PRAKTIKUM Grundlagen der Messtechnik. VERSUCH GMT 01 Auswertung von Messreihen

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Oldwig Otto
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1 1 Fachbereich: Fachgebiet: Maschinenbau Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. habil. Michael Kaufmann PRAKTIKUM Grundlagen der Messtechnik VERSUCH GMT 01 Auswertung von Messreihen Version Durchgeführt am: Betreuer: Teilnehmer Name, Vorname Matrikelnummer Noten Kolloquium Protokoll Gesamtnote Signatur Datum Unterschrift

2 Versuch GMT01, , EAH Jena, FB Maschinenbau, MSR, Prof. Kaufmann 2 Zur Angabe eines Messergebnissen gehört eine Aussage zur Messunsicherheit. Diese wird mit Mitteln der Statistik aus Messreihen ermittelt. 1 Vorbereitung Erklären Sie die Begriffe: Kennlinie, Fehlerarten, Komparatorprinzip nach Abbe, Verteilungsdichtefunktion Die Aufgaben 1 und 2 sind bereits vor dem Praktikum zu bearbeitet. Leiten Sie den funktionalen Zusammenhang zur Berechnung des Durchmessers für Aufgabe 4 her. Beachten Sie dazu Hinweis 4. 2 Aufgabenstellung 1. Für die in Tab. 1 aufgeführte Messreihe, bestehend aus 21 Werten, ist das Messergebnis einschließlich des Vertrauensbereiches für die Aussagewahrscheinlichkeit von P = 68,3%, und P = 99,7% zu berechnen. Der systematische Fehler der Messwerte beträgt e sys = +0,5 mm. Achten Sie auf eventuelle grobe Fehler. Tabelle 1: Messreihe Dicke einer Stahlplatte n d in mm 25,4 25,1 25,9 25,6 25,7 25,3 25,8 25,5 25,6 25,4 25,6 n d in mm 25,4 18,1 25,9 25,6 25,7 25,3 25,8 25,5 25,6 25,4 Interpretieren Sie die Angabe der Messergebnisse. (Beachten Sie die Hinweise zur Durchführung im Abs. 3) 2. Berechnen Sie für die obige Messreihe die Verteilungsdichtefunktion ϕ(x, µ,σ) als Normalverteilung. Gehen Sie dabei von der Annahme aus, dass der Erwartungswert µ dem Mittelwert und die Streuung s der Standardabweichung σ der Messreihe entspricht. Unter welcher Bedingung gilt diese Verallgemeinerung? Die Kurve ist in einem Diagramm darzustellen und zu diskutieren. (Beachten Sie die Hinweise zur Durchführung im Abs. 3) 3. Von einem inkrementalen Feinzeiger (Linear Encoder LE/12/S) sind Empfindlichkeit und die Abweichungen von der Sollgeraden unter Verwendung von Parallelendmaßen zu ermitteln. Dabei ist der gesamte Messbereich von 12 mm in Schritten von 0,5 mm zu betrachten. Es sind drei Messreihen aufzunehmen. Vor Beginn jeder Messung ist die Anzeigeeinheit bei der kleinsten Parallelendmaßhöhe auf Null zu setzen (Taste zero ). Aus allen zu einem Sollwert S i gehörenden Messwerten A i,k ist der Mittelwert A i und die Abweichung e i = A i S i zu berechnen.

3 Versuch GMT01, , EAH Jena, FB Maschinenbau, MSR, Prof. Kaufmann 3 Bestimmen Sie die lineare Ausgleichsfunktion und den maximalen Linearitätsfehler der Kennlinie. Stellen Sie sowohl die Istwerte A i als auch die Abweichungen e i über den Sollwerten S i graphisch dar. 4. Mit dem induktiven Taster (Digital Probe DP/10/S) ist der Durchmesser eines Prüfkörpers aus Messing zu ermitteln. Zur Lagerung des Messobjektes dient ein Prisma mit V- förmiger Aufnahme. Messgröße ist zunächst die Gesamthöhe von Prüfling und Prisma. Für eine Messreihe sind Werte für acht Positionen, jeweils um ca. 45 gedreht, aufzunehmen. Für die statistische Auswertung sollten mindestens fünf Messreihen zur Verfügung stehen. Die Messungen sind mit einer anderen Tastspitze zu wiederholen. Berechnen Sie den Durchmesser des Prüfkörpers für eine statistische Sicherheit von P = 68,3%, stellen Sie die Messwerte in einem Histogramm dar und geben Sie in einer weiteren Graphik die Verteilungsdichtefunktionen für die Messungen mit verschiedenen Tastspitzen an. Alle Darstellungen sind zu interpretieren! Führen Sie eine Vergleichsmessung mit einem Messschieber durch. Vergleichen sie die Ergebnisse. 3 Hinweise zur Versuchsdurchführung 1. Die Zahlenwerte a(p;n) zur Beurteilung grober Fehler sowie die Werte für t und t n bei gegebener statistischer Sicherheit P entnehmen Sie der Literatur bzw. dem Anhang. Vorgehensweise zur Lösung der Aufgabe: (a) Eliminierung von groben Fehlern (siehe oben) (b) Korrektur des systematischen Fehlers (c) Berechnung des arithmetischen Mittelwertes x und der Streuung s (d) Berechnung des Vertrauensbereiches für die beiden Aussagewahrscheinlichkeiten unter Nutzung der Tab. 3. Der Vertrauensbereich (bzw. das Konfidenzintervall) c ergibt nach der Gleichung: c(n,p) = ± s t (1) n Der Faktor t läßt sich für gegebene Werteanzahl n und Wahrscheinlichkeit P aus Tab. 3 ablesen. (e) Angabe des Messergebnisses in der Form x ± c, bei P =...%

4 Versuch GMT01, , EAH Jena, FB Maschinenbau, MSR, Prof. Kaufmann 4 2. die Verteilungsdichtefunktion der Normalverteilung nach GAUSS gilt: [ ( 1 x µ ϕ(x, µ,σ) = 2π exp 0,5 σ σ )] (2) Bei der standardisierten Normalverteilung werden µ = 0 und σ = 1 gesetzt. Die Verteilungskurve nach GAUSS hat einige Punkte, die sich relativ leicht (auch ohne Gl. 2) berechnen und in ein Diagramm eintragen lassen. Dies sind insbesondere die Punkte: µ µ ± σ µ ± 2 σ µ ± 3 σ etc. Nutzen Sie diese Punkte zur Darstellung. 3. Achtung: Parallelendmaße nicht mit den bloßen Händen berühren! Endmaße und Auflagefläche des Messtisches gut säubern! Bei Endmaßwechsel immer Messaufsatz anheben! Endmaß mehrmals antasten! 4. Geometrische Betrachtung zur Berechnung des Durchmessers aus der Gesamthöhe (vgl. Abb. 1). Abbildung 1: Prisma mit zylinderförmigem Prüfling d = 2 H h (3) mit: d - Durchmesser Prüfling, H - Gesamthöhe, h - Scheitelhöhe Prisma Der Winkel zwischen den Auflageflächen des Primas beträgt 90. Die Scheitelhöhe von 17,65 mm wurde über eine Vergleichsmessung an einem Drehteil mit bekanntem Durchmesser bestimmt.

5 Versuch GMT01, , EAH Jena, FB Maschinenbau, MSR, Prof. Kaufmann 5 Tabelle 2: Zahlenwerte a(p,n) zur Beurteilung grober Fehler n a(p = 95%) a(p = 99,7%) 10 4,31 10, ,16 8, ,03 7, ,90 6, ,84 6, ,80 5, ,75 5, ,73 5,34 4 Geräte und Zubehör 1. Linear Encoder LE/12/S 2. Digital Probe DP/10/S 3. Messschieber 4. Satz Parallelendmaße 38 Stück 5. Prisma zur Prüflingsaufnahme 5 Literatur DIN 1319 Teil 1. Grundlagen der Messtechnik, Grundbegriffe, 1/1995 DIN 1319 Teil 3. Grundlagen der Messtechnik, Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit, 5/1996 Hart H.: Einführung in die Meßtechnik, Berlin, Technikverlag, (1989) Hart H., Lotze W., Woschni E.: Meßgenauigkeit, Berlin, Technikverlag, (1989) Schöne A.: Meßtechnik, Berlin, Springer, (1997) 6 Anhang 6.1 Grobe Fehler Zum Feststellen grober Fehler aus der Gesamtheit aller Messwerte findet folgendes Kriterium Anwendung: xi,grob x > a s (4) Die Zahlenwerte für a(p,n) sind in Tab. 2 angegeben.

6 Versuch GMT01, , EAH Jena, FB Maschinenbau, MSR, Prof. Kaufmann 6 Tabelle 3: Werte für t und t n bei gegebener statistischer Sicherheit P P = 68,3 % P = 95 % P = 99,7 % Anzahl der Einzelwerte n t t t n t t n t n (2) (1,8) (1,3) (12,7) (9,0) (235) (166) 3 1,32 0,76 4,3 2,5 19,2 11,1 4 1,20 0,60 3,2 1,6 9,2 4,6 5 1,15 0,51 2,8 1,24 6,6 3,0 6 1,11 0,45 2,6 1,05 5,5 2,3 8 1,08 0,38 2,4 0,84 4,5 1,6 10 1,06 0,34 2,3 0,72 4,1 1, ,03 0,23 2,1 0,47 3,4 0, ,02 0,19 2,05 0,37 3,3 0, ,01 0,14 2,0 0,20 3,16 0, ,00 0,10 2,0 0,20 3,1 0, ,00 0,07 1,97 0,14 3,04 0,22 > 200 1,00 0 1,96 0 3,0 0 Nach Eliminieren des vermuteten groben Fehlers aus der aufgenommenen Messreihe erfolgt die Berechnung des Mittelwertes x, sowie der Streuung s. Ist das Kriterium erfüllt, werden die betreffenden Werte aus dem Gesamtverband der Messwerte endgültig ausgeschlossen. 6.2 Vertrauensgrenzen und Vertrauensbereich Die Streuung s ist im Gegensatz zur Standardabweichung σ mit einer Unsicherheit behaftet, die umso größer wird, je weniger Messwerte x i vorliegen. Im Zusammenhang mit einer wählbaren Aussagewahrscheinlichkeit lassen sich die obere und untere Vertrauensgrenze, angeben, durch die der Vertrauensbereich, definiert ist c(n,p) = ± s n t Die Zahlenwerte für t bzw. t n sind in Tab. 3 angegeben. (5)

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