter verdient.300 (netto), davon muss er 375 Miete zahlen. Ein Bankdirektor verdient (netto), wovon er 680 Miete zahlt. Wie kann man diese zwei Sachverhalte miteinander vergleichen? Berechnung der Standardnormalvariablen d.h. Wir berechnen die prozentuale Miete vom Arbeitslohn a) für Arbeiter b) für Bankdirektor a) Arbeiter % 375 (Arbeiter) % (Arbeiter) (375 * 100 %) / 300 (Arbeiter) 16,30 % b) Bankdirektor % 680 (Bankdirektor) % (Bankdirektor) (680 * 100 %) / 4400 (Bankdirektor) 15,45 % Jetzt können wir interpretieren. Der Bankdirektor verdient nicht nur mehr Geld als der Arbeiter, sondern zahlt auch verhältnismäßig weniger Miete als dieser. Wir mussten also standardisieren, um die Miete vergleichen zu können. Genauso vergleicht man zwei Normalverteilungen über deren u -Wert.