Fehlerrechnung. Aufgaben

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1 Fehlerrechnung Aufgaben

2 2 1. Ein digital arbeitendes Längenmeßgerät soll mittels eines Parallelendmaßes, das Normalcharakter besitzen soll, geprüft werden. Während der Messung wird die Temperatur des Parallelendmaßes gemessen, wobei die Antastung des Meßobjektes temperaturunabhängig erfolgt. Der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient des Parallelendmaßes beträgt 10-5 K -1. i Anzeige in mm Temperatur in C 1 100, , , , , , , , , , , , , , , ,5 Die Prüfbedingungen für das Parallelendmaß: Temperatur: 20,0 C Prüfmaß: 100,0000 mm Tabelle 1.1: Meßreihe des Längenmeßgeräts. 1. Geben Sie das Meßergebnis der Länge mit einer statistischen Sicherheit von P = 95 % an! 2. Werten Sie das Ergebnis bezüglich des Prüfmaßes anhand der einzelnen Fehlerarten aus und berechnen Sie den systematischen Anteil des Meßfehlers! 2. Mittels eines Dilatometers wird der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient von Silicium ermittelt. Der dabei verwendete Prüfling hat eine Länge von l 0 = 50,0 mm und ist mit einer Meßunsicherheit von ± 0,1 % behaftet. Bei der Messung der Temperaturdifferenz entsteht ein systematischer Fehler von -5 K. Geben Sie das Meßergebnis für den linearen thermischen Ausdehnungskoeffizienten a von Silicium mit einer statistischen Sicherheit von P = 95 % an, wenn die nachfolgende Meßreihe zugrunde gelegt wird! i ϑ/k l/µm 1 426, , , , , , ,0 77 Tabelle 2.1: Meßreihen ϑ : Temperaturdifferenz l : Längenänderung infolge Temperaturerhöhung

3 3 l Der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient α wird nach der Gleichung α = berechnet. l 0 ϑ Verdeutlichen Sie sich zunächst den Zusammenhang zwischen der Standartabweichung und der Meßunsicherheit sowie deren analytische Beschreibung. Leiten Sie anschließend das Fehlerfortpflanzungsgesetz für zufällige Fehler auf der Grundlage der Meßunsicherheit her. Gehen Sie dabei von dem auf der Standartabweichung basierenden Fehlerfortpflanzungsgesetz für zufällige Fehler aus. Bei der anschließenden Korrektion des systematischen Anteils des Fehlers (systematischer Fehler) sollten Sie von seiner Definition ausgehen. Auch hier empfiehlt es sich bei der Korrektion nach folgendem Schema vorzugehen: Hinweis: 1. Korrektion erfaßbarer systematischer Fehleranteile bei jeder Einzelmessung und Erstellung einer neuen korrigierten Meßreihe 2. Berechnung der Mittelwerte 3. Berechnung der zugehörigen Vertrauensbereiche aus den beiden Meßreihen 4. Berechnung oder Abschätzung der nicht erfaßbaren systematischen Fehleranteile der Meßreihe (z.b. Digitalisierungsfehler, Meßgerätefehler u.ä.) 5. Ermittlung der Meßunsicherheiten 6. Berechnung des Meßergebnissses unter Berücksichtigung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes und einer sinnvollen Rundung Von der Längenmessung des Prüflings ist nur die Meßunsicherheit bekannt. Angaben, welche statistische Sicherheit und wieviele Meßwerte dem Meßergebnis zugrunde gelegt wurden, sind nicht vorhanden. 3. Mit einem Dilatometer wird der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient vermessen. Dazu wird ein Prüfkörper aus dem zu untersuchenden Material hergestellt. Nach der Fertigung dieses Prüfkörpers wurde er in einer Meßreihe von 6 unabhängigen Einzelmessung bei 20 C vermessen. Bei der Temperatur von J 0 = 20 C erhielt man mit einer statistischen Sicherheit von 90 % das Meßergebnis für die Grundlänge mit l 0 = (50 ± 0,08) mm. Der ausgemessene Prüfkörper wird nun in das Dilatometer eingebaut. Anschließend wird die temperaturabhängige Längenänderung Dl zwischen 20 C ± 1 % und 250 C ± 2 % gemessen, wobei dem Vertrauensbereich der Temperaturmessung eine statistische Sicherheit von 95 % zugrunde liegt. Die Messung der Längenänderung Dl wird mittels eines inkrementalen Feinzeigers durchgeführt, der eine Meßempfindlichkeit von /mm besitzt. Es erfolgten 8 Einzelmessungen, die in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt sind. i l/µm 36,5 35,0 36,0 35,5 36,5 37,0 36,0 35,5 Tabelle 3.1: Meßreihe mit inkrementalem Feinzeiger. Berechnen Sie das Meßergebnis für den linearen thermischen Ausdehnungskoeffizienten nach l der Gleichung α = und legen Sie diesem eine statistische Sicherheit von 95 % zugrunde! l 0 ( ϑ 1 ϑ 0 )

4 4 Beachten Sie die unterschiedlichen statistischen Sicherheiten, die den Meßergebnissen zugrunde liegen. Eine Aussage über die Anzahl der Einzelmessungen ist nur der angegebenen Meßreihe zu entnehmen. Werten Sie die Meßreihe auf der Basis der in den Aufgaben 1 und 2 aufgezeigten Schemen aus. 4. An einem ohmschen Widerstand soll die umgesetzte elektrische Leistung durch eine Spannungs- und eine Strommessung gemessen werden. Dazu können die beiden folgenden Schaltungsanordnungen Verwendung finden. A I A I V R U V R U Bild 4.1: Schaltungen zur Leistungsmessung mittels Strom und Spannung. 1. Vergleichen Sie beide Schaltungsvarianten bezüglich systematischer Fehleranteile bei der Spannungs- und Strommessung! 2. Wie groß ist der entstehende systematische Fehleranteil im Fall der Leistungsmessung bei beiden Schaltungsanordnungen? Volt- und Amperemeter besitzen einen ohmschen Widerstand, der das Meßergebnis (Leistung) verfälscht. Zeichnen Sie zunächst die zugehörigen Ersatzschaltungen. Überlegen Sie sich anhand dieser Ersatzschaltungen, welche Meßgrößen in welcher Schaltung fehlerhaft gemessen werden. Weiterführende Überlegungen sollten die Fehlerdefinition des systematischen Anteils eines Fehlers mit einbeziehen. Dabei ist die Gleichung der elektrischen Leistung zu berücksichtigen. 5. Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der Kleinsten Fehlerquadrate (Ausgleichsrechnung) die statische Übertragungsgleichung eines durch die Meßreihe erfaßten linearen Kraftmeßelements. Im unbelasteten Fall soll eine Auslenkung nicht ausgeschlossen sein. Die Kraft ist im Versuch mit keinem Fehler behaftet, aber dafür die von der Meßbrücke abgegebene und mittels Voltmeter gemessene Diagonalspannung. F/N 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 U/µV Tabelle 5.1: Meßwerte Die Methode der Kleinsten Fehlerquadrate wird in der Literatur auch als Ausgleichs- oder Regressionsrechnung bezeichnet. Bei der Auswertung von Meßreihen besteht diese Methode darin, einen Kurvenzug zu finden, der so zwischen den Meßwerten liegt, daß die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen dem Meßwert und dem Kurvenzug ein Minimum ist (Q = Σ e i 2 Minimum). Der Ausdruck e i beschreibt die Abweichung (Differenz) zwischen dem i-ten Meßwert und dem Kurvenzug an der Stelle i. Bei dieser Aufgabenstellung ist der Kurvenzug eine Gerade, die allgemein durch die Gleichung x = a 1 u + a 0 oder x = a 0 u 0 + a 1 u 1 beschrieben werden kann. Dabei soll der Ausdruck u die Meßgröße (Eingangsgröße) und x

5 5 die gewandelte Meßgröße (Ausgangsgröße) bezeichnen. Die Lösung besteht nun darin, die Werte für die Parameter a 0 und a 1 zu finden, die diesem minimalsten quadratischen Fehler bilden. Stellen Sie zuerst die Meßreihe grafisch dar und zeichnen Sie eine Ihrem visuellen Eindruck entspechende ausgleichende Gerade in Ihre Grafik ein. Zeichnen Sie nun die Abweichungen ein, wobei Sie sich überlegen sollten, welche der beiden Größen fehlerbehaftet ist. Lassen Sie sich beim weiteren Lösungsweg von folgenden Schritten leiten und benutzen Sie zunächst noch nicht Ihren Taschenrechner in der Funktion Regression o.ä. 1. Beschreibung der aus der Aufgabenstellung abgeleiteten Geradengleichung. 2. Die Substitution der Meßgröße und der gewandelten Meßgröße sowie der Parameter durch allgemeine Größen. Hierbei ist besonders auf die richtige Zuordnung der einzelnen Größen und Parameter zu achten. 3. Beschreibung der Summe der Fehlerquadrate (Q=Σ e i 2 ) in allgemeiner Form. 4. Berechnung der Parameter a 0 und a 1 in allgemeiner Form. 5. Substitution und einsetzen der Meßwerte in die allgemeinen Gleichungen sowie Berechnung der Werte von a 0 und a Substitution in die Ausgangsgrößen. Zeichnen Sie nun die berechnete Geradengleichung in Ihre grafische Darstellung mit ein und vergleichen Sie diese mit Ihrer visuellen Geraden. u 6. Berechnen Sie den relativen Fehler der Frequenz fx = x eines Spannungs- Ta ux R C ur Frequenzumsetzers, wenn die zu messende Spannung u x, die Impulsdauer T a und die Referenzspannung u r mit einem Fehler von ± u x, ± T a bzw. ± u r behaftet sind! 2 7. Ein physikalischer Zusammenhang wird durch die Gleichung &q = α A p beschrieben. ρ Berechnen Sie mittels linearer Regression aus der gegebenen Tabelle die Konstante α A, wenn ρ= 1000 kg/m 3 ist &q als fehlerfrei angenommen werden kann und ein fehlerbehaftetes p gemessen wird! 3 &q / m s p kpa 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 1,2 3,7 9,0 16,8 25,0 35,0

6 6 8. In voneinander unabhängigen Messungen werden der durch einen Widerstand R fließende Strom und die über diesen Widerstand abfallende Spannung gemessen. Die Meßwerte wurden in der nebenstehenden Tabelle zusammengefaßt. Berechnen Sie unter Verwendung des Ohmschen Gesetzes und der Tabelle das Meßergebnis für den Widerstand R mit einer statistischen Sicherheit von 98 %! lfd. Nr. Spannung in mv Strom in A 1 100,5 0, ,5 0, ,0 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,0 0, Berechnen Sie den maximalen relativen Fehler für y einem zufälligen Fehler T T p und p behaftet sind! b p =, wenn die Größen T und p mit T In einer Versuchsanordnung wird die Übertragungsfunktion eines Trägheitsgliedes 1. Ordnung gemessen. Die dafür notwendige Sprungantwort wird mit einem Voltmeter fehlerhaft gemessen. Die Fehler haben zufälligen Charakter und sind normalverteilt. Die Meßunsicherheiten der Zeitmessung sowie die der Messung der Sprungamplitude von U 0 = 600 mv sind so gering, daß diese gegenüber der Meßunsicherheit der Spannungsmessung des Ausgangssignals vernachlässigbar ist. t/s u(t)/mv -0, Tabelle 10.1: Meßwerte der Sprungantwortfunktion. Berechnen Sie die Zeitkonstante T mit Hilfe der Methode der Kleinsten Fehlerquadrate aus der gemessenen Sprungantwort! Gehen Sie zunächst von der Gleichung der Sprungantwort aus und stellen Sie diese entsprechend der gegebenen Größen um. Erstellen Sie nun eine korrigierte Meßwerttabelle. Formen Sie nun die Gleichung durch geeignete Substitution so lange um, bis Sie eine Potenzreihe (hier eine Geradengleichung) erhalten, aus der unter Verwendung der Methode der Kleinsten Fehlerquadrate die Bestimmung der Zeitkonstanten T möglich ist. Zusammengefaßt sollten Sie nach folgendem Schema vorgehen, das Ihnen unter anderem von der Aufgabe 5 bekannt ist: 1. Beschreibung der aus der Aufgabenstellung abgeleiteten Geradengleichung.

7 7 2. Substitution der Meßgröße und der gewandelten Meßgröße sowie der Parameter durch allgemeine Größen. - Hierbei ist besonders auf die richtige Zuordnung der einzelnen Größen und Parameter zu achten. 3. Beschreibung der Summe der Fehlerquadrate (Q=Σ e i 2 ) in allgemeiner Form. 4. Berechnung der Parameter a 0 und a 1 in allgemeiner Form. 5. Substitution und einsetzen der Meßwerte in die allgemeinen Gleichungen sowie Berechnung der Werte von a 0 und a Substitution in die Ausgangsgrößen. 11. Es soll das Übertragungsverhalten eines Pt-100-Widerstandsthermometers ohne Schutzrohr ermittelt werden, das sich in guter Näherung wie ein Trägheitsglied 1. Ordnung verhält. Die dazu erforderliche Versuchseinrichtung zeigt das nachfolgende Bild R T0 R T1 U M ϑa I I ϑ0 Pt-100-Einsatz Bild 11.1: Versuchsanordnung zur Bestimmung des Übergangsverhaltens. 1. Zeichnen Sie eine Grundschaltung zur kontinuierlichen Temperaturerfassung am Pt-100-Widerstandsthermometer und erläutern Sie die Wirkungsweise. Dabei soll die zu messende Temperatur linear auf eine Spannung abgebildet werden. 2. Charakterisieren Sie das Linearitätsverhalten dieser Grundschaltung, wenn das Temperaturverhalten der Pt-100-Widerstandsthermometer durch die Gleichung R Ti = R 0 (1+a 1 ϑ) hinreichend beschrieben werden kann, die Eingangsgröße die Temperaturänderung ϑ gegenüber der Ausgangstemperatur ϑ A des R T1 ist und der Widerstand auf eine Spannung als Ausgangssignal abgebildet wird! 3. Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion des Pt-100-Widerstandsthermometer G F (p) unter Verwendung einer Eingangssprungfunktion, die die Meßgröße Temperatur beschreibt! Unter Verwendung der gewählten Grundschaltung wird die Temperatur in eine Spannung gewandelt. 4. Geben Sie das Wandlungsschema dieser Temperaturmeßeinrichtung an, wobei Sie die statischen Wandlerelemente und das das dynamische Verhalten beschreibende Element getrennt betrachten!

8 8 Das Pt-100-Widerstandsthermometer RT0 dient der Messung der Flüssigkeitstemperatur (Eingangssprungsignal). Die Temperatur der Flüssigkeit wird auf einen stationären Zustand gebracht. Danach wird das zu prüfende Pt-100-Widerstandsthermometer RT1 in die Flüssigkeit mit der Temperatur ϑ 0 sprungartig eingetaucht. Beide Widerstandsthermometer sind in ihren elektrischen Eigenschaften gleich. 12. Eine Temperaturmeßeinrichtung mit temperaturproportionaler Ausgangsspannung verhält sich im Übergangsverhalten wie ein Trägheitsglied 1. Ordnung mit T 1 = 10 s. Sie soll so korrigiert werden, daß die Ausgangsgröße zeitunabhängig der Eingangsgröße folgt. 1. Schalten Sie in 2 getrennten Varianten hinter die Temperaturmeßeinrichtung jeweils ein passives und ein aktives Korrektionsglied und vergleichen Sie diese bezüglich der geforderten Eigenschaft im Zeitbereich. Ermitteln Sie die Zeitkonstanten für die jeweiligen Korrektionsglieder, wenn R 1 und R 2 mit 500 kω vorgegeben sind. Der für das aktive Korrektionsglied verwendete Operationsverstärker soll als ideal angenommen werden. 2. Berechnen Sie den Amplitudenfrequenzgang für die jeweiligen Gesamtanordnungen mit passivem und aktivem Korrektionsglied! Schalten Sie einer abstrakten Schaltungstruktur, deren konkretes Aussehen für die Lösung der Aufgaben ohne Bedeutung ist, jeweils ein passives und ein aktives Korrekturglied nach. Unter Anwendung der Spannungsteilerberechnung und der Laplace-Transformation können die Korrekturglieder recht einfach berechnet werden. Unter Anwendung der Grenzwertregeln kann schließlich der komplexe Frequenzgang und daraus der Amplitudenfrequenzgang berechnet werden. 13. Auf ein Meßsystem mit Tiefpaßeigenschaften, das durch einen Trennverstärker ausgekoppelt wird, wirkt als Eingangssignal eine Schrittfunktion mit dem nachfolgend skizzierten Verlauf. Ue U 0 R + - U e C U a T0 t R * C = T Bild 13.1: Elektrisches Meßsystem mit Erregung durch eine Schrittfunktion. 1. Welcher dynamische Fehler tritt auf, wenn die Ausgangsgröße zum Zeitpunkt t = T 0 abgelesen wird?

9 2. Berechnen Sie ein dem Meßsystem nachgeschaltetes Korrektionsglied mit idealem Operationsverstärker, das gewährleistet, daß die so entstehende Gesamtanordnung des Meßsystems keinen dynamischen Fehler mehr besitzt. 9